2.5一元二次方程的根与系数的关系解答题专题训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
解答题专题训练（附答案）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；
（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+3m﹣12＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程只有一个根是正数，求m的取值范围．
3．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
4．已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2021的值．
5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
6．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：
（1）m的值；
（2）△ABC的面积．
7．已知：关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，求k的值．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x1 x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
11．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
12．已知关于x的一元二次方程x2+4x＝1﹣m．
（1）当m＝5时，试判断此方程根的情况．
（2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，求m的值．
13．已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．
14．关于x的方程mx2+（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
15．已知关于x的方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0　
　（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　
　．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为　
　．
（4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．
19．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．
20．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0的两个实数根．
（1）当m＝0时，求方程的根；
（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）＝41，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足2x1＝|x2|+1，求m的值．
22．已知关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
23．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2|＝x1 x2﹣1，求k的值．
24．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
25．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足3x1＝|x2|+2，求m的值．
27．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．解：（1）把x＝1代入x2﹣（k+2）x+2k＝0，得
1﹣k﹣2+2k＝0，
解得k＝1．
设方程的另一根为t，则
t＝2k＝2．
即k的值为1，方程的另一根为2；
（2）∵Δ＝（k﹣2）2≥0，
∴对于任意实数k，原方程一定有实数根；
（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0
此方程的两根为x1＝k，x2＝2
若x1≠x2，则x1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．
若x1＝x2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，
所以，这个等腰三角形的周长为12．
2．（1）证明：∵Δ＝（m﹣1）2﹣4（3m﹣12）
＝m2﹣14m+49
＝（m﹣7）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x＝，
解得x1＝3，x2＝m﹣4，
∵方程只有一个根是正数，
∴m﹣4≤0，
∴m≤4．
3．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
4．解：（1）根据题意得k≠0且Δ＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，
∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，
∴α+β＝1，αβ＝﹣1，
∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，
∴α2＝α+1，β2＝β+1，
∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，
∴α3+β2+β+2021
＝2α+1+β+1+β+2021
＝2（α+β）+2023
＝2×1+2023
＝2025．
5．解：（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，
∴（2m+1）2﹣4m（m﹣2）≥0
解得m≥﹣且m≠2
（2）由题意得有两种情况：
①当x1＝x2，则Δ＝0，所以m＝﹣，x1＝x2＝﹣×＝．
②当x1＝﹣x2时，则x1+x2＝0．，所以m＝﹣，
因为m≥﹣且m≠2，所以此时方程无解．
综上所述，m＝﹣，x1＝x2＝．
6．解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是整数）．
∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m+3，c＝18，
∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0，
设x1，x2是此方程的两个根，
∴x1 x2＝＝，
∴也是正整数，即m2﹣1＝1或2或3或6或9或18，
又m为正整数，
∴m＝2；
（2）把m＝2代入两等式，化简得a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0
当a＝b时，
当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2＝0的两根，而Δ＞0，由韦达定理得a+b＝4＞0，ab＝2＞0，则a＞0、b＞0．
