人教版数学九年级上册第23章旋转几何证明题提高篇（word版、含答案）

人教版数学九年级上册
第二十三章旋转几何证明题提高篇1（含答案）
如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP=______°；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：

图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究证明：

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．
问题背景：如图（1），在四边形ABCD中.若BC=CD，∠BAD=∠BCD=90°，则AC平分∠BAD.小明为了证明这个结论，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，请帮助小明完成他的作图.
迁移应用：如图（2），在五边形ABCDE中，∠A=∠C=90°，AB=BC，AE+CD=DE，求证：BD平分∠CDE.
联系拓展：如图（3），在Rt△ABC中，AC=BC，若点D满足AD=AB，BD=AB，点P是AD的中点，直接写出的值.
如图,点A是线段BC上一点,ABD和ACE都是等边三角形.
(1)如图,连接BE,CD,求证:BE=CD.
(2)如图,将ABD绕点A顺时针旋转得到AB'D'.
当旋转角为 度时,边AD'落在边AE上.
在的条件下,延长DD'交CE于点P,连接BD',CD',当线段AB,AC满足什么数量关系时,BDD'与CPD'全等 并给予证明.
已知ABC中,AB=AC,D,E是BC边上的点,将ABD绕点A旋转,得到ACD',连接D'E.
(1)如图,当BAC=,DAE=时,求证:DE=D'E.
(2)如图,当DE=D'E时,DAE与BAC有怎样的数量关系,并说明理由.
(3)如图,在(2)的条件下,当BAC=,BD与DE满足怎样的数量关系时,D'EC是等腰直角三角形 (直接写出结论,不必说明理由)
如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′．B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．
（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如上图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l于点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
(1)探究发现:下面是一道例题及其解答过程,请补充完整:
如图,在等边三角形ABC内部,有一点P,若APB=.求证:+=.

证明:如图,将APC绕A点逆时针旋转得到AP'B,连接PP',则APP'为等边三角形.
APP'=,PA=PP',PC= .
又APB=,BPP'=.
+= ,即+=.
(2)类比延伸:如图,在等腰三角形ABC中,BAC=,内部有一点P,若APB=,试判断线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明.
(3)联想拓展:如图,在ABC中,BAC=,AB=AC,点P在直线AB的上方,且APB=,满足+=,请直接写出k的值.

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证MN=BM+DN．
（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现：
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是______；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______．
（2）猜想论证：
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求出相应的BF的长．
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA=DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：______；
（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON=∠ADB，ON与射线CA交于点N．
①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；
②若∠BAC=30°，BC=m，当∠AON=15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．
如图①，在Rt△ABC中．∠ABC=90°．将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC．连接AD、BE．并延长BE交AD于点F．
（1）求证：∠DEF=∠ABF；
（2）求证：AF=DF；
（3）当EC⊥BC时，如图②，若AC=5，BC=3．求EF的长．
如图，点P是等边△ABC内一点，且∠BPC=120°，点M是边BC的中点，连接PA，PM．
（1）如图1，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是______
（2）如图2，若点A，P，M三点不共线，问（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若AB=2，=，直接写出AP的长是______．
如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，=______；②当α=180°时，=______．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．
如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E在AC上，且AE=AD．
（1）求证：∠BAD=2∠CDE；
（2）如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，若∠CAD=2∠B，求证：AC+AD=2CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，把△DCE沿DE翻折得到△DGE，若AG=8，CE=2，求BD的长．
平面直角坐标系中，点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足：=-b2+6b-9，点A、C关于y轴对称，点F为x轴上一动点．
（1）求点A、B两点的坐标；
（2）如图1，若BC⊥CD，BA⊥EA，且BD=BE，连接ED交x轴于点M，求证：DM=ME；
（3）如图2，若BC⊥CD，且BC=CD，直线BC上存在某点G（m，3m+3），使△DFG为等腰直角三角形（点D、F，G按逆时针方向排列），请直接写出点F的坐标______．
如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F.
（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为______
，线段AE与BD的数量关系为______
.
（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明.
（3）若AC=4，CD=3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围.
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，连接DE，过C作CF⊥DE交AB于F，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求线段AD、BF、DF之间的数量关系．
（3）若∠ACD＝15°，CD＝+1，求BF．
18.已知：∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD．（OC＞OA）
（1）如图1：连AC、BD，判断：AC与BD之间的关系；并说明理由．
（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，
①如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间数量关系；并说明理由．
②当点B、D、C在同一条直线上时，若OB=6，OC=5，求AC的长．
1.解：（1）60；
（2）∠QEP=60°．以∠DAC是锐角为例．
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP=∠PCQ=60°；

