函数模型和运用问题的类型与解法 教案（含答案）

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函数模型和运用问题的类型与解法
初中数学课程中学习了一元一次函数，正比例函数，反比例函数和一元二次函数四种函数；进入高中，第一学期的上半学期又学习了指数函数，对数函数和幂函数三种函数，这样一来，现在已经学习了七种不同的函数。运用所学函数模型去解决日常生活中的实际问题是学习函数知识的初衷和目的，所以接下来的学习过程中函数模型和运用问题是必不可少的学习内容之一。纵观近几年的各种考试，归结起来函数模型和运用问题主要包括：①运用函数图像描述某种事态的变化过程；②根据确定的函数模型解答日常生活中的实际问题；③构造恰当的函数模型解答日常生活中的实际问题；④函数模型的综合运用问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答问题的思路与方法也有一定的规律可寻，那么在具体解答函数模型和运用问题时，到底应该怎样根据问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题：
【典例1】解答下列问题：
1、小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（
）
y
距学校的距离
y
距学校的距离
y距学校的距离
y距学校的距离
0
x
时间
0
x
时间
0
x
时间
0
x
时间
A
B
C
D
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②行驶问题的基本量及其相互之间的关系；③一元一次函数的定义与性质；④一元二次函数的定义与性质。
【解题思路】根据行驶问题的基本量及其相互之间的关系，运用一元一次函数和一元二次函数的性质，结合函数图像就可得出选项。
【详细解答】小明骑车上学，开始时匀速行驶，他离学校的距离随时间的增长而减少，排除A；途中因交通堵塞停留了一段时间，这段时间距学校的距离保持不变，排除D；
之后为了赶时间加快速度行驶，这时距学校的距离与时间的变化关系应该是曲线，而不是直线，排除B，C正确，选C。
2、物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（
）
Q------|
Q------|
Q------|
Q------|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
T
t
0
T
t
0
T
t
0
T
t
A
B
C
D
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②运输问题的基本量及其相互之间的关系；③一元一次函数的定义与性质；④一元二次函数的定义与性质。
【解题思路】根据运输问题的基本量及其相互之间的关系，运用一元一次函数和一元二次函数的性质，结合函数图像就可得出选项。
【详细解答】运输效率（单位时间的运输量）是逐步提高的，函数的图像应该是一直向下凸的，排除A，C，D，B正确，选B。
3、某蔬菜基地种植西红柿，由原来市场行情可知，从一月一日起300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如图甲所示，西红柿的种植成本与上市时间的关系如图乙所示。
（1）写出表示市场售价与时间的函数解析式；
（2）写出表示种植成本与时间的函数解析式；
（3）若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿收益最大？
y
200
y
300--------------
150---------------------
200
100
------------
100
---------
50
0
100
200
300
x
0
50
100
150
200
250
x
（甲图）
（乙图）
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②商品销售问题的基本量及其相互之间的关系；③一元一次函数的定义与性质；④一元二次函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据商品销售问题的基本量及其相互之间的关系，运用一元一次函数的性质，结合函数图像就可求出表示市场售价与时间的函数解析式；（2）根据商品销售问题的基本量及其相互之间的关系，运用一元二次函数的性质，结合函数图像就可求出表示种植成本与时间的函数解析式；（3）根据商品销售问题的基本量及其相互之间的关系，结合问题条件求出西红柿收益关于时间的函数解析式；运用一元二次函数的性质就可求出西红柿收益最大的上市时间。
【详细解答】（1）设西红柿上市的时间为t天，售价为y元/kg，由图甲可知，市场售价与时间的关系分为两段，第一段是0t200，y=-t+300，第二段是200表示市场售价与时间的函数解析式为y=-t+300，0t200，（2）设西红柿上市的时间为t
2t-300，200由图乙可知函数为一元二次函数，令y=a+bt+c，点（50，150），（150，100），（250，150）三点均在函数的图像上，-=150①，=100②，2500a+50b+c=150③，联立①②③解得：a=，b=-，c=，表示种植成本与时间的函数解析式为y=-t+（02t-300--+t-200=-+t-，g(t)=
-+t+，0t200，
-+t-，200-（t-50）+100，
=
g(50)=100，当200-（t-350）+100，=
g(300)=-
+100=
，100>，当t=50，即从一月一日起，第50天时，上市的西红柿收益最大。
『思考问题1』
（1）【典例1】是用函数图像刻画某种事态变化过程的问题，解答这类问题需要理解函数图像的定义，掌握运用函数图像判断某种事态变化过程的基本方法；
（2）运用函数图像判断某种事态变化过程的基本方法有：①构造函数模型法；②验证法；
（3）构造函数模型法的基本方法是：①根据题意构建函数模型；②结合函数模型选择相应的函数图像；
（4）验证法的基本方法是：①确定实际问题中两个变量的变化快慢的特点；②运用函数图像的变化趋势进行验证；③排除不符合实际问题函数图像，④得出符合实际问题函数图像。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设甲，乙两地的距离为a（a＞0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和所用的时间x的函数图像为（
）（答案D）
y
y
y
y
2a
----------|
2a--------------|
a
-----|
a
---|
|
a
-
-
|
|
a
---
|
|
|
0
20
50
x
0
20
50
x
0
20
30
60
x
0
20
30
60
x
A
B
C
D
2、某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图像正确的是（
