数列的概念与简单表示法
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§2.1.2数列的概念与简单表示法
Ⅰ.课题导入
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数
三角形数：1，3，6，10，… .
正方形数：1，4，9，16, ….
4，5，6，7，8，9，10． ①1，，，，，…. ②1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③1，1.4，1.41，1.414，…. ④-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤2，2，2，2，2，…. ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？
共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？
项
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
例1 根据下面数列的通项公式，写出前5项：
（1）
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7； （2）
（3）-，，-，.
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
………
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
例3 设数列满足写出这个数列的前五项。
例4已知， 写出前5项，并猜想．
Ⅲ.课堂练习
1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是
A、19 B、 20 C、 21 D 、22
2、观察下面数列的特点，用适当的数填空
（1）_____，，，，______；（2），，_____，，，_______。
3. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有___________个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
4.根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
(1)数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为____________________
（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为___________________________
(3)数列的一个通项公式___________________
5.已知数列满足，，则______________
6.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33……(2) , , , , … (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1……
(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
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Ⅰ.课题导入
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数
三角形数：1，3，6，10，… .
正方形数：1，4，9，16, ….
4，5，6，7，8，9，10． ①1，，，，，…. ②1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③1，1.4，1.41，1.414，…. ④-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤2，2，2，2，2，…. ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？
共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？
项
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
例1 根据下面数列的通项公式，写出前5项：
（1）
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7； （2）
（3）-，，-，.
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
………
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
例3 设数列满足写出这个数列的前五项。
例4已知， 写出前5项，并猜想．
Ⅲ.课堂练习
1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是
A、19 B、 20 C、 21 D 、22
2、观察下面数列的特点，用适当的数填空
（1）_____，，，，______；（2），，_____，，，_______。
3. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有___________个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
4.根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
(1)数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为____________________
（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为___________________________
(3)数列的一个通项公式___________________
5.已知数列满足，，则______________
6.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33……(2) , , , , … (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1……
(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
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