23.3.1相似三角形-同步练习-2021-2022学年华东师大版九年级数学上册 （word版含答案）
文档属性
| 名称 | 23.3.1相似三角形-同步练习-2021-2022学年华东师大版九年级数学上册 （word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 602.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-06 11:25:29 | ||
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文档简介
2021-2022学年九年级数学上册（华东师大版）
23.3.1相似三角形-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．下列各种图形中，有可能不相似的是（
）
A．有一个角是的两个等腰三角形
B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
2．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（ ）
A．4
B．5
C．
D．
3．如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，则图中的相似三角形对数共有（
）
A．对
B．对
C．对
D．对
4．如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：①；②；③能独立判断与相似的有（
）
A．①
B．①③
C．①②
D．①②③
5．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，在中，＝，＝，＝，过点作，过作，得阴影；再过作，过作，得阴影；…如此下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是（ ）
A．5.1m
B．6.8m
C．8.5m
D．9.0m
8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
9．如图，，分别交的边于，于，且，则与的关系是________．
10．如图，在中，D是边上的点，如果________或________，则.
11．已知两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形的腰长和底边长分别为8
cm和6
cm，若另一个等腰三角形的底边长为4
cm，则它的腰长为_____cm．
12．如图，，若，，，则的长为________．
13．如图，点O是内任意一点，且，，，则______，其相似比为______.
14．如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等，则格点P的坐标是_____．
15．如图，在的正方形方格中，有格点（我们把顶点在正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形），则与相似但不全等的格点三角形共有________个．
三、解答题
16．已知：如图，在三角形ABC中，FG∥DE∥BC，且BD=DF=AF；求证：DE+FG=BC
17．如图，小明画了一个锐角，并作出了它的两条高和，两高相交于点．小明说图形中共有两对相似三角形，他说的对吗？请你判定一下，如果正确，就其中的一对进行说理．
18．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：.
19．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若＝，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.
20．已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝3，BE＝5，DC＝.求证：
（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）AC⊥BC.
21．如图，在中，，D是边上一点，连接.
（1）要使，还需要补充一个条件是______；(只要求填一个）
（2）若，且，，求的长.
22．如图，在中，，于点，为的中点，交于点
（1）当时，求的值;
（2）当时，求的值;（，问要写出解答过程）
（3）当时，求的值.（直接写出结果）
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【解析】A．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；
C．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；
D．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意；
故选A．
2．C
【解析】解：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴，
解得：DF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴EF＝．
故选：C．
3．C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABF∽△DEF，△EFD∽△EBC，
∴△ABF∽△CEB，
∴图中的相似三角形共有3对，故选C.
4．B
【解析】①公共角∠A是已知的，再加上，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似；②不是公共角∠A的夹边，故不能证明出相似③是公共角∠A的夹边，可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
∴①和③都能独立判断△ADE与△ACB相似，故选B．
5．B
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，.
故选B.
6．D
【解析】解：∵A1B1∥AB，∴∠ABA1=∠BA1B1，
∵∠AA1B=∠A1B1B=90°，∴Rt△ABA1
∽△BA1B1，
同理可证：Rt△A1B1A2
∽Rt△B1A2B2
，
……；
即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似，
在Rt△ABC中，BA1
⊥AC，由S=AB BC=AC BA1，得BA1
=，
∴AB：BA1
=3：=5：4，
∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AB2
：BA12
=25：16，
故S
阴影部分小直角三角形的面积和=S△ABC=．故选D.
7．C
【解析】设旗杆高度为h，
由题意得：，
解得：h=8.5．
故选C．
8．D
【解析】如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，∴＝，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，∴CF＝2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；
故选：D．
9．相似
【解析】∵AE AC=AD AB，∴，又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．（两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似）
故答案为：相似．
10．
【解析】由图可知,根据相似三角形的判定，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：或使得
故答案为：或
11．
【解析】解：设另一个等腰三角形的腰长为xcm，
∵这两个等腰三角形相似，
∴，解得x＝，
∴另一个等腰三角形的腰长为cm，
故答案为：．
12．.
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，解得.
故答案为：.
13．
【解析】因为，，∠AOB=∠DOE
所以⊿AOB~⊿DOE
所以
同理，,
所以
所以
故答案为：(1).
(2).
14．（1，4）或（3，4）
【解析】解：如图：此时AB对应AP或BP，相似比为1：2．
故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）．
故答案为：（1，4）或（3，4）.
15．20.
【解析】解：∵△ABC的三边长：AB=1，BC=，AC=，
又∵在的正方形方格中，最大的线段长为，
∴可将三角形扩大倍，这样的三角形有16个；扩大2倍，这样的三角形有4个；
所以符合题意的三角形共有20个.
故答案为20.
16．见解析.
