2021-2022学年九年级数学鲁教版（五四制）上册2.6 利用三角函数测高能力提升训练（word版、含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.6利用三角函数测高》能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（　　）
A．40海里
B．40sin37°海里
C．40cos37°海里
D．40tan37°海里
2．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（　　）
A．1小时
B．小时
C．2小时
D．小时
3．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（　　）（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
A．12千米
B．（3+4）千米
C．（3+5）千米
D．（12﹣4）千米
4．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（　　）
A．10海里
B．20海里
C．20海里
D．10海里
5．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，则海警船到达事故船C处所需的时间大约为（单位：小时）（　　）
A．
B．
C．sin37°
D．cos37°
二、填空题
6．如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为　
　nmile．（结果保留根号）
7．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是　
　海里．
8．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行　
　海里与钓鱼岛A的距离最近？
三、解答题
9．如图，一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东39°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（结果精确到0.01小时，sin39°≈0.629，cos39°≈0.777，tan39°≈0.810）
10．游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在O处看到灯塔A在游艇北偏东60°方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西30°方向上，求此时游艇与灯塔的距离AB．
11．一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军的战斗机沿AC方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在A处与外国侦察机B处的距离为50米，∠CAB为30°，这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行，外国侦察机在C点故意撞击我战斗机，使我战斗机受损．问外国侦察机由B到C的速度是多少？（结果保留整数，参考数据＝1.414，＝1.732）
12．如图，海中有一个小岛A，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东航行一段距离后到达该岛的南偏西25°的C处，货轮从C处继续向东航行14.1海里，此时货轮与A的距离最近，求货轮在B处时与小岛A的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°＝0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°＝0.57，tan55°≈1.43）
13．如图，一位旅行者骑自行车沿湖边正东方向笔直的公路BC行驶，在B地测得湖中小岛上某建筑物A在北偏东45°方向，行驶12min后到达C地，测得建筑物A在北偏西60°方向如果此旅行者的速度为10km/h，求建筑物A到公路BC的距离．（结果保留根号）
14．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？
15．某时刻海上点P处有一客轮．测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，客轮以每小时60海里的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处．那么tan∠ABP的值为多少？
16．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发行驶了2小时，在C处成功拦截捕鱼船，求捕鱼船的速度．
17．如图，灯塔A在港口P的南偏东45°方向，距离港口20海里处，一艘客轮从港口P出发，沿北偏东30°方向，以20海里/小时的速度驶离港口，客轮出发后几小时后在灯塔的正北方向，并求出此时客轮距灯塔的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73）．
18．如图，BC是某公园人工湖中的两个人造观光小岛，为了测量两个小岛BC之间的距离，工作人员在距离小岛C
100米的地方选择了一个固定观测点A，并测得小岛C在观测点A北偏东30°的方向上，与此同时，工作人员还测得小岛B在观测点A北偏东75°的方向上，请你利用工作人员测得的相关数据，计算观光小岛BC之间的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321）
19．一渔船在海岛A北偏东30°方向的M处遇险，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿南偏东75°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿北偏东60°方向以每小时40海里的速度匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么渔船遇险M处与海岛C的距离是多少海里？（≈1.4，≈1.7，≈2.4）
参考答案
1．解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里，
∴BP＝AP sin37°＝40sin37°海里；
故选：B．
2．解：作BD⊥AC于D，如下图所示：
易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，
则∠CBD＝∠CBA＝30°．
∴AC＝BC，
∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，
∴AC＝BC＝2×40＝80海里，
∴CD＝BC＝40海里．
故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．
故选：A．
3．解：如图，作BD⊥AC于点D，
根据题意可知：
在Rt△ADB中，∠A＝60°，AB＝6千米，
∴AD＝3千米，BD＝3千米，
在Rt△CDB中，∠CBD＝53°，
∴CD＝BD tan53°≈3×1.32≈3×≈4（千米），
∴AC＝AD+CD＝3+4（千米）．
则A，C两地的距离为（3+4）千米．
故选：B．
4．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．