）
（答案A）
y
|
y
|
y
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
3
6
x
0
3
6
x
0
3
6
x
0
3
6
x
A
B
C
D
y
(元)
【典例2】解答下列问题：
1、某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数解析式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少（
）
A
200副
B
400副
C
600副
D
800副
【解析】
【知识点】①产品销售问题的基本量及其相互之间的关系；②一元一次函数的定义与性质。
【解题思路】根据产品销售问题的基本量及其相互之间的关系，结合问题条件得到产品利润关于产量x的函数解析式，运用一元一次函数的性质，求出该厂为了不亏本手套日产量的最小值就可得出选项。
【详细解答】设该厂生产手套的日利润为f(x)，
f(x)=10x-5x-4000=5x-4000，该厂不亏本，
5x-40000，x800，该厂为了不亏本，日产手套至少为800副，D正确，选D。
2、某种动物的繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系式为y=a（x+1），已知该动物第一年繁殖100只，则第15年会繁殖
只。
【解析】
【知识点】①动物繁殖问题的基本量及其相互之间的关系；②对数函数的定义与性质。
【解题思路】根据动物繁殖问题的基本量及其相互之间的关系，结合问题条件得到动物繁殖数关于时间x的函数解析式，运用对数函数的性质，就可求出第15年繁殖的单位数量。
【详细解答】该动物第一年繁殖100只，100=a(1+1)=a2=a，a=100，
y=100（x+1），当x=15时，y=100（15+1）=10016=1004=400。
3、某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质
y（元）
量（kg）与其运费（元）由如图的一次函数
930
-----------------|
确定。那么乘客可免费携带行李的质量最大为
630
--------|
|
kg。
330
----|
|
|
【解析】
0
30
40
50
x（kg）
【知识点】①函数图像及运用；②求函数解析式的基本方法；③一元一次函数的定义与性质。
【解题思路】根据函数图像和求函数解析式的基本方法，得到所携带行李的质量（kg）关于其运费的函数解析式，运用一元一次函数的性质，就可求出乘客可免费携带行李的质量最大值。
【详细解答】如图，设函数的解析式为y=kx+b，点（30，330），（40，630）在函数的图像上，330=30k+b①，630=40k+b②，联立①②解得：k=30，b=-570，y=30x-570，由y=30x-5700得x19，乘客可免费携带行李的质量最大为19kg。
4、一个容器装有细沙acm，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y=a（cm），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，再经过
min，容器中的沙子只有开始时的八分之一。
【解析】
【知识点】①求函数解析式的基本方法；③指数函数的定义与性质。
【解题思路】根据求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出剩余细沙量关于时间t的函数解析式，运用指数函数的性质，就可求出容器中的沙子只有开始时的八分之一经过的时间。
【详细解答】
tmin后剩余的细沙量为y=a（cm），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，
acm=
a
cm，=，即b=，
y=a，a=
a，
t=24，即再经过24-8=16（min），容器中的沙子只有开始时的八分之一。
5、某地区上年度电价为0.8元/kw.h，年用电量为a
kw.h，本年度计划将电价降到0.55元/
kw.h至0.75元/
kw.h之间，而用户期望电价为0.4元/
kw.h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力的成本价为0.3元/
kw.h。
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
（2）设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20℅？
【解析】
【知识点】①电力收益问题的基本量及其相互之间的关系；②反比例函数的定义与性质；③一元二次函数的定义与性质；④求函数解析式的基本方法。
【解题思路】（1）根据电力收益问题的基本量及其相互之间的关系和求函数解析式的基本方法，结合问题条件就可求出电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）运用反比例函数和一元二次函数的性质，就可求出保证电力部门的收益比上年至少增长20℅的最低电价。
【详细解答】（1）下调后的电价为x元/kw.h，下调电价后的用电量为+a，
y=（+a）（x-0.3）（0.55x0.75）；（2）当k=0.2a时，
y=（+a）（x-0.3）
=
（x-0.3）（0.55x0.75），保证电力部门的收益比上年至少增长20℅，
（x-0.3）a（0.8-0.3）（1+20%）（0.55x0.75），-1.1x+0.30（0.55x0.75），0.60x0.75，即电价最低定为0.60元/kw.h时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20℅。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知函数模型的实际应用问题，解答这类问题的基本方法是：①理解并掌握给定函数模型的解析式，图像和性质；②根据已知的函数模型，结合题给条件求出解析式中的待定系数得到函数模型的解析式；③运用该函数的图像和性质求解问题；
（2）函数模型就是运用函数的知识对日常生活中普遍存在的实际应用问题进行加工，建立相应的函数，利用函数的方法达到解决实际问题的目的。
〔练习2〕解答下列问题：
1、某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为=4.1x-0.1；在B地的销售利润（单位：万元）为=2x，其中x为销售量（单位：辆）。若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（
）（答案C）
A
10.5万元
B
11万元
C
43万元
D
43.025万元