（3） 作CH⊥AD于H，如图3，
与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，
∴∠APC=30°，∠PCB=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH=AC=×4=2，
在Rt△PHC中，PH=CH=2，
∴PA=PH-AH=2-2，
∴BQ=2-2．
2.解：（1）PM=PN；PM⊥PN

（2） △PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，

同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大=AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，
∴AM=2，
在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，
∴MN最大=2+5=7，
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．
方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD=AB+AD=14，
∴PM=7，
∴S△PMN最大=PM2=×72=．
3.解：问题背景：
如图（1）所示，
作法：延长AD，在AD的延长线上取一点F使DF=AB，连接CF，
即：△CDF是△ABC绕点C顺时针旋转90°所得；
理由：在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵BC=CD，
∴△ABC≌△FDC（SAS），
∴∠BAC=∠DFC，AC=CF，
∴∠CAF=∠CFD，
∴∠BAC=∠DAC，
即：AC平分∠BAD；
迁移应用：如图（2），
连接BE，延长DC，在DC的延长线上取一点F，使CG=AE，连接BG，
∵∠A=∠BCD=90°，
∴∠BCG=90°=∠A，
∵BC=AB，
∴△BCG≌△BAE（SAS），
∴BG=BE，
∵AE+CD=DE，
∴CG+CD=DE，
即：DG=DE，
∵BD=BD，
∴△BDG≌△BDE（SSS），
∴∠BDG=∠BDE，
∴BD平分∠CDE；
联系拓展：当点D在AB上方时，如图（3），
连接CP，在PB的延长线上取一点Q，使BQ=AP，连接CQ，
设AB=13a，
∵AD=AB，BD=AB，
∴BD=13a，AD=10a，
∵点P是AD的中点，
∴BP=AP=AD=5a，
∵BD=AB，
∴BP⊥AD，
∴∠APD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CBP+∠CAP=180°，
∵∠CBP+∠CBQ=180°，
∴∠CAP=∠CBQ，
∵AC=BC，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP=CQ，∠ACP=∠BCG，
∴∠PCQ=∠PCB+∠BCQ=∠PCB+∠ACP=∠ACB=90°，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得，BP==12a，
∴PQ=BP+BQ=12a+5a=17a，
在Rt△PCQ中，PC=PQ=a，
∴==，
当点D在AB下方时，如图（4），
∵AB=BD，点P是AD的中点，
∴BP⊥AD，
∴AP=AD，∠BPA=90°=∠ACB，
∴∠CBP=∠CAP，
过点C作CH⊥CP交BP于H，
∴∠PCH=90°=∠ACB，
∴∠BCH=∠ACP，
∴△CBH≌△CAP（ASA），
∴BH=AP，
设AB=m，则AD=m，
∴AP=AD=m，
∴BH=m，
在Rt△APB时，BP==m，
∴PH=BP-BH=m，
∴CP==×m=，
∴==，
即：的值为或．
4.解：(1)证明:ACE,ABD都是等边三角形,
AB=AD,AE=AC,BAD=CAE=.
BAD+DAE=CAE+DAE,即BAE=DAC.
BAEDAC.
BE=CD.
(2)60
当AC=2AB时,BDD'与CPD'全等.
证明:由旋转和等边三角形的知识可知AB=BD=DD'=AD',
四边形ABDD'是菱形,
ABD'=DBD'=ABD=,DPBC.
ACE是等边三角形,
AC=AE=CE,ACE=.
AC=2AB,AE=2AD',
PCD'=ACD'=ACE=.
DPBC,
ABD'=DBD'=BD'D=ACD'=PCD'=PD'C=,
BD'=CD',
BDD'CPD'.
5.解：(1)证明:ABD绕点A旋转得到ACD',
AD=AD',CAD'=BAD.
BAC=,DAE=,
D'AE=CAD'+CAE=BAD+CAE=BAC-DAE=-=.
DAE=D'AE.
在ADE和AD'E中,
ADEAD'E(SAS).
DE=D'E.
(2)解:DAE=BAC.理由如下:
在ADE和AD'E中,

