第二章 直线和圆的方程单元测试-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019））选择性必修第一册（Word含答案解析）

第二章
直线和圆的方程
一、单选题
1．两条平行线与之间的距离为（
）
A．
B．1
C．2
D．
2．若，则方程能表示的不同圆的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（
）
A．
B．
C．
D．
4．由直线上的点P向圆C：引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是（
）
A．(－1，1)
B．(0，2）
C．(－2，0）
D．(1，3)
5．已知圆，过点M(1，1)的直线l与圆C交于A、B两点，弦长最短时直线l的方程为
A．
B．
C．
D．
6．直线l：（）与圆C：交于两点P Q，则弦长的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．曲线与直线有两个相异交点，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A．点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）
B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0
D．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
10．下列说法中正确的是
A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B．方程能表示平面内的任何直线
C．圆的圆心为，半径为
D．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是
11．已知直线，若，则实数（
）
A．-1
B．0
C．2
D．-3
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（
）
A．圆M上点到直线的最小距离为2
B．圆M上点到直线的最大距离为3
C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是
D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是
三、填空题
13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0.直线l过点(0，3)，且与圆C交于A B两点，|AB|=4，则直线l的方程___________.
14．若不等式的解集为区间，且，则_________；
15．若直线被圆截得的弦长为，则________.
16．已知直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且，则r＝________．
四、解答题
17．已知经过点和，且圆心C在直线l：上，求的方程.
18．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0.
（1）求圆C的半径和圆心坐标；
（2）斜率为1的直线m与圆C相交于D E两点，求△CDE面积最大时直线m的方程.
19．已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.
（1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；
（2）求过点M的圆O1的切线方程.
20．一圆经过点，且与直线相切于点，试求该圆的方程．
21．在平面直角坐标系中，圆：，直线，为圆内一点，弦过点，过点作的垂线交于点.
（1）若，求的面积.
（2）判断直线与圆的位置关系，并证明.
22．在平面直角坐标系中，已知圆与轴交于，两点，圆过，两点且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆，圆的交点分别为点，．求证：以线段为直径的圆恒过点．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【解析】由题意，两条平行线：与：
根据两平行线间的距离公式，可得.
故选：A.
2．B
【解析】由圆的方程，
可化简得，可得，
即，解得，
又因为，所以或，
所以方程能表示的不同圆的个数为2个.
故选：B.
3．A
【解析】把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选
：A.
4．B
【解析】的圆心为，半径，连接，
因为是圆的切线，所以，
根据勾股定理得，所以当最小时，最小，
如图，点到直线的距离是的最小值，
并且直线的斜率为-1，所以直线的方程是，即，
联立，解得，所以.
故选：B
5．D
【解析】由题可知圆，所以圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，直线得斜率为
则，，
当直线与MC连线垂直时，最大为，
此时最短，且．
所以直线得斜率为：，
又，所以，
所以直线的方程为：，
即：
故选D
6．C
【解析】解：由直线得：，令解得故恒过定点．
因为，
则点在圆的内部，直线与圆相交．
圆心，半径为，，
当截得的弦长最小时，，最短的弦长是．
因为直线l：的斜率存在，故不能取到最小值，
再由经过圆心时弦长最长为，则．
故选：．
7．D
【解析】解：∵直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，
当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“”，则“”，
若“”，则“”，
当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”，则“与”的大小不能确定，
若“”，则“与”的大小也不能确定，
故则“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
8．C
【解析】曲线是半圆，圆心是，圆半径为2，直线过定点，作出半圆与过的点直线，如图，
与圆相切，由，解得，即，
，，
∴．
故选：C．
9．ACD
【解析】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，）
满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，
所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），
所以A正确；
当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2），
两点的直线方程为，所以B不正确；
经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程
为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正确；
直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：8，所以D正确；
故选：ACD.
