25.6 相似三角形的应用 同步练习 2021-2022学年冀教版九年级数学上册 （word版含答案）

2021-2022学年九年级数学上册（冀教版）
25.6相似三角形的应用-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．如图，是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点距离墙，长，则梯子长为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，他沿着树影由向走，当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合．此时三点恰好在一条直线上．经测得米，米，则树的高度为（
）
A．3米
B．4米
C．4.5米
D．6米
3．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高度约为（
）
A．5.5m
B．6.2m
C．11m
D．22m
4．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB=8
m，CD=12m，则点M离地面的高度MH为(
)
A．4
m
B．
C．5m
D．
5．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10m，，则容器的内径是（　　）
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．20cm
6．为了加强视力保护意识，小明在书房里挂了一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为小视力表．如图，如果大视力表中“”的高度是，那么小视力表中相应“”的高度是（
）
A．
B．
C．
D．
7．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（
）
A．1.2
里
B．1.5
里
C．1.05
里
D．1.02
里
8．如图，路灯灯柱OP的长为9米，身高1．8米的小明从距离路灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（
）
A．变长了1.5米
B．变短了2.5米
C．变长了3.5米
D．变短了3.5米
二、填空题
9．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．
10．如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外，将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为________米．
11．把一根长为的细铁丝截成两段，每段折为一个等边三角形，已知两个等边三角形高的比为，则它们的边长分别为______和______.
12．如图，光源P在横杆正上方，在灯光下的影子为，，，，点P到的距离是2.7m，则与间的距离是______m.
13．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
14．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为_____cm．
三、解答题
15．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
16．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
17．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”外貌，如果向西走到点处，可以开始看到“明珠”的顶端；若想看到“明珠”的全貌，必须向西至少再走，求大厦主体建筑的高度．（不含顶部“明珠”部分的高度）
18．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
19．如图，有一块斜料，，高，将它加工成一个矩形的零件，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成，此时这个矩形零件的两边长又分别是多少毫米？
20．王老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯时，为避免上楼时墙角碰头，设计墙角到楼梯的竖直距离为，他量得客厅高，楼梯洞口宽，阁楼阳台宽．请你帮助王老师解决问题：要使墙角到楼梯的竖直距离为，楼梯底端到墙角的距离是多少米？
21．如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（精确到0.lm)
22．图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．
﹙1﹚求AP长的取值范围；
﹙2﹚在阳光垂直照射下，伞张得最开时，求伞下的阴影﹙假定为圆面﹚面积S﹙结果保留π﹚．
试卷第2页，共2页
参考答案
1．C
【解析】解：如图，由题意设DE⊥AC于E点，BC⊥AC于C点，
则，，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
设，
则，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，
故选：C．
2．D
【解析】解：根据题意，可知：∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∴，即，
∴AB＝6．
故选：D．
3．A
【解析】解：如图，过点C作于点F，过点D作，交FC于点E，
易知，
∴，
设，
由题意，得，，
∴，
解得，
∴两层楼之间的高度约为5．5m．
故选A．
4．B
【解析】解：由题意得，AB∥MH∥CD，
∴△CMH∽△CAB，△BMH∽△BDC，
∴，，
∴①+②得，
∴
∵AB=8，CD=12，
∴，
∴，
∴MH=，
故选：B.
5．C
【解析】解：连接AD、BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
∵A，D两个端点之间的距离为10m，
∴BC＝15m，
故选：C．
6．D
【解析】如图，由题意，得，，．，，，，．故选D．
7．C
【解析】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴＝．
∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，
∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，
∴＝，
解得：FH＝1.05里．
故选：C．
8．D
【解析】设小明在A处的影长为x米，B处的影长为y米．
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽OPN，
∴，，
∵AD=BC，∴，
即，
∴x=5,y=1.5，∴x-y=3.5，故变短了3.5米．故选D．
9．32
【解析】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；
∴△APM∽△BPN；
∴＝，
∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，
∴＝，即AM＝4BN；
∴当BN8cm时，AM32cm；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm．
故答案为：32．
10．7.5
【解析】解：根据题意，得，米，米，米，
∴=5米，
，
，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴米．
故答案为：7.5；
11．
【解析】∵所有的等边三角形相似
∴相似比等于这两个等边三角形对应高的比为3:2
∴设它们的周长分别为3xcm，2xcm
∴3x+2x=50
∴x=10
∴它们的周长分别为30cm，20cm
∴它们的边长分别为10cm,
.
故答案为10cm,.
12．1.8
【解析】∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
假设CD到AB距离为x,则
，
又∵AB=2m，CD=6m，
∴，
∴x=1.8m.
故答案为1.8m.
13．7米．
【解析】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=7(米)，
故答案为：7(米)
．
14．100cm．
【解析】解：∵AB⊥BD，AC⊥AB，
∴AC∥BD．
∴∠ACB＝∠DBC．
∵∠A＝∠BCD＝90°，
∴△ABC∽△CDB．
∴，
∴BC2＝AC BD，
在Rt△ABC中，BC2＝AC2+AB2＝102+302＝1000，
∴10BD＝1000．
∴BD＝100（cm）．
故答案为100．
15．旗杆的高度为11.5m
【解析】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m）．
答：旗杆的高度为11．5m．
16．4m
【解析】解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x
m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴，
，
解得：x=4．
经检验：x=4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．
17．大厦主体建筑的高度为.
【解析】由题图，知，易证，
∴，即，∴.
同理易证，∴，
即，∴.
∵，∴，
解得或（不合题意，舍去）.
∴大厦主体建筑的高度为.
18．树高为6.5米．
【解析】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴＝
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴＝
∴BC＝5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5米
∴树高为6.5米．
19．，
【解析】解：由题意，设，则，
由题意，得∽，
∴，
∴，
解得：．
∴，
∴矩形的两边长分别是和．
20．1.8
【解析】解：根据题意，有，
∴．
又，
∴∽．
∴．
∴．
解得．
∴．
21．路灯的高度约为6.0m
【解析】由题意，得，，，
∴.∴.
∴.①
同理，，
∴.②
又∵，
∴由①，②可得，
即，
解得.
将代入①，得.
故路灯的高度约为6.0m.
22．（1）AP的取值范围是：0≤x≤10；（2）S最大=315π（平方分米）．
【解析】（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=AC﹣BC=10分米．
∴设AP=x，则AP的取值范围是：0≤x≤10；
（2）连接MN、EF，分别交AC于B、H．
设AP=x分米，
∵PM=PN=CM=CN，
∴四边形PNCM是菱形．
∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，
PB=
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣（6﹣x）2=6x﹣x2．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，
∴EH=HF，EF⊥AC．
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH．
∴．
∴=（）2=
∴EH2=9 MB2=9 （6x﹣x2）．
∴S=π EH2=9π（6x﹣x2），
即S=﹣πx2+54πx，
∵x=﹣=12，0≤x≤10，
∴x=10时，S最大=﹣π×100+54π×10=315π（平方分米）．
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