ADEAD'E(SSS).
DAE=D'AE.
BAD+CAE=CAD'+CAE=D'AE=DAE.
DAE=BAC.
(3)解:当DE=BD时,D'EC是等腰直角三角形.
6.解：（1）∵MN∥B′D′易证△C′MN是等边三角形
又∵C′B′=C′D′
∴MB′=ND′
在△AB′M和△AD′N中AB′=AD′，∠AB′M=∠AD′N，B′M=D′N
∴△AB′M △AD′N
∴∠B′AM=∠D′AN
又∵∠D′AN=α
∴∠B′AM=α
∴∠B′AM=∠BAB′=∠BAC=∠BAD=15°
即α=15°；
（2）在△AB′E和△AD′G中，
∠AB′E=∠AD′G，∠EAB′=∠GAD′，AB′=AD′
∴△AB′E △AD′G
∴EB′=GD′，
AE=AG在△AHE和△AHG中，
AE=AG，∠EAH=∠GAH，AH=AH
∴△AHE△AHG
∴EH=GH
∵△HEB′的周长为2
∴EH+EB′+B′H=2
∴GH+GD′+B′H=2
∴B′D′=BD=2
∴菱形ABCD的周长为8．
7.解:(1)BP';
(2)+=.
证明:如图,将APC绕A点逆时针旋转,得到AP'B,连接PP',

