1.2.1函数的概念（新课标A版）

(共35张PPT)
f :A→B
y=f(x),
1.2.1 函数的概念
远距离航海中对经度与纬度的测量用到函数
1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是
根据问题的实际意义，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系＊，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.
＊
观察实例：
注意：
时间t的变化范围是数集A={t︱0≤t ≤26}，
高度h的变化范围是数集B={h ︱0≤h ≤845}.
2.某城市一天各个时刻的温度情况，如图：
对于数集A中的每一个时刻t，都有唯一确定的温度T和它对应.
注意：
时刻t的变化范围是数集A={t︱0≤t ≤24},
温度T的变化范围是数集B={T︱-2 ≤T ≤10}.
3.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活水平质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
表1“八五”以来中国城镇居民恩格尔系数变化情况
思考表中恩格尔系数与时间（年）的关系？
注意：
时间t的变化范围是数集A={t︱1998≤t ≤2005}
恩格尔系数k的变化范围是数集
B={k︱37.9 ≤k ≤50.1}.
对于数集A中每个年份t，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数与它对应.
以上例子中，变量之间的关系有什么共同的特点呢？
对于集合A中的每个x，按照某种关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应。
记作：f: A→B.
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到B的一个函数．记作
y=f(x),x∈A
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域．
知识要点
（1）要求必须是非空集合A，B；
（2）必须是集合A中的任意一个x；
（3）必须是在集合B中有唯一确定的数与之相对应;
（4） “y= f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，
如“y= g(x)”；
（5）函数符号“y= f(x)”中的 f(x)表示与x对应的函数
值，一个数，而不是f乘x．
注意
下列图像中不能作为函数y=f(x)的图像.
x
y
0
2
-2
x
y
0
2
-2
x
y
0
2
-2
x
y
0
2
-2
×
×
下列函数的定义域，对应关系，值域.
定义域是R，值域是R
对于R中的任意一个数x，在R中都有唯一确定的数y=ax+b(a≠0)和它对应.
思考
定义域是A={ ︱x≠0 }，值域是R.
对于集合A中的每一个x，在R中都有唯一确定的值 与它对应.
定义域是R，值域是集合B，当a>0时，B={y︱y≥ },当a<0时，B={y︱y≤ }.
对于R中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的
和它对应.
构成函数的三要素是定义域、对应关系和值域.
与函数相关的概念——区间
定义 名称 符号 数轴表示
{x︱a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x︱a{x︱a≤x半开半闭区间 [a，b)
{x︱a半开半闭区间 (a，b]
a
b
a
b
a
b
a
b
用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的点.
集合 符号 数轴表示
R
{x︱x≥a}
{x︱x>a}
{x︱x ≤ b}
{x︱x < b}
a
a
b
b
做一做
(-∞，+ ∞)
[a，+ ∞)
(a，+ ∞ )
(- ∞，b]
(- ∞，b)
（1）区间是集合；
（2）区间的左端点小于右端点；
（3）区间中的元素都是点，可以用数字表示；
（4）任何区间都可以在数轴上表示出来；
（5）以“－∞”，“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 例如（+∞，100]
注意
例1 求下列函数的定义域
分析：函数的定义域通常是由问题的实际背景确定，如果单纯的给出解析式y=f(x),没有指明定义域，那么函数的定义域就是使这个式子有意义的实数的集合.
解：（1）使 有意义，就是 ，即使分数有意义的集合是{x︱x<0}，所以这个函数的定义域就是{x︱x<0}.
(2)使根式 有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}，使分式 成立的实数的集合是{x︱x≠10}.所以，这个函数的定义域就是
{x︱x≥-2} {x︱x≠10}={x︱x ≥-2，且x≠10} .
例2 已知函数
（1）求f(-1)，f(0)的值；
（2）当-1≤a ≤ 3时，求f(a)的值.
解：
且边长为正
数，所以0＜x＜40.
所以面积s=
= （40－x）x （0＜x＜40）
解： 由题意知，另一边长为
例3 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）.
（5）满足实际问题有意义.
几类函数的定义域：
判断两个函数相等：
1 .构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.
2. 与表示自变量和函数值的字母无关.
知识要点
解： ① f ( x ) = (x －1) 0 =1，其定义域与 g ( x ) = 1的定义域是相同的，所以这两个函数是相等的.
② f ( x ) = x与函数g ( x ) = 的定义域都是实数R，但是当x<0时，它们的对应关系不相同。所以这两个函数不相等.
例4 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1
② f ( x ) = x； g ( x ) =
到现在为止，我们在初中学习的基础上，运用集合和对应的语言刻画了函数的概念，并引进了符号y=f(x),明确了函数的构成要素.通过比较两个函数的定义，你对函数有什么新的认识
这两种定义在实质上是一致的，不同的只是叙述的出发点不同，初中给出的定义是从运动变化的观点出发，而现在所给的定义是从集合、对应的观点出发.
1.函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到B的一个函数．记作
y=f(x),x∈A
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域．
课堂小结
定义 名称 符号 数轴表示
{x︱a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x︱a{x︱a≤x半开半闭区间 [a，b)
{x︱a半开半闭区间 (a，b]
a
b
a
b
a
b
a
b
与函数相关的概念——区间
2.构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域.
3.判断两个函数相等
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
1.已知函数 ， 求
课堂练习
解：∵2>1
∴f(2)=-x+1 = -2+1 = -1
f[f(2)]=f(-1)=-1+2=1
2.求下列函数的定义域.
解：（1）使分式有意义的实数集合是
{x∣ 并且x≠1 }，所以此函数的定义
域为{x ∣ x≠0且x≠1 } .
( 2 )使根式成立的实数集合是{x∣x≥-2}，使分式有意义的实数集合{x∣x≠-1}所以此函数的定义域为{x ∣ x≥-2且x≠-1}.
3.已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则f(x-2)的定义域是_________.
解：(3)使根式 成立的实数集合是{x∣-1≤x ≤1}，使根式 成立的实数集合是{x ∣x ≧1或x ≤-1}所以此函数的定义域为
{x∣-1≤x ≤1} ∩ {x ∣x ≧1或x ≤-1}={x=1或x=-1}.
[1,6]
4.判断下列函数是否相等，为什么？
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致.与表示自变量和函数值的字母无关.
解：（1）令x+1=y，则这两个函数的对应关系是一样的，并且定义域也是一样的，都是x ∈R，所以这两个函数是相等的.
（2）g (x)=∣x ∣，这两个函数对应关系是一样的，它们的定义域也相同，所以这两个函数相等.
显然这两个函数的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它们的对应关系不相同，所以这两个函数的不相等.
3.(1)不相等，因为前者的定义域为{t∣0≤t ≤26},而后者的定义域为R.
(2)不相等，因为前者的定义域为R，而后者的定义域为{x ∣x≠0}.