2、某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系y=（e=2.718---为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0的保鲜时间为192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是
小时（答案24）
3、某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？（答案：400份，1170元）
4、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25℅，现有三个奖励模型：y=0.25x,y=x+1，y=1.00，其中哪个模型符合公司的要求？（答案y=x+1）
5、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案1：每天回报40元；（答案：方案3）
方案2：第一天回报10元，以后每一天比前一天多回报10元；
方案3：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番，请问你会选择哪种投资方案？
【典例3】解答下列问题：
1、当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的应该是（
）
A
y=10000x
B
y=x
C
y=
D
y=
【解析】
【知识点】①正比例函数的定义与性质；②对数函数的定义与性质；③幂函数的定义与性质；④指数函数的定义与性质。
【解题思路】根据正比例函数，对数函数，幂函数和指数函数的性质，结合问题条件确定出当x相当大时，增长速度最快的函数就可得出选项。
【详细解答】>1，（0，+），当x>时，y=x<
y=<
y=，
当x>2时，y=>
>2>210000>
y=10000x，增长速度最快的应该是y=，D正确，选D。
2、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（
）
A
一次函数
B
二次函数
C
指数函数
D
对数函数
【解析】
【知识点】①一元一次函数的定义与性质；②一元二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④指数函数的定义与性质。
【解题思路】根据一元一次函数，一元二次函数，对数函数和指数函数的性质，结合问题条件确定出适合该公司的函数模型就可得出选项。
【详细解答】一元一次函数是匀速增长，一元二次函数和指数函数的增长速度都是越来越快，这三种函数模型都不能反映该公司调整后利润y与时间x的关系，即只有读书函数模型能够反映该公司调整后利润y与时间x的关系，D正确，选D。
3、据统计，2014年某地区1月，2月，3月的用工人数为0.2万人，0.4万人和0.76万人，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系可近似的表示为（
）
A
y=0.2x
B
y=
（+2x）
C
y=
D
y=0.2+
x
【解析】
【知识点】①正比例函数的定义与性质；②一元二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④指数函数的定义与性质。
【解题思路】根据正比例函数，一元二次函数，对数函数和指数函数的性质，结合问题条件确定出适合该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数模型就可得出选项。
【详细解答】对y=0.2x，1月为0.2万人，2月为0.4万人吻合，但3月为0.6万人与实际的0.76万人差距太大，该函数模型不适合；对y=
（+2x），1月为0.3万人，2月为0.6万人与实际人数都不吻合，该函数模型不适合；对y=
，1月为0.2万人，2月为0.4万人吻合，3月为0.8万人与实际的0.76万人差距较小，对y=0.2+
x
=0.2+
x，1月为0.2万人，2月为0.4万人吻合，3月为0.2+
3=0.2+（lg3-lg2）0.2+(0.4771-0.3020)
0.2+0.04380.2438(万人)与实际的0.76万人差距太大，该函数模型不适合，该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系可近似的表示为y=
，C正确，选C。
4、某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R元），若年销售量为（30-R）万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是（）A
［4，8］
B
［6，10］
C
［4%，8%］
D
［6%，10%］
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③一元二次函数的定义与性质。
【解题思路】根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，结合问题条件得到关于R的不等式，运用一元二次函数的性质求解不等式求出R的取值范围就可得出选项。
【详细解答】附加税不少于128万元，160（30-R）R%128，-+12R-320，
4R8，A正确，选A。
5、某校高一（2）班共有学生51人，据统计原来每年用于
y（桶）
购买饮料的平均支出是a（a）元，若该班全体学生改
400
---|
饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两
320
---|---|
部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用
|
|
228元，其中纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）
|
|
之间满足如图所示的关系。
0
8
10
x（元/桶）
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当a=120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用哪一种更少？说明你的理由。
（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③函数图像及运用；④一元一次函数的定义与性质；⑤一元二次函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，结合函数图像就可求出y关于x的函数关系式；（2）根据一元一次函数的性质，由（1）y关于x的函数关系式求出x的值，从而分别求出该班全体学生改饮桶装纯净水和购买饮料的年总费用，通过比较就可得出年总费用哪一种更少；（3）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，得到该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用的函数模型，运用一元二次函数的性质求出该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用的最大值，从而得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的最小值。