10．BD
【解析】对于，若两条直线均平行于轴，则两条直线斜率都不存在，错误；
对于，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为，为直线两点式方程；当直线平行于轴，则原方程可化为；当直线平行于轴，则原方程可化为；
综上所述：方程能表示平面内的任何直线，正确；
对于，圆的方程可整理为，则圆心为，错误；
对于，若直线不经过第二象限，则，解得：，正确.
故选：.
11．BD
【解析】由知：
解得：或
故选：BD
12．ACD
【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，
由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，
所以线段BC的垂直平分线的斜率，
所以线段BC的垂直平分线的方程为即，
又圆M：的圆心为，半径为，
所以点到直线的距离为，
所以圆M：，
对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；
对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；
对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.
故选：ACD.
13．或
【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0即(x﹣1)2+(y﹣1)2=8，圆心C(1，1)，半径r=2，
又由直线l与圆C交于A B两点，|AB|=4，则点C到直线l的距离，
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=0，点C到直线l的距离d=1，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，
则有，解可得或；
故直线l的方程为或；
故答案为：或.
14．
【解析】如图分别作出直线与半圆，
由题意，知直线在半圆的上方，且过定点，
由，得，即直线与半圆交点的横坐标为1，
代入得，
所以直线过点，
所以，
故答案为：
15．2
【解析】圆心到直线的距离，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以，所以.
故答案为：2
16．
【解析】
如图，过O作OE⊥AB于E，连接OA，则|OE|＝
，易知|AE|＝|EB|，
不妨令|AD|＝5m（m＞0），由可得：|BD|＝3m，|AB|＝8m，则|DE|＝4m－3m＝m，
在Rt△ODE中，有①，
在Rt△OAE中，有r2＝（）2＋（4m）2②，
联立①②，解得：r＝.
故答案为：.
17．
【解析】由题意设圆心坐标为，由题意则，
所以，解得，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为．
所以的方程为.
18．（1）圆的半径r=2，圆心C的坐标为(﹣1，0)；（2）x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0.
（2）设直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程.
【解析】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得：(x+1)2+y2=4，则圆心C的坐标为(﹣1，0)，圆的半径r=2.
（2）设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离d=，∴，
∴，当且仅当d=，即d=时，△CDE的面积最大；
从而，解得b=3或b=﹣1，
故直线m的方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0.
19．（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.
【解析】（1）根据题意，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圆心为(1，2)，半径r=2，
若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d=，
又由圆心为(1，2)，直线ax﹣y+4=0，
则有d=，解得；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
当切线斜率不存在时，其方程为x=3，与圆相切，符合条件，
当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1=k(x﹣3)，
圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5=0，
所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0.
20．.
【解析】设圆的圆心为C，，，则，
所以直线CB的方程为：，即，
又AB的中点为，且，
所以线段AB的垂直平分线方程为，即，
由，解得，
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程是，
故答案为：
21．（1）；（2）直线与圆相切，证明见解析.
【解析】（1）∵，
∴可设直线的方程为:
，
∵点在上，代入坐标可求得，
∴直线的方程为，
由点到直线距离公式可得：点到直线的距离为
，
，
两平行线，
之间的距离为，
∴，
（2）直线与圆相切，证明如下：
设，当时，过点作的垂线为轴，
或，
当时，
，即直线与圆相切，
当时，同理可证与圆相切，
当时，过点作的垂线为轴，
，同理可证与圆相切，
且时，直线的斜率，
∵，∴直线的方程为：x，
与直线的方程联立，
解得点的坐标为()，
∴
，
又∵，且，
∴，
==0，
∴，
∴直线与圆相切.
22．（1）x2+y2﹣2x﹣4y=0；（2）证明见解析.
【解析】解：（1）由题意令，代入圆中可得，，可得：，，
设圆的方程为：，圆心坐标，，将，点代入可得：，解得：，，
由题意可得，所以，可得，
所以圆的方程为：；
（2）由题意可得且，
联立与圆的方程：，整理得：，可得，，
联立与圆的方程：，整理得：，可得，，
因为，，
，即，
所以以线段为直径的圆恒过点．
答案第1页，共2页
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