2021-2022学年人教版八年级数学上册14.2.1 平方差公式 课件 (共19张PPT)

(共19张PPT)
第十四章
整式的乘法与因式分解
14．2
乘法公式
14．2.1　平方差公式
情景导入
你能说一说多项式与多项式相乘的运算法则吗？
温故
答：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
合作探究
知识板块一　幂的乘方法则
计算下列多项式的积，你能发现什么规律
(1)(x＋1)(x
-
1)＝___________；
(2)(a＋3)(a－3)＝
___________
；
(3)(m＋n)(m－n)＝
___________
．
x2
-1
a2﹣9
m2﹣n2
上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.
由于(a
+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2
-b2.所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(a
+b)(a-b)=a2
-b2
两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.
平方差公式
公式变形:
1.(a
–
b
)
(
a
+
b)
=
a2－b2
2.(b
+
a
)(－b
+
a)
=
a2－b2
(a+b)(a－b)=(a)2－(b)2
相同为a
相反为b
这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．
适当交换
合理加括号
运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x
－
2);
(2)
(－x+2y)(－x
－
2
y).
在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即
(3x+2)(3x－2)
=
(3x)2
－22.
(a+
b)(a
－b)
=
a2
－
b2
例1
分析：
(1)
(3x+2)(3x
－
2)
=
(3x)2
－
22
=
9x2
－
4；
(2)
(－x+2y)(－x
－
2
y)
=(－x
)
2
－
(2y
)
2
=x2
－
4y
2.
解：
你还有其他的
计算方法吗？
符合平方差特点的，紧扣公式特征，找出公式中
的“a”和“b”，用平方差公式直接进行计算，注意
作为“a”项的符号为“－”号时，在计算中要连同它的
符号一起作为底数，例如上题中的（2）题，结果可能
会出现－x2+4y2这样的错解.
合作探究
知识板块二　平方差公式的应用
学方差公式之后，我们可利用平方差公式进行简便运算.
计算：
(1)(
y+2)(
y－2)
－(
y
－
1)(
y+5);
(2)102
×
98.
(1)(
y+2)(
y－2)
－(
y
－
1)(
y+5);
=y2
－
22
－
(
y2+4y
－
5)
=y2
－
4
－
y2
－
4y+5
=
－
4y
+1;
(2)
102
×
98=(100+2)
(100
－
2)
=
1002
－
22
=
10
000
－
4
=9
996.
例2
解：
运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与这两数的差的积的形式，利用平方差公式可求解．
例3
如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
解：(1)S1＝a2－b2，
S2＝
(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)；
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
1
2
当堂演练
C
1.下列运算正确的是(　　)
A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2
B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2
C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9
D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
2.计算2
0202－2
019×2
021的结果是(　　)
A．1　　　
B．－1　　　
C．2　　　
D．－2
当堂演练
A
当堂演练
3.运用平方差公式计算：
(1)
(a+3b)(a
－
3b);
(2)
(3+2a)(－
3+2a);
(3)
51
×
49;
(4)
(3x+4)(3x
－
4)－(2x+3)(3x
－
2).
当堂演练
(1)
a2－9b2；
(2)
4a2－9；
(3)
2499；
(4)
3x2－5x－10.
解：
4．先化简，再求值：
(1)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中x＝1，y＝2；
解：原式＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，
原式＝－15；
(2)－4x(x2－2x－1)＋x(2x＋5)(2x－5)，
其中x＝－1.
解：原式＝8x2－21x.当x＝－1时，原式＝29.
当堂演练
课堂总结
1．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
2．能用平方差公式进行运算的式子的特征：
(1)二项式与二项式的积；
(2)有一项相同，另一项互为相反数．