∵C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，
∴CD＝AD tan45°＝AD，AC＝＝AD，BD＝＝AD．
设AD＝x，则CD＝x，AC＝x，BD＝x．
∵BC＝BD+CD＝（+1）x＝10（1+），
∴x＝10，
∴AC＝10．
故选：A．
5．解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，
∴CD＝AC＝40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠BCD＝37°，
∴BC＝＝海里，
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：÷40＝（小时）．
故选：B．
6．解：根据题意，得：∠PAB＝60°，∠PBA＝30°，AB＝2.5×40＝100（nmile），
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
在Rt△PAB中，PB＝AB sin∠PAB＝100×＝50（nmile）．
故答案为：50．
7．解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°+60°＝90°，
∴∠CBA＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC＝50×0.5＝25，
∴AC＝BC＝25（海里）．
故答案为：25．
8．解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，
∴CA＝CB．
∵CB＝50×2＝100（海里），
∴CA＝100（海里），
在直角△ADC中，∠ACD＝60°，
∴CD＝AC＝×100＝50（海里）．
则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近；
故答案为：50．
9．解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，
∴CD＝AC＝40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠BCD＝39°，
∴BC＝＝海里，
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：÷40＝≈1.29（小时）．
答：海警船到大事故船C处所需的大约时间为1.29小时．
10．解：方法一：
过点A作AC⊥OB交OB于C，则AC为所求，设AC＝x，
由题意得：OB＝12千米，∠AOC＝30°，∠ABC＝60°，
在Rt△ACO和Rt△ACB中：
tan30°＝，tan60°＝，
则OC＝x，BC＝x，
而OC+CB＝x+x＝12，
解得：x＝3．
故AB＝＝＝6（千米），
答：此时游艇与灯塔的距离AB为6千米．
方法二：
由题意得：OB＝12千米，∠AOB＝30°，∠ABO＝60°，
则∠OAB＝90°，
故AB＝OB＝6（千米），
答：此时游艇与灯塔的距离AB为6千米．
11．解：过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠CBD＝45°，
∴∠CBF＝∠C＝45°，
∵∠A＝30°，AB＝50，
∴BF＝25m，AF＝25m，
∴FC＝25m，则BC＝25m，
∴AC＝25+25≈68（m），
68÷400≈0.17（秒），
故25÷0.17≈208（m/s），
答：外国侦察机由B到C的速度是208m/s．
12．解：如图，作AD⊥BC于点D，
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝25°，CD＝14.1海里，
∴AD＝≈＝30（海里）．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝55°，
∴AB＝≈≈52.6（海里）．
答：货轮在B处时与小岛A的距离约为52.6海里．
13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D．如图，
依题意得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，则∠BAD＝45°．
∴AD＝BD，
在Rt△ACD中，∵∠ACB＝30°，
∴AC＝2AD，CD＝AD，
设AD＝x
km，则BD＝AD＝x，AC＝2x，CD＝x，
又∵BC＝12×＝2
∴x+x＝2，解得：x＝﹣1．
所以建筑物A到公路BC的距离为（﹣1）km．
14．解：作CD⊥AB于D，
根据题意，AB＝30×＝20（海里），∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
在Rt△ACD中，AD＝＝CD，
在Rt△BCD中，BD＝＝CD，
∵AB＝AD﹣BD，
∴CD﹣CD＝20（海里），
解得：CD＝10＞10，
所以不可能．
15．解：如图．
∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．
∴PA＝20海里，
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
∴∠APB＝90°，BP＝60×＝40海里，
∴tan∠ABP＝＝＝．
故tan∠ABP的值为．
16．解：设捕鱼船的速度为x海里/小时；如图所示，
由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12，BC＝2x，AC＝14×2＝28，
过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，
∴BD＝AB cos60°＝AB＝6，AD＝AB sin60°＝6，
∴CD＝2x+6．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：282＝（6）2+（2x+6）2，
解得：x＝10，（负值舍去），
答：捕鱼船的速度为10海里/小时．
17．解：如图所示，∵Rt△ACP中，∠APC＝45°，AP＝20，
∴PC＝cos45°×AP＝×20＝20，AC＝20，
又∵Rt△BCP中，∠BPC＝60°，
∴∠B＝30°，
∴BP＝2PC＝40，
∴客轮行驶到灯塔的正北方向的时间为：40÷20＝2小时，
此时，Rt△BCP中，BC＝tan60°×PC＝20，
∴AB＝BC+AC＝20+20≈54.6，
此时客轮距灯塔的距离为54.6海里．
18．解：如图所示，延长BC交AE于D，则∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝30°，AC＝100，
∴CD＝AC＝50，AD＝cos30°×AC＝50，
∵Rt△ABD中，tan∠BAD＝，
∴3.7321≈，
解得BC≈273.2，
答：观光小岛BC之间的距离为273.2米．
19．解：作MN⊥AC于点N，如右图所示，
由题意可得，
∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠AMC＝75°+30°＝105°，
∴∠MCA＝180°﹣∠MAC﹣∠AMC＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
∵MN⊥AC，AC＝40，
∴∠MVA＝∠MNC＝90°，
∴MN＝NC，
设NC＝a，
∴MN＝a，MN＝（20） tan30°，
解得，a＝，
∴MC＝＝＝≈20×1.7﹣20＝14（海里），
即渔船遇险M处与海岛C的距离是14海里．