高中数学人教A版选修（2—2）第二章1.2导数的计算测试题（含解析答案）

高中数学人教A版选修（2—2）第二章1.2导数的计算测试题（含解析答案）
一、选择题
1．下列函数求导运算正确的个数为(　　)
①(3x)′＝3xlog3e；　②(log2x)′＝；　③(ex)′＝ex；④′＝x；　
⑤(xex)′＝ex＋1.
A．1 B．2 C．3 D．4
　解析：B　因为(3x)′＝3xln 3，′＝－，(xex)′＝ex＋xex，故①④⑤错．
2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(　　)
A．1 B．2 C．e D.
解析：A　y′|x＝0＝ex|x＝0＝e0＝1.
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
　解析　A　求导得y′＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线l的方程
是x－y＋1＝0，所以切线l的斜率k＝1＝y′|x＝0.又点(0，b)在切线l上，于是
有解得
4．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为(　　)
A．－3 B．2 C．－3或2 D.
　 解析　B　令y′＝x－＝－，得x＝2或x＝－3.∵x>0，∴x＝2.
5．已知函数f(x)＝－cos x＋ln x，则f′(1)的值为(　　)
A．sin 1－1 B．1－sin 1
C．1＋sin 1 D．－1－sin 1
　 解析　C　∵f(x)＝－cos x＋ln x，∴f′(x)＝＋sin x，可得f′(1)的值为1＋sin 1.
6．y＝x2cosx的导数是(　　)
A．y′＝2xcosx＋x2sinx　　　 B．y′＝2xcosx－x2sinx
C．y′＝2xcosx D．y′＝－x2sinx
B 解析：y′＝2xcosx－x2sinx.
7．函数y＝f(x)的图像在点x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．0　　　　　D.
B 解析：由于f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故f(5)＋f′(5)＝2.
8．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
A 解析：令y′＝4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y－1
＝4(x－1)，整理，得4x－y－3＝0.
9．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)
A．1 B. C. D.
B 解析：过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切．
设P(x0，x02－lnx0)，则所作直线的斜率k＝2x0－.
∴2x0－＝1，∴x0＝1，或x0＝－(舍去)．
∴P(1,1)，∴所求最小距离d＝＝.
10. 若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则
a＝(　　)
A．64 B．32 C．16 D．8
　解析　A　y′＝(x－)′＝－x－.在x＝a处，直线斜率为k＝－a－.直线方程为
y－a－＝－a－(x－a)．当x＝0时，y＝a－＋a－＝a－；当y＝0时，
x＝3a.又18＝×a－·3a，∴a＝64.
11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝(　　)
A．－1 B．－2 C．1 D．2
　解析　B　f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.
12．设f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]
解析：由已知，得f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x. ∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.
又θ∈，∴≤θ＋≤， ∴≤sin≤1，∴≤f′(1)≤2.
二、填空题
13．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
　解析　∵y′＝ex＋xex＋2，y′|x＝0＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－0)，即y＝3x＋1.
【答案】　y＝3x＋1
14．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
　解析　设切点坐标为(x0，ex0)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝ex0，切点与原点连线的
斜率k′＝.∵k＝k′，
∴ex0＝，∴x0＝1，∴切点为(1，e)，k＝e.
【答案】　(1，e)　e
15．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________．
解析：∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，∴由题知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．
即a＝－在(0，＋∞)上有解． ∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．
∴a∈(－∞，0).
答案：(－∞，0)
16.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已
知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为__________．
解析：设P(x0，y0)(x0＜0)，由题意知y′|x＝x0＝3x02－10＝2，∴x02＝4，∴x0＝－2.∴y0
＝15. ∴P点的坐标为(－2,15).
答案：(－2,15)
三、解答题
17．求下列函数的导数：
(1)y＝x2cos x；　　　(2)y＝2xex－3x＋π； (3)y＝.
　解析　(1) y′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
(2) y′＝(2x)′ex＋2x(ex)′－(3x)′＝2xln 2·ex＋2xex－3xln 3
＝(ln 2＋1)(2e)x－3xln 3.
(3) y′＝＝.
18．用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数．
　解析　令f(x)＝， 则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1
＝＝＝，
＝－，
∴ ＝ ＝－.
19．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切，且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切，且切点异于P的直线方程．
解析：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点
的直线的斜率f′(1)＝0， ∴所求直线方程为y＝－2.
(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x02－3. 又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为＝，
又＝3x02－3， 即x03－3x0＋2＝3(x02－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)，或x0＝－，
故所求直线的斜率为k＝3×＝－.
∴直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.
20．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
解析：(1) y′＝2x＋1.直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－，
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2) 解方程得
所以直线l1和l2的交点的坐标为.
又l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、.
所以所求三角形的面积为S＝××|－|＝.
21.已知函数f(x)＝的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求y＝f(x)
的解析式．
解析　依题意，－1＋2f(－1)＋5＝0，∴f(－1)＝－2，
∴＝－2，即a－2b＝－4.①
又f′(x)＝＝，
∴f′(－1)＝.
又∵点(－1，f(－1))处的切线斜率为k＝－，
∴＝－.②
解①②得∴f(x)＝.
22．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解析：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则
y1＝kx1，① y1＝－x12＋x1－4.②
①代入②，得x12＋(k－)x1＋4＝0.
∵P为切点， ∴Δ＝(k－)2－16＝0，得k＝，或k＝.
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17；
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程，得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，
∴x2＝，y2＝－4.
∴Q点的坐标为.