【详细解答】（1）由函数图像设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，点（8，400），（10，320）在函数的图像上，400=8k+b①，320=10k+b②，联立①②解得：k=-40，b=720，y关于x的函数关系式为y=-40x+720；（2）设该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用为f(x)元，该班每年需要纯净水380桶，380=-40x+720，x=8.5，
f(x)=8.5380+228
=3458（元），12051=6120（元），6120>3458，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用更少；（3）设该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用为g(x)元，
g(x)=（-40x+720）x+228=-40+720x+228，当且仅当x=-=9时，=
g(9)=
=-4081+7209+228=3468，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，51a3468，a68，当a至少为68元时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少。
6、某医药研究所开发了一种新药，如果成年人按规定的剂量
y
服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时
4
--|
间t（小时）之间近似地满足如图所示的曲线。
|
（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；
2
|
y=
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时
|
治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间。
0
1
2
3
4
5
t
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③函数图像及运用；④分段函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，结合函数图像就可求出第一次服药后y与t之间的函数关系式；（2）由（1）y关于t的函数关系式求出当y=0.25时间t的值就可得出服药一次后治疗疾病有效的时间。
【详细解答】（1）由函数的图像可知，第一次服药后y与t之间的函数为分段函数，①当0t1时，设y=kt，点（1，4）在函数的图像上，4=k，y=4t；②当t>1时，
y=，点（1，4）在函数的图像上，
4=
，a=3，y=，第一次服药后y与t之间的函数关系式为f(t)=
4t，0t1；（2）每毫升血液中含药量不少于0.25
，t>1，微克时治疗疾病有效，
f(t)
0.25，①当0t1时，4t0.25，t1，②当t>1时，0.25，t-32，
17、某林区2014年木材蓄积量为200万，由于采取了封山育林，严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%。
（1）若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万，求y=f(x)的解析式，并求此函数的定义域；
（2）作出函数y=f(x)的图像，并应用该图像求经过多少年后，该林区的木材蓄积量能达到300万。
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③求函数定义域的基本方法；④指数函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，结合问题条件就可求出经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万，y关于x的函数关系式，并运用求函数定义域的基本方法求出此函数的定义域；（2）根据（1）y关于x的函数关系式作出函数y=f(x)的图像如图，运用函数图像就可求出该林区的木材蓄积量能达到300万时，经过的时间x（年）的值。
【详细解答】（1）木材蓄积量的年平均增长率达到5%，y=f(x)=200
，经过的时间x的单位是年，函数y=f(x)=200
的定义域为{x|x0，x}；（2）根据（1）y=f(x)=200
列表如下：
y
x
0
1
2
3
-----
300
--------------------------------
-
A
y
200
210
220.5
231.525
-------
250
作出函数
y=f(x)=200
的图像如图所
200
示，该林区的木材蓄积量能达到300万，
150
200
=300，由函数的图像可知，
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
88、光线通过一块玻璃，强度要损失10%，设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y。
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下？
（参考数据：lg20.3020，lg30.4771）
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③指数函数的定义与性质；④对数函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，结合问题条件就可求出通过x块这样的玻璃以后强度为y，y关于x的函数关系式；（2）根据（1）y关于x的函数关系式，得到关于x的不等式，运用对数函数的性质求解不等式求出x的取值范围，就可求出x的最小值。
【详细解答】（1）经过一块玻璃后，光线的强度y=k(1-10%)=0.9k，经过x块玻璃后，光线的强度y=k（x）；（2）光线强度能减弱到原来的以下，
y=k<，xlg0.9=-2lg2，x<-<-<13.14，
x，
x14，即至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下。
9、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时；研究表明，当20x200时，车流速度v是车流密度的一次函数。