①a≠b，时，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12＝c2
故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．
②a＝b＝2﹣，c＝2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③a＝b＝2+，c＝2时，因＞，故能构成三角形．
S△ABC＝×（2）×＝
综上，△ABC的面积为1或．
7．（1）证明：Δ＝k2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程一定有两个实数根；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣k，x1 x2＝k﹣1，
∵（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
当x1+x2＝0，则﹣k＝0，解得k＝0，
当x1﹣x2＝0，则Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，
∴k的值为0或2．
8．解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0
∴1﹣4k≥0，
∴k≤．
∴当k≤时，原方程有两个实数根．
（2）假设存在实数k使得≥0成立．
∵x1，x2是原方程的两根，
∴．
由≥0，
得≥0．
∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，
∴只有当k＝1时，上式才能成立．
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得≥0成立．
9．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）＝4m+9≥0，
解得：m≥﹣，
即m的取值范围是m≥﹣；
（2）∵x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2﹣2）＝4m+9，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴4m+9+m2＝21，即m2+4m﹣12＝0，
解得m＝﹣6或m＝2．
∵m≥﹣，
∴m＝2．
故m的值为2．
10．解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
11．解：（1）Δ＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣4，
∴＝x1x2﹣4，
∴，
∴k＝5或k＝﹣3，
由（1）可知：k＝5舍去，
∴k＝﹣3．
12．解：（1）当m＝5时，原方程为x2+4x+4＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×4＝0，
此方程根有两个相等的实数根．
（2）∵x1，x2是方程x2+4x＝1﹣m，即x2+4x+m﹣1＝0不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，
∴Δ＝42﹣4×1×（m﹣1）＞0，解得m＜5
∴（1﹣m）2＝49，
解得m1＝﹣6，m2＝8（舍去）．
故m的值是﹣6．
13．（1）证明：①当a＝0时，方程为3x﹣3＝0，是一元一次方程，有实数根；
②当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，Δ＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0，
∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2＝，x1 x2＝，
∵|x1﹣x2|＝，
∴＝，
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．
14．解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
（2）假设存在，设方程的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
∵+＝＝﹣＝0，
∴m＝﹣2．
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m＝﹣2不符合题意，舍去．
∴假设不成立，即不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
15．解：（1）∵a＝，b＝﹣（m﹣2），c＝m2方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2＝﹣4m+4＝0，
∴m＝1．
原方程化为：x2+x+1＝0
x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣2．
（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
∵x1+x2＝﹣＝4m﹣8，x1x2＝＝4m2
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（4m﹣8）2﹣2×4m2＝8m2﹣64m+64＝224，
即：8m2﹣64m﹣160＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣2（不合题意，舍去），
又∵m1＝10时，Δ＝﹣4m+4＝﹣36＜0，此时方程无实数根，
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
16．解：（1）2x2+x﹣1＝0，
（2x﹣1）（x+1）＝0，
解得x1＝和x2＝﹣1，
故一元二次方程2x2+x﹣1＝0
不是（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣3x+c＝0的解，
∴m2﹣3m+c＝0，4m2﹣6m+c＝0，
∴m＝1，c＝2；
（3）设x＝m与x＝2m是方程ax2+bx+c＝0的解，
∴2m+m＝﹣，2m2＝，
∴消去m得：2b2＝9ac，
（4）由（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，
且该方程的两根分别为x＝2和x＝，
∴＝4或＝1，
当n＝4m时，
原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0
当n＝m时，
原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0．
故答案为：不是；2；2b2＝9ac．
17．解：（1）由题意△≥0，
∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，
∴m≤．
（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵方程的根为x1，x2，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）
＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）
＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）
＝（﹣1﹣x1）（x2+1）
＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1
＝﹣x2﹣x1﹣2
＝3﹣2
＝1．
18．解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，
x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m1＝6，m2＝﹣4，
而m≥2，
∴m的值为6；
（2）∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，
当7是腰时，x＝7必是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
综上所述，这个三角形的周长为17．
19．解：（1）解方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
得x1＝k+1，x2＝k+2．
∵k+1＜k+2，
∴△ABC是直角三角形时，斜边长不可能是k+1．
①如果（k+1）2+52＝（k+2）2，且k+2＞5，那么△ABC是直角三角形，
解得k＝11，符合题意；
②如果（k+1）2+（k+2）2＝52，且k+2＜5，那么△ABC是直角三角形，
解得k＝2，符合题意；
综上所述，当k为11或2时，△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴当AB＝AC时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝0，
解得k不存在；
当AB＝BC时，即AB＝5，
∴5+AC＝2k+3，5AC＝k2+3k+2，
解得k＝3或4，
∴AC＝4或6；
当BC＝AC时，即AC＝5，同理求得AB＝4或6；
∴△ABC的周长为14或16．
20．解：（1）当m＝0时，方程即为x2﹣4x＝0，
解得x1＝0，x2＝4；
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2（m+2），x1x2＝m2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝m2﹣4（m+2）+4＝m2﹣4m﹣4＝41，
∴m2﹣4m﹣45＝0，
解得m1＝9，m2＝﹣5．
当m1＝9时，方程为x2﹣22x+81＝0，Δ＝（﹣22）2﹣4×81＝160＞0，符合题意；
当m1＝﹣5时，方程为x2+6x+25＝0，Δ＝62﹣4×25＝﹣64＜0，不符合题意；
故m的值为9；
（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4（m+2）2﹣4m2＝0，
解得：m＝﹣1，
∴方程变为x2﹣2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
∵1+1＜9，
∴不能构成三角形；
②当9为腰时，设x1＝9，
代入方程得：81﹣18（m+2）+m2＝0，
解得：m＝15或3，
当m＝15时方程变为x2﹣34x+225＝0，
解得：x＝9或25，
∵9+9＜25，不能组成三角形；
当m＝3时方程变为x2﹣10x+9＝0，
解得：x＝1或9，
此时三角形的周长为9+9+1＝19．
21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根，
∴△≥0，即9﹣4（m﹣2）≥0
解得m≤．
答：m的求值范围为m≤．
（2））根据根与系数的关系：
x1+x2＝3，x1 x2＝m﹣2，
∵x1，x2满足2x1＝|x2|+1，
①当x2≥0时，2x1＝x2+1
把x2＝3﹣x1代入，得
2x1＝3﹣x1+1
解得x1＝，
∴x2＝，
∴m﹣2＝x1 x2＝
∴m＝．
②当x2＜0时，2x1＝﹣x2+1
∴2x1+3﹣x1＝1
解得x1＝﹣2，x2＝5，
∵2x1＝|x2|+1，
∴x1＝﹣2，x2＝5（不符合题意，舍去）
答：m的值为．
22．解：（1）∵关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：a＜且a≠0．
（2）∵方程的两个实数根互为相反数，
∴x1+x2＝＝0，
解得：a＝，
又∵a＜且a≠0，
∴不存在使方程的两个实数根互为相反数的a的值．
23．解：（1）由方程有两个实数根，可得
Δ＝b2﹣4ac＝4（k﹣1）2﹣4k2＝4k2﹣8k+4﹣4k2＝﹣8k+4≥0，
解得k≤；
答：k的取值范围是k≤；
（2）依据题意可得，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，
由（1）可知k≤，
∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，
∴﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝x1 x2﹣1，
∴﹣2（k﹣1）＝k2﹣1，
解得k1＝1（舍去），k2＝﹣3，
∴k的值是﹣3．
答：k的值是﹣3．
24．解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）＝4k﹣3＞0，
∴k＞．
（2）当k＝2时，原方程为x2﹣5x+5＝0，
设方程的两个为m、n，
∴m+n＝5，mn＝5，
∴＝＝．
25．解：（1）∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（a﹣6）a≥0且a﹣6≠0，
解得：a≥0且a≠6；
（2）∵x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
由﹣x1+x1x2＝4+x2得：x1x2＝4+x1+x2，
∴＝4﹣，
解得：a＝24＞且a≠6，
所以存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立，此时a＝24．
26．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+4）＝20﹣4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝6①，x1 x2＝m+4②．
∵3x1＝|x2|+2，
当x2≥0时，有3x1＝x2+2③，
联立①③解得：x1＝2，x2＝4，
∴8＝m+4，m＝4；
当x2＜0时，有3x1＝﹣x2+2④，
联立①④解得：x1＝﹣2，x2＝8（不合题意，舍去）．
∴符合条件的m的值为4．
27．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）＝4k﹣11＞0，
解得：k＞；
（2）存在，
∵x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，
∴将|x1|﹣|x2|＝两边平方可得x12﹣2x1x2+x22＝5，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝5，
代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＝5，
解得：4k﹣11＝5，
解得：k＝4．