25.3相似三角形-同步练习-2021-2022学年九年级数学上册（冀教版）（word版含答案）

2021-2022学年九年级数学上册（冀教版）
25.3相似三角形-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是(　　)
A．AB=c,AC=b,BC=a,DE=,EF=,DF=
B．AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1
C．AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6
D．AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3
3．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（　　）
A．105°
B．115°
C．125°
D．135°
4．如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（
）
A．4
B．3.2
C．20
D．5
5．如图，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，∠
ABD=∠
C，
AB=5，
AD=3．5，则
AC=（
）
A．
B．
C．
D．
7．有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（
）
A．全等
B．相似
C．既不全等与也不相似
D．无法确定
8．如图，正方形中，，E为中点，两个动点M和N分别在边和上运动，且，若与以D、M、N为顶点的三角形相似，则（
）
A．
B．
C．或
D．或
二、填空题
9．如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.
11．如图，BD、CE是的高，图中相似三角形有__________对．
12．如图，在中，AC是BC、DC的比例中项，则∽____．
13．如图，点O是内任意一点，且，，，则______，其相似比为______.
14．如图，在正方形网格上画有梯形，则的度数为______.
15．如图，在 ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有____对．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点
处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D的延长线上的处.若△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________.
三、解答题
17．如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．
18．如图，ABCD是平行四边形，点E在边BC延长线上，连AE交CD于点F，如果∠EAC=∠D，试问：AC BE与AE CD是否相等？
19．在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1=∠2，求证：△AFG∽△ABC．
20．图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．
﹙1﹚求AP长的取值范围；
﹙2﹚在阳光垂直照射下，伞张得最开时，求伞下的阴影﹙假定为圆面﹚面积S﹙结果保留π﹚．
21．如图，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上，AD的延长线交EF于H点．若E为CD的中点，正方形ABCD的边长为4，求DH的长．
22．如图，在中，，D是边上一点，连接.
（1）要使，还需要补充一个条件是______；(只要求填一个）
（2）若，且，，求的长.
23．如图，在矩形中，，，且四边形是一个正方形，试问点F是的黄金分割点吗？请说明理由.（补全解题过程）
解：点F是的黄金分割点.
理由如下：
∵四边形是一个正方形，∴.
又∵在矩形中，，∴______.
∴点F是的黄金分割点.
24．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3．
（1）求CE的长；
（2）求证：BC⊥AD．
试卷第2页，共2页
参考答案
1．C
【解析】∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD=36°，
即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE，
故选：C．
2．C
【解析】A、根据AB=c，BC=a，AC=b，DE=,EF=,DF=，不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1，
∴ AB:DF=1,AC:EF=1:6,BC:DE=1:6，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6，
∴ AB:DF=AC:EF=BC:DE=1:2，
∴△ABC和△DEF相似，故本选项正确；
D、AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3,
∴ AB:DE=:3,AC:EF=:3,BC:DF=:3，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
故选C．
3．D
【解析】∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
故选：D．
4．D
【解析】由相似三角形的性质可得：，
则，
故选：D．
5．C
【解析】解：∵，
∴，
∵，，
∴∠C=180°-∠A-∠B=73°，
∴，
故选C．
6．B
【解析】∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵AB=5，AD=3.5，
∴AC=．
故选B.
7．B
【解析】两角均为直角三角形，又因另一个锐角也对应相等，故依据“两角对应相等，两三角形相似”，判定这两个直角三角形相似.
故选择B.
8．D
【解析】∵为中点，
∴．
由勾股定理得，，
当时，，即，解得；
同理，当时，，
∴为或．
故选D．
9．：1
【解析】由图可知：AC与A1C1是对应边，A1C1＝1，
再由勾股定理得：AC＝＝，
∴AC：A1C1＝：1，
即△ABC与△A1B1C1的相似比是：1，
故答案为：：1.