（1）当0x200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x.v(x)可以达到最大，并求出最大值（精确到辆/小时）（2017武汉调研）
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③分段函数的定义与性质；④一元一次函数的定义与性质；⑤一元二次函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，运用一元一次函数和分段函数的性质，结合问题条件就可求出当0x200时，函数v（x）的表达式；（2）根据（1）函数v（x）关于x的表达式，得到函数f(x)关于x的表达式，运用一元二次函数和分段函数的性质，就可求出当f(x)取得最大值时x的值。
【详细解答】（1）设当20x200时，v（x）=kx+b，点（20，60）和（200，0）在函数v（x）的图像上，20k+b=60①，200k+b=0②，联立①②解得：k=-，b=，
v（x）=-x+，即当0x200时，函数v（x）=-x+，20x200；（2）由（1）
60x，0x20，
60，0x20，得到函数f(x)的表达式为：f(x)=
-+x，20x200，①当0x20时，函数f(x)单调递增，当x=20时，=
f(20)=6020=1200（辆/小时）；②当20x200时，当且仅当x=-
=100时，=
f(100)=
-10000+100=3333（辆/小时），3333>1200，
当车流密度x为100辆/千米时，车流量f(x)=x.v(x)在区间[0，200]上可以达到最大，且=3333辆/小时。
『思考问题3』
（1）【典例3】是构造函数模型的实际应用问题，解答这类问题需要深刻理解题意，分清条件和结论，理顺问题中各基本量之间关系；
（2）构造函数模型解答实际应用问题的基本方法是：①正确理解题意，分清问题的条件与结论，理顺各基本量之间的数量关系；②把文字语言转化为数学语言，联想相应的函数模型；③建立适合问题的函数模型；③运用相关函数的图像，结合相关函数的性质解答问题；④得出实际问题需要的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、某机床在生产中所需垫片可以外购，也可以自己生产，其中外购的单价是1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费0.60元。设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是（
）（答案B）
A
x＞1800
B
x＞1600
C
x＞1500
D
x＞1400
2、某桶装水经营部每天的房租，人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单价（元）
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量（桶）
480
440
400
360
320
280
240
请根据上表数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？（答案这个经营部定价9元/捅时，才能获得最大利润）
3、假设A型进口汽车关税税率在2001年是100℅，在2006年是25℅,2001年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）。
（1）已知A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B型车的价格不高于A型车价格的90℅，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（答案B型平均每年至少降低2万元）
（2）某人在2001年将33万元存银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8℅（五年内不变），且每年按复利计算（例如第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（1）中所述降价后的B型汽车？（答案能够买到降价后的B型车）
4、一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p℅，写出成本随经过年数变化的函数关系式。（答案：设m年后产品的成本为y元，y=a）
5、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其它20台未感染病毒的计算机，现有10计算机被第一轮病毒感染，问被第五轮病毒感染的计算机有多少台？（答案：被第五轮病毒感染的计算机有10000台）
6、如图河流航线AC段长40千米，工厂B位于码头C正北30千米处，原来工厂需要原料需由码头A装船沿水路运到码头C后，再改陆运到工厂B，由于水运太长，运费颇高，工厂B与航运局协商在AC段上另建一码头D，并由码头
B
D到工厂B修一条新公路，原料改为按由A到D再到
B的路线运输，设|AD|=x千米（0≤x≤40）,
每10吨
货物总运费为y元，已知每10吨货物每千米运费水路
为1元，公路为2元。
A
C
（1）写出y关于x的函数关系式；（答案：y=x+2
，0≤x≤40）
（2）要使运费最省，码头D应该建在何处？（答案：当码头建在AC段上与点A相距（40-10）千米时，可使运费最少）
7、某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后
侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的左、后两侧边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
16、如图，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方
v
向做匀速移动，速度为v(v＞0),雨速沿E移动方向的分速度为
P
C（c∈R）。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P
的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c|×S
E
成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为。记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=
时。
（1）写出y的表达式；（答案：y=（3|-c|+10））
（2）设0＜v≤10,
0＜c≤5,试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量最少。
（答案：当=c时，=）
【典例4】解答下列问题：
1、某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个------现在有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是（