则P'A=PA,P'AP=,P'B=PC,
APP'=,=+=.
APB=,
BPP'=.
+=.
+=.
(3)k=±.
8.解：（1）如图1，连接AC，交MN于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，且BM=DN，
∴CM=CN，且AC平分∠BCD，
∴AC⊥MN，且MG=GN，
∴∠MAG=∠NAG，
∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，
∴∠BAM=∠GAN=∠GAM，
在△ABM和△AGM中，
∴△ABM≌△AGM（AAS），
∴BM=MG，同理可得GN=DN，
∴BM+DN=MG+GN=MN，
∴BM+DN=MN；
（2）猜想：BM+DN=MN，
证明如下：
如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，
在△ABE和△ADN中，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠EAB+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AEM和△ANM中
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
又ME=BE+BM=BM+DN，
∴BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN．
证明如下：
如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF，
△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠FAN=45°，
在△MAN和△FAN中，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN=NF，
∴MN=DN-DF=DN-BM，
∴DN-BM=MN．
9.（1）①DE∥AC，②S1=S2
；
（2）如图3中，
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴S△BDC=S△AEC．
（3）如图4中，作DF∥BC交AB于F．延长CD交AB于H．
∵DF∥BE，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴S△BDF=S△BDE，S△BDF=S△DFC，
∴S△DFC=S△BDE，
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE=30°，
∵DF∥BE，
∴∠FDB=30°，
∴∠FBD=∠FDB=30°，
∴FB=FD，
∴四边形DEBF是菱形，
∵BD=CD=6，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∵∠DEC=∠ABC=60°，
∴∠CDE=90°，
∴DE=CD tan30°=6×=2，
∴BF=DE=2，
∵DE∥AB，
∴∠BHC=∠EDC=90°，
∴CH⊥AB，作点F关于CH的对称点F′，连接DF′，易知S△DFC=S△DF′C，
在Rt△DFH中，FH=HF′=DF sin30°=，
∴BF′=4，
综上所述，满足条件的BF的值为2或4．
10.∠OCE=∠OAC
11.（1）证明：
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC=∠CED=90°，
∴∠DEF+∠CEB=90°，∠ABF+∠CBE=90°，
∴∠DEF=∠ABF．
（2）证明：如图①中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．
∵∠ABN=∠DEM，∠ANB=∠M=90°，AB=DE，
∴△ANB≌△DME（AAS），
∴AN=DM，
∵∠ANF=∠M=90°，∠AFN=∠DFM，AN=DM，
∴△AFN≌△DFM（AAS），
∴AF=FD．
（3）解：如图②中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，
∴AB==4，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=∠ACD=90°，
∵AC=CD=5，
∴AD=5，
∴DF=AF=AD=，
由旋转知，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠ACE+DCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠MED=∠CEB=45°，
∴EM=MD=2，
在Rt△DFM中，FM==，
∴EF=EM-FM=．
12.AP=2PM
2
13.
14.（1）证明：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE，
∴∠BAD=2∠CDE．
（2）证明：如图2中，在FC上截取FM，使得FM=AF，连接DM
∵DF⊥AM，AF=FM，
∴DA=DM，
∴∠CAD=∠DMA，
∵∠CAD=2∠B=2∠C，∠AMD=∠C+∠MDC，
∴∠AMD=2∠C，
∴∠C=∠MDC，
∴MD=MC，
∴AD+AF=DM+FM=CM+FM=CF，
∴AC-CF=CF-CM，
∴AC-CF=CF-AD，
∴AC+AD=2CF．
（3）解：如图3中，在FC上截取FM，使得FM=AF，连接DM，CG．
设∠B=∠C=β，∠CDE=∠GDE=α，
∵∠CAD=2β，∠ADE=∠AED=α+β，
∴2β+2（α+β）=180°，
∴2β=90°-α，
∵∠AFD=90°，
∴∠ADF=∠MDF=α，
∴∠AEG=180°-α-β-（180°-2β）=2β，
∵AE=CM，
∴AM=CE=EG，
∵AD=AE，
∴△ADM≌△EAG（SAS），
∴AG=DM=AD=AE=8，
∵EC=2，
∴AC=AE+CE=10=AB，AF=FM=1，
∵DF2=AD2-AF2=CD2-CF2，
∴CD=12，
设BD=2m，则BC=2m+12，
作AH⊥BC于H，则CH=BH=m+6，
∴DH=6+m-2m=6-m，
∵AH2=AD2-DH2=2-CH2，
∴82-（6-m）2=102-（m+6）2，
解得m=，
∴BD=2m=3．
15.（-1，0）或（4，0）或（-11，0）
16.60°
AE=BD
17.证明：（1）由旋转的性质可得，∠DCE=90°，DC=EC，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵AC=BC，DC=EC，
∴△ADC≌△BCE，
∴AD=BE；
（2）连结EF，
∵CD=EC，CF⊥DE，
∴CF平分DE，
∴CF垂直平分DE，
∴DF=EF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=∠CBE=45°，
∴∠FBE=90°，
∴BE2+BF2=EF2，
∴AD2+BF2=DF2；
（3）∵∠CDB=∠A+∠ACD=60°，∠CDE=45°，
∴∠EDB=15°，
∵DF=EF，
∴∠EDB=∠DEF=15°，
∴∠EFB=30°，
∴设BE为x，则EF=DF=2x，，
在等腰直角△CDE中，，
∴，
∵在Rt△BDE中，DE2=BD2+BE2，
∴ ，
解得，x=1，
∴.
18.解：（1）AC=BD，AC⊥BD，
理由如下：设AC与BO交于N，交BD于E，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
又∵∠BNE=∠ANO，
∴∠BEN=∠AON=90°，
∴AC⊥BD；
（2）BC2+AC2=2OC2，
理由如下：如图2，连接BD，
∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，
∴∠AOC=∠BOD，∠BAO=∠ABO=45°，CD=OC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO=45°，
∴∠CBD=90°，
∴BC2+BD2=CD2，
∴BC2+AC2=2OC2；
②如图3，当点C在BD上时，过点O作OH⊥CD于H，
∵OC=OD=5，∠COD=90°，
∴CD=5，
又∵OH⊥CD，
∴OH=CH=DH=，
∴BH===，
∴BD=BH+DH=+，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD=+；
如图4，当点D在BC上时，过点O作OH⊥CD于H，
同理可求AC=BD=-；
综上所述：AC=+或-．
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