2021-2022学年鲁制教版（五四制）七年级数学上册2.3简单的轴对称图形 同步提升训练 （word版、含解析）

2021-2022学年鲁教版七年级数学上册《2.3简单的轴对称图形》同步提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BC，交AD于点E，下列说法正确的有（　　）
①∠BAC＝∠ACB；②S四边形ABDC＝AD CE；③AB2+CD2＝AC2+BD2；④AB﹣BD＝AC﹣CD．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（　　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）
A．4cm
B．3cm
C．2cm
D．1cm
4．△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE＝4，则AD+AE的值为（　　）
A．6
B．10
C．6或14
D．6或10
5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（　　）
A．8
B．9
C．10或12
D．11或13
6．如图，在等腰△ABC中，∠A＝36°，BD平分∠B交AC于点D，则∠BDC等于（　　）
A．36°
B．60°
C．72°
D．90°
7．已知顶角为36°，90°，108°，°四个等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形．那么这四个等腰三角形里有几个等腰三角形可以用两条直线把这个等腰三角形分割成三个小的等腰三角形（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形的个数是（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
9．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，一个足够大的五边形，它的一个内角是120°，将120°角的顶点绕一个小正三角形的中心O旋转，则重叠部分的面积为正三角形面积的（　　）
A．
B．
C．
D．不断变化
二、填空题
11．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　
　．
12．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝　
　．
13．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝　
　．
14．△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝50°，AC＝5，则AB＝　
　．
15．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为　
　个．
三、解答题
16．如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C
处，AB、AC、BC
是连接三幢公寓楼的三条
道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路AC、AB的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．
（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．
17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM＝2BM．
18．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；
（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？
（3）当t为何值时PQ∥BC？
20．在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题：
在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，画出图形（如图），
给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
（1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定△ABC是等腰三角形．
请你用序号在横线上写出所有情形．答：　
　；
（2）选择第（1）题中的一种情形，说明是△ABC等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：我选择　
　．
参考答案
1．解：∵AD平分∠BAC，AB＝AC，
∴AD⊥BC，CE＝BE，
∴S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝AD×BE+AD×CE＝AD（BE+CE）＝AD×CE，故②正确；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD，
∴③AB2+CD2＝AC2+BD2；④AB﹣BD＝AC﹣CD，故③④正确；
△ABC不一定是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB不一定成立，
故①不一定正确．
所以正确的有②③④共3个．
故选：C．
2．解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥CB，
又BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE＝DE，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC＝3cm
故选：B．
3．解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
4．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+AE＝BD+CE，
∵BC＝10，DE＝4，
当BD与CE无重合时，如图1，
AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当BD与CE有重合时，如图2，
AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，
综上所述，AD+AE＝6或14．
故选：C．
5．解：①腰长为3，则底边长为5，周长＝3+3+5＝11；
②腰长为5，底边长为3，则周长＝5+5+3＝13．
则三角形的周长是11或13．
故选：D．
6．解：∵在等腰△ABC中，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣36）＝72°，
∵BD平分∠B交AC于点D，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠B＝×72＝36°
∴∠BDC＝180﹣36﹣72＝72°．
故选：C．
7．解：如图，在1中，三个小等腰三角形的度数分别为：36°，36°108°；36°，36°，108°；72°，72°，36°；
在2中，三个小等腰三角形的度数均为：45°，45°，90°；
在3中，三个小等腰三角形的度数分别为：36°，36°108°；36°，36°，108°；72°，72°，36°；
在4中，三个小等腰三角形的度数分别为：；；，，．
故选：D．
8．解：∵AB＝AC，∠ABC＝36°，
∴∠BAC＝108°，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个．
故选：C．
9．解：P1＝1+1+1＝3，
P2＝1+1+＝，
P3＝1+++×3＝，
P4＝1+++×2+×3＝，
…
∴p3﹣p2＝﹣＝＝，
P4﹣P3＝﹣＝＝，
则Pn﹣Pn﹣1＝＝．
故选：C．
10．解：设OD交AB于P，OG交BC于Q．过O点作AB、BC的垂线，垂足分别为M、N，则三角形OMP全等于三角形ONQ．所以无论如何旋转，阴影部分面积始终等于四边形OMBN的面积．
则使五边形继续转动，使B点位于OD上、C点位于OG上，则∠BOC＝120°
根据等边三角形的性质，
即：阴影部分面积是等边三角形的．
故选：C．
11．解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△BCD＝ BC×DF＝×4×2＝4
故答案为：4．
12．解：∵AD⊥BC，∠AOC＝125°，
∴∠C＝∠AOC﹣∠ADC＝125°﹣90°＝35°，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝35°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠OBC＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．
13．解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故答案为：9．
14．解：∵∠A＝80°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴AB＝AC＝5．
故填5．
15．解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．
故答案为：6．
16．解：如图：
17．证法1：如答图所示，连接AM，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM＝AM，∴∠BAM＝∠B＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴CM＝2AM，
∴CM＝2BM．
证法二：如答图所示，过A
作AD∥MN交BC于点D．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴N是AB的中点．
∵AD∥MN，
∴M是BD的中点，即BM＝MD．
∵AC＝AB，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠BAD＝∠BNM＝90°，
∴AD＝BD＝BM＝MD，
又∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠CAD＝∠C，
∴AD＝DC，BM＝MD＝DC，
∴CM＝2BM．
18．解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP＝CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PFB，
∴BP＝PF，
∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，
∴证得△PFD≌△QCD，
∴DF＝CD＝CF，
又因P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，即FC＝BC＝3，
∴CD＝CF＝；
（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段，
如图，如果点P在线段AB上，
过点P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF为等腰三角形，
∴PB＝PF，
BE＝EF，
∴PF＝CQ，
∴FD＝DC，
∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，
∴ED为定值，
同理，如图，若P在BA的延长线上，
作PM∥AC的延长线于M，
∴∠PMC＝∠ACB，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PMC，
∴PM＝PB，根据三线合一得BE＝EM，
同理可得△PMD≌△QCD，
所以CD＝DM，
∵BE＝EM，CD＝DM，
∴ED＝EM﹣DM＝﹣DM＝+﹣DM＝3+DM﹣DM＝3，
综上所述，线段ED的长度保持不变．
19．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t．
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
解得t＝4，即当t＝4秒时△APQ是等腰三角形．
（3）∵当AQ：AC＝AP：AB时，有PQ∥BC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，解得t＝3．
即当t＝3秒时，PQ∥BC．
20．解：（1）①③，①④，②③和②④；
（2）以①④为条件，理由：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
又∵∠DBO＝∠ECO，
∴∠DBO+∠OBC＝∠ECO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：①③，①④，②③和②④；①④．