）
A
y=2x
B
y=
C
y=
D
y=
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②求函数模型的基本方法；③指数函数的定义与性质。
【解题思路】根据函数模型的性质和求函数模型的基本方法，结合问题条件求出分裂x后得到细胞的个数y与x的函数关系就可得出选项。
【详细解答】2个细胞分裂一次后的细胞个数为2
2=4=
=
，分裂二次后的细胞个数为42=8=
=
，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是
y=，D正确，选D。
2、某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，公式为
4x，1x<10，x，
其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60人，y=
2x+10，10x<100，x，
则该公司拟录用的人数为（
）
1.5x，x
100，x，
A
15
B
40
C
25
D
130
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②分段函数的定义与性质。
【解题思路】根据函数模型和分段函数的性质，结合问题条件求出面试人数为60人时，该公司拟录用的人数就可得出选项。
【详细解答】410=40<面试人数为60人<1.5100=150，10<该公司拟录用的人数<100，
60=2x+10，x=25（人），C正确，选C。
3、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产一万部还需
另投入16万美元，设公司一年内共生产该款手机x万部并全部
-，x＞40.，
销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且
R（x）=
400-6x，0＜x40。
（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润。
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③分段函数的定义与性质；④一元二次函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，结合问题条件就可求出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（2）根据（1）利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式，运用一元二次函数和分段函数的性质，就可求出当年利润W取得最大值时x的值。
【详细解答】（1）
R（x）=
400-6x，0＜x40，①当0＜x40时，W（x）=x
R（x）-
-，x＞40.，(40+16x)=-6+384x-40；②当x>40
时，W（x）=x
R（x）-(40+16x)=-
-16x+7360，年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式为：W（x）=-6+384x-40，0＜x40；（2）①当0＜x40时，
-
-16x+7360，当且仅当x=-=32时，
=
W（32）=-632+38432-40=6104（万美元）；②当x>40时，
W（x）
7360-27360-8006560
当且仅当=16x，即x=50时，
=6560（万美元），6560>6104，当年产量为50万部时，公司在该款的生产中所获得的利润最大，且最大利润为6560万美元。
4、在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5℅，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资分别是多少？
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司？为什么？
（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由。
【解析】
【知识点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③一元一次函数函数的定义与性质；④指数函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，结合问题条件就可分别求出该人在A公司或B公司连续工作n年，第n年的月工资关于n的函数解析式；（2）根据（1）该人在A公司或B公司连续工作n年，第n年的月工资关于n的函数解析式，分别求出在A，B公司工作10年的工资总数，通过比较就可确定该人应该选择哪家公司；（3）根据（1）该人在A公司或B公司连续工作n年，第n年的月工资关于n的函数解析式，求出两个函数函数值的差就可得出在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多的数额。
【详细解答】（1）设该人在A公司工作n年后的月工资为f(n)元，在B公司工作n年后的月工资为g(n)元，
f(n)=1500+230（n-1）=230n+1270，g(n)=2000
，该人分别在A公司或B公司连续工作n年，他在第n年的月工资分别是（230n+1270）元，2000
元；（2）该人在A公司工作10年的工资总额为12
[127010+230（1+2+3+---
+10）]=304200（元），该人在A公司工作10年的工资总额为12
301869（元），304200>301869，该人应该选择A公司；（3）设F（n）=
f(n)-
g(n)，
F（n）=
f(n)-
g(n)=230n+1270-2000
(n)，①当n=1时，F（1）=
f(1)-
g(1)=230+1270-2000
=-500，②当n2时，
F（n）-
F（n-1）=
f(n)-
f(n-1)-
g(n)+
g(n-1)
=230-100>0，<2.3，n<19.1，2n19时，f(n)>
f(n-1)；③当
n20时，f
(n)<
f(n-1)，综上所述，=
F（19）=23019+1270-2000827（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元。
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数的应用的综合问题，解答这类问题需要弄清应用问题的类型，结合该类问题的特征及涉及的基本量和基本量之间的数量关系并联系相关的函数模型进行；
（2）函数应用综合问题的特征是：①不同应用问题涉及不同的基本量；②各基本量之间具有一定的相互关系；③每一个应用问题都对应着某一个函数模型。