【解析】证明：∵FG∥BC，
∴，
而BD=DF=AF，
∴，即FG=BC，
∵DE∥BC，
∴，即DE=BC，
∴DE+FG=BC+BC=BC．
17．见解析
【解析】小明的说法不正确，因为图形中存在着6对相似三角形．
它们分别是：△AEP∽△ADC，△AEP∽△BDP，△AEP∽△BEC，△ADC∽△BDP，△ADC∽△BEC，
△BDP∽△BEC
证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC（已知）
∴∠CEP=∠AEP=90°
又∵∠CAD=∠PAE(公共角)
∴△AEP∽△ADC（两组角对应相等的两个三角形相似）
同理可得：△BDP∽△BEC
在△BDP与△AEP中
有∠AEP=∠BDP=90°
∠APE=∠BPD（对顶角相等）
∴△BDP∽△AEP（两组角对应相等的两个三角形相似）
由相似的传递性证得：△AEP∽△ADC∽△BDP∽△BEC
故有三角形两两相似六对：
△AEP∽△ADC，△AEP∽△BDP，△AEP∽△BEC，△ADC∽△BDP，△ADC∽△BEC，
△BDP∽△BEC
18．证明见解析
【解析】证明：∵AD是的中线，
∴.
∵，
∴，
即，
又∵，
∴.
19．
【解析】过点D作DE⊥AC于E，
则＝＝，
∴＝，
又∵AO+OC＝AC，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝()2＝，即＝，
∴S△AOD＝.
20．（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∵AC＝3，BC＝3，BE＝5，DC＝，
∴＝＝,
∴Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠CBE+∠ECB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC.
21．（1）（答案不唯一）；（2）的长为1.
【解析】解：（1)
（或或等)
(2)设，则.
∵，
∴.即.
解得，
(不合题意，舍去）.
∴的长为1.
22．（1）=1；（2）；（3）
【解析】解：由,得到AC=2AB，
又∵O为AC的中点，
∴AC=2OC，
∴AB=OC，
又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AFB=∠OBE+∠ADB，∠OEC=∠OBE+∠BOE，且∠ADB=∠BOE=90°，
∴∠AFB=∠OEC，
在△ABF和△COE中，
∴△ABF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
则=1；
（2）过A作AG∥OE交BC于G，可得∠OEC=∠AGC，
由（1）得∠AFB=∠OEC，
∴∠AFB=∠AGC，
又∵，即AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
在△AFB和△CGA中，
∴△AFB≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
（3）；
过A作AG平行于OE，交BC于点G，
由（1）（2）可知∠BAD=∠C，∠AFB=∠CGA，
∴△AFB∽△CGA，
∵
∴
又∵CG=2CE，
∴
∴
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
23.3.1相似三角形-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．下列各种图形中，有可能不相似的是（
）
A．有一个角是的两个等腰三角形
B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
2．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（ ）
A．4
B．5
C．
D．
3．如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，则图中的相似三角形对数共有（
）
A．对
B．对
C．对
D．对
4．如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：①；②；③能独立判断与相似的有（
）
A．①
B．①③
C．①②
D．①②③
5．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，在中，＝，＝，＝，过点作，过作，得阴影；再过作，过作，得阴影；…如此下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是（ ）
A．5.1m
B．6.8m
C．8.5m
D．9.0m
8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
9．如图，，分别交的边于，于，且，则与的关系是________．
10．如图，在中，D是边上的点，如果________或________，则.
11．已知两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形的腰长和底边长分别为8
cm和6
cm，若另一个等腰三角形的底边长为4
cm，则它的腰长为_____cm．
12．如图，，若，，，则的长为________．
13．如图，点O是内任意一点，且，，，则______，其相似比为______.
14．如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等，则格点P的坐标是_____．
15．如图，在的正方形方格中，有格点（我们把顶点在正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形），则与相似但不全等的格点三角形共有________个．
三、解答题
16．已知：如图，在三角形ABC中，FG∥DE∥BC，且BD=DF=AF；求证：DE+FG=BC
17．如图，小明画了一个锐角，并作出了它的两条高和，两高相交于点．小明说图形中共有两对相似三角形，他说的对吗？请你判定一下，如果正确，就其中的一对进行说理．
18．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：.
19．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若＝，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.
20．已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝3，BE＝5，DC＝.求证：
（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）AC⊥BC.
21．如图，在中，，D是边上一点，连接.
（1）要使，还需要补充一个条件是______；(只要求填一个）
（2）若，且，，求的长.
22．如图，在中，，于点，为的中点，交于点
（1）当时，求的值;
（2）当时，求的值;（，问要写出解答过程）
（3）当时，求的值.（直接写出结果）
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【解析】A．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；
C．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；
D．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意；
故选A．
2．C
【解析】解：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴，
解得：DF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴EF＝．
故选：C．
3．C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABF∽△DEF，△EFD∽△EBC，
∴△ABF∽△CEB，
∴图中的相似三角形共有3对，故选C.