10．三
△ACD∽△ABC
△BCD∽△BAC
△ACD∽△CBD
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，
故答案为3，△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．
11．2对（∽，∽）
【解析】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠ADB=90°，
∴△ACE∽△ABD，
∵∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°
∴△EOB∽△DOC，
故答案为：2
12．
【解析】由题意可知：BC:AC=AC:DC，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC
13．
【解析】因为，，∠AOB=∠DOE
所以⊿AOB~⊿DOE
所以
同理，,
所以
所以
故答案为：(1).
(2).
14．135°
【解析】∵由已知可得
∴△ABD∽△DCB，
∴∠BAD=∠BDC，
又∠BAD=180°-45°=135°，
∴∠BDC=135°，
故答案为：135°．
15．16
【解析】解：∵AD∥BF，
∴△BFE∽△ADE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠CBE，
∵DE∥BP，
∴∠E=∠PBA，
∴△BFE∽△APB，
∵AE∥DC，
∴△BFE∽△CFD，
∴△ADE∽△APB，
∴△ADE∽△CFD，
∴△APB∽△CFD，
故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；
类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；
与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；
与△ABC相似的有△CDA，共1对．
故答案为16．
16．
【解析】∵△BED∽△ABC，
∴∠DBA＝∠A，又∠DBA＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝30°，
设BC为x，则AC＝x，BD＝x，
＝，即△BED与△ABC的相似比是，
故答案为：．
17．见解析
【解析】证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高
∴∠ADC=∠BEC=90°
∵∠C是公共角，∴△CDA∽△CEB（两组角对应相等的两个三角形相似）
∴CD：CE=CA：CB（相似三角形对应边成比例）
∴CD：CA=CE：CB（比例的基本性质）
∴△DCE∽△ACB．（两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似）
18．相等，理由见解析.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，
∵∠EAC=∠D，
∴∠EAC=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△ACE∽△BAE，
∴AC：AE=AB：BE，
即AC BE=AE AB，
∵AB=CD，
∴AC BE=AE CD．
19．见解析
【解析】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴∠EDB=∠CFA=90°，
∴∠1+∠B=∠2+∠AFG=90°，且∠1=∠2，
∴∠AFG=∠B，且∠FAG=∠GAB，
∴△AFG∽△ABC．
20．（1）AP的取值范围是：0≤x≤10；（2）S最大=315π（平方分米）．
【解析】（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=AC﹣BC=10分米．
∴设AP=x，则AP的取值范围是：0≤x≤10；
（2）连接MN、EF，分别交AC于B、H．
设AP=x分米，
∵PM=PN=CM=CN，
∴四边形PNCM是菱形．
∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，
PB=
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣（6﹣x）2=6x﹣x2．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，
∴EH=HF，EF⊥AC．
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH．
∴．
∴=（）2=
∴EH2=9 MB2=9 （6x﹣x2）．
∴S=π EH2=9π（6x﹣x2），
即S=﹣πx2+54πx，
∵x=﹣=12，0≤x≤10，
∴x=10时，S最大=﹣π×100+54π×10=315π（平方分米）．
21．1.
【解析】∵正方形AEFG和正方形ABCD中，∠AEH=∠ADC=∠EDH=，
∴∠AED+∠DEH=，∠AED+∠DAE=，
∴∠DEH=∠DAE．
∵△AED∽△EHD，
∴．
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=CD=4．
∵E为CD的中点，
∴DE=2．
∴，
∴DH=1．
22．（1）（答案不唯一）；（2）的长为1.
【解析】解：（1)
（或或等)
(2)设，则.
∵，
∴.即.
解得，
(不合题意，舍去）.
∴的长为1.
23．
【解析】解：点F是的黄金分割点.
理由如下：
∵四边形是一个正方形，
∴.
又∵在矩形中，，
∴.
∴点F是的黄金分割点.
24．（1）3.1；（2）证明见解析．
【解析】解：（1）∵△ABC∽△DEC，
∴，
∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3
∴，
解得：CE=3.1．
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴BC⊥AD．
答案第1页，共2页
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