（3）常用的函数模型有：①一元一次函数模型；②反比例函数模型；③一元二次函数模型；④指数函数模型；⑤对数函数模型；⑥幂函数模型；
（4）解答函数应用综合问题的基本步骤是：①认真读题，弄清应用综合问题涉及的基本知识点；②分辨清楚该类型应用问题的基本量及基本量之间的相互关系；③联系问题相应的函数模型，并写出对应的函数解析式；④运用相应函数的图像和性质解答问题，并得出应用问题的最终答案。
〔练习4〕解答下列问题：
1、一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p℅，写出年产量随经过年数变化的函数关系式；（答案：a）
2、某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元。
（1）分别求出总成本（单位：万元），单位成本（单位：万元），销售总收入（单位：万元），总利润（单位：万元）与总产量（单位：件）的函数解析式；（答案：=150+
0.25x；=+0.25；=0.35x；=（0.35-0.25）x-150。这里x为总产量）
（2）根据所求函数的图像，对这个公司的经济效益作出简单分析。（答案：由=（0.35-0.25）x-150=0.10x-150可知，该公司的销售量x1500件时，才不亏损，随着销售量的增加，该公司的总利润也增加。）
3、“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入-800元，税率如下表：
级数
全月纳税所得额
税率
1
不超过500元部分
5℅
2
超过500元至2000元部分
10℅
3
超过2000元至5000元部分
15℅
---
---------
---
9
超过10000元部分
45℅
（1）若应纳税额为f(x),试用分段函数表示上表1—3级纳税额的计算公式；（答案：
x5%，0f(x)=
25+（x-500）10%，500175+（x-2000）15%，2000（2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元？
（答案：205元）
（3）某人一月份应缴纳所得税款26.78元，则他当月工资总收入介于（
）（答案D）
A
800-900
B
900-1200
C
1200-1500
D
1500-2800
4、某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=a+bx+c，乙选择了模型y=p+r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型较好？（答案：选择模型y=a+bx+c较好）
5、若用模型y=
a来描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（m）与刹车时的速度x（km/h）的关系，而某种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m。在限速为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m，问这辆车是否超速行驶？（答案：这辆车没有超速行驶）
6、某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离x（km）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图像。答案：
60x，0x=
150，2.5150-50（t-3.5），3.5【考题演练】
【典例5】解答下列问题：
1、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱的包装盒，E，F在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值（2019全国高考江苏）
【解析】
【考点】①正方形和等腰直角三角形的定义与性质；②正四棱柱的定义与性质；③一元二次函数的定义与性质；④求一元二次函数最值的基本方法；⑤函数导函数的定义与基本求法；⑥运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质，结合问题条件把a，h表示成关于x的式子，从而根据正四棱柱侧面积的公式求出S关于x的解析式，利用求一元二次函数最值的基本方法就可求出S的最大值与x的值；（2）运用正四棱柱的体积公式把包装盒的体积表示成关于x的函数，运用求函数导函数和用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出包装盒体积的最大值与x的值。
【详细解答】（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），如图a=x，h=
=（30-x），（0（30-x）=8x（30-x）=-8+240x，当且仅当x=-=15时，=-8225+24015=120（30-15）=1800（cm），包装盒侧面积S（cm）最大时，x=15；（2）V=h=2.（30-x）=-2+60，
（x）=-6+120x=6x（20-x），令（x）=0得：x=0或x=20，0x=20，当x（0，20）时,
（x）>0，当x（20，30）时,
（x）<0，函数
V（x）在（0，20）上单调递增，在（20，30）上单调递减，=
V（30）=800
（-20+30）=8000（cm），此时==，包装盒容积V（cm）最大时，x=20，包装盒的高与底面边长的比值为。
2、某农场有一块农田如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上，设OC与MN所成的角为。
（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3，求当为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大（2018全国高考江苏卷）
【解析】
【考点】①圆和矩形的定义与性质；②求三角形和矩形面积的基本方法；③三角函数的定义与性质；④求三角函数最值的基本方法；⑤函数导函数的定义与基本求法；⑥运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质，结合问题条件把a，h表示成关于x的式子，从而根据正方体侧面积的公式求出S关于x的解析式，利用求一元二次函数最值的基本方法就可求出S的最大值与x的值；（2）运用正方体的体积公式把包装盒的体积表示成关于x的函数，运用求函数导函数和用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出包装盒体积的最大值与x的值。
【详细解答】（1）如图过A，B分别作ADMN于点A，BCMN于点B，分别交圆弧MPN于点D，C，设PO交CD于点H，AD=BC=40sin+10，AB=CD=240cos=80
cos，PH=40-40sin，=AB.BC=（40sin+10）.80
cos，=3200
sin.