4．B
【解析】①公共角∠A是已知的，再加上，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似；②不是公共角∠A的夹边，故不能证明出相似③是公共角∠A的夹边，可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
∴①和③都能独立判断△ADE与△ACB相似，故选B．
5．B
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，.
故选B.
6．D
【解析】解：∵A1B1∥AB，∴∠ABA1=∠BA1B1，
∵∠AA1B=∠A1B1B=90°，∴Rt△ABA1
∽△BA1B1，
同理可证：Rt△A1B1A2
∽Rt△B1A2B2
，
……；
即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似，
在Rt△ABC中，BA1
⊥AC，由S=AB BC=AC BA1，得BA1
=，
∴AB：BA1
=3：=5：4，
∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AB2
：BA12
=25：16，
故S
阴影部分小直角三角形的面积和=S△ABC=．故选D.
7．C
【解析】设旗杆高度为h，
由题意得：，
解得：h=8.5．
故选C．
8．D
【解析】如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，∴＝，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，∴CF＝2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；
故选：D．
9．相似
【解析】∵AE AC=AD AB，∴，又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．（两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似）
故答案为：相似．
10．
【解析】由图可知,根据相似三角形的判定，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：或使得
故答案为：或
11．
【解析】解：设另一个等腰三角形的腰长为xcm，
∵这两个等腰三角形相似，
∴，解得x＝，
∴另一个等腰三角形的腰长为cm，
故答案为：．
12．.
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，解得.
故答案为：.
13．
【解析】因为，，∠AOB=∠DOE
所以⊿AOB~⊿DOE
所以
同理，,
所以
所以
故答案为：(1).
(2).
14．（1，4）或（3，4）
【解析】解：如图：此时AB对应AP或BP，相似比为1：2．
故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）．
故答案为：（1，4）或（3，4）.
15．20.
【解析】解：∵△ABC的三边长：AB=1，BC=，AC=，
又∵在的正方形方格中，最大的线段长为，
∴可将三角形扩大倍，这样的三角形有16个；扩大2倍，这样的三角形有4个；
所以符合题意的三角形共有20个.
故答案为20.
16．见解析.
【解析】证明：∵FG∥BC，
∴，
而BD=DF=AF，
∴，即FG=BC，
∵DE∥BC，
∴，即DE=BC，
∴DE+FG=BC+BC=BC．
17．见解析
【解析】小明的说法不正确，因为图形中存在着6对相似三角形．
它们分别是：△AEP∽△ADC，△AEP∽△BDP，△AEP∽△BEC，△ADC∽△BDP，△ADC∽△BEC，
△BDP∽△BEC
证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC（已知）
∴∠CEP=∠AEP=90°
又∵∠CAD=∠PAE(公共角)
∴△AEP∽△ADC（两组角对应相等的两个三角形相似）
同理可得：△BDP∽△BEC
在△BDP与△AEP中
有∠AEP=∠BDP=90°
∠APE=∠BPD（对顶角相等）
∴△BDP∽△AEP（两组角对应相等的两个三角形相似）
由相似的传递性证得：△AEP∽△ADC∽△BDP∽△BEC
故有三角形两两相似六对：
△AEP∽△ADC，△AEP∽△BDP，△AEP∽△BEC，△ADC∽△BDP，△ADC∽△BEC，
△BDP∽△BEC
18．证明见解析
【解析】证明：∵AD是的中线，
∴.
∵，
∴，
即，
又∵，
∴.
19．
【解析】过点D作DE⊥AC于E，
则＝＝，
∴＝，
又∵AO+OC＝AC，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝()2＝，即＝，
∴S△AOD＝.
20．（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∵AC＝3，BC＝3，BE＝5，DC＝，
∴＝＝,
∴Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠CBE+∠ECB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC.
21．（1）（答案不唯一）；（2）的长为1.
【解析】解：（1)
（或或等)
(2)设，则.
∵，
∴.即.
解得，
(不合题意，舍去）.
∴的长为1.
22．（1）=1；（2）；（3）
【解析】解：由,得到AC=2AB，
又∵O为AC的中点，
∴AC=2OC，
∴AB=OC，
又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AFB=∠OBE+∠ADB，∠OEC=∠OBE+∠BOE，且∠ADB=∠BOE=90°，
∴∠AFB=∠OEC，
在△ABF和△COE中，
∴△ABF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
则=1；
（2）过A作AG∥OE交BC于G，可得∠OEC=∠AGC，
由（1）得∠AFB=∠OEC，
∴∠AFB=∠AGC，
又∵，即AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
在△AFB和△CGA中，
∴△AFB≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
（3）；
过A作AG平行于OE，交BC于点G，
由（1）（2）可知∠BAD=∠C，∠AFB=∠CGA，
∴△AFB∽△CGA，
∵
∴
又∵CG=2CE，
∴
∴
答案第1页，共2页
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