cos+800
cos，
=CD.PH=40
cos（40-40sin）=1600
cos-1600
sin.
cos，若点C，D落在优弧MN上时，AB>MN，与题意不符，点C，D只能落在劣弧MN上，<40
sin
sin<1；（2）设甲种蔬菜年产值为4k(k>0)，则乙种蔬菜年产值为3k(k>0)，年总产值为y，y=4k+3k=8000k（sin.
cos+
cos），令f（）=
sin.
cos+
cos，（）=
cos
-
sin
-
sin=
-2sin
-
sin+1，令（）=0
得：sin=-1或sin=，-1（，1），
sin=，=，若sin=，当
（，）时,
（）>0，当（，）时,
（）<0，函数f（）在（，）上单调递增，在（，）上单调递减，=
f（）=
sin.
cos+
cos
=+=，即y=8000k=6000k为年产值的最大值，当=时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大。
3、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速V（单位：m/s）与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数V=k+b，其中k，b为常数，已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5m/s时，其耗氧量为2700个单位。
（1）求出游速V与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；
（2）求当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位（2017—2018成都市高一上期质量检测）
【解析】
【考点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③对数函数的定义与性质。【解题思路】（1）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，结合问题条件就可求出游速V与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；（2）根据鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，得到关于耗氧量Q的不等式，运用对数函数的性质求解不等式求出耗氧量Q的取值范围就可得出耗氧量至多需要的单位数。
【详细解答】（1）鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位，游速为1.5m/s时，耗氧量为2700个单位，0==k+b①，2.5==k+b②，联立①②解得：k-=，游速V与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式为V=；（2）鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，2.5，3，27，Q2700，当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，其耗氧量至多需要2700个单位。
4、某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元。
（1）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时以46万元出售该写字楼；
②纯利润总和最大时，以10万元出售该写字楼，问哪种方案盈利更多？（成都市2017—2018高一下期期末质量检测(文)）
【解析】
【考点】①函数模型的定义与性质；②建立函数模型的基本方法；③一元二次函数的定义与性质。
【解题思路】（1）根据函数模型的性质和建立函数模型的基本方法，结合问题条件就可求出利润f(x)关于运转年数x之间的函数解析式，从而得到关于x的不等式，求解不等式求出年时x的取值范围就可得出扣除投资和各种维修费，开始获取纯利润的年数x的值；（2）根据鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，得到关于耗氧量Q的不等式，运用对数函数的性质求解不等式求出耗氧量Q的取值范围就可得出耗氧量至多需要的单位数。
【详细解答】（1）设该写字楼运转的年数为x年，运转x年后获得的利润总额为f(x)万元，f(x)=30x-x-
2-81=-+30x-81（x>0，x），扣除投资和各种维修费，开始获取纯利润，
f(x)=
-+30x-81>0，3x，若扣除投资和各种维修费，则从第4年开始获取纯利润；（2）①由（1）知，年平均利润为y==-x-+30
30-230-2912，当且仅当x=，即x=9时等号成立，年平均利润最大时以46万元出售该写字楼，开发商的总收入为f(9)+46=-81+309-81+46=144（万元）；②
由（1）知，当且仅当x=-=15时，=
f(15)=-225+3015-81=144，纯利润总和最大时，以10万元出售该写字楼，开发商的总收入为f(15)+10=154（万元），154>144，纯利润总和最大时，以10万元出售该写字楼，方案盈利更多。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年各种考试中运用函数模型解答实际应用问题考试题目，解答这类问题的关键是建立适当的函数模型；
（2）运用函数模型解答实际应用问题的基本方法是：①正确理解题意，分清问题的条件与结论，理顺各基本量之间的数量关系；②把文字语言转化为数学语言，联想相应的函数模型；③建立适合问题的函数模型；③运用相关函数的图像，结合相关函数的性质解答问题；④得出实际问题需要的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元。
（理）（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（答案：3x10）
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润。（答案：当且仅当x=6时，=457500元）
（文）（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+-)元；（答案：生产a千克该产品，所用的时间为小时，生产a千克该产品所获得的利润为100a(5x+1-).
=100a(5+-)(元)）
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润。（答案：当且仅当x=6时，=457500元）
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