冀教版八年级上期末数学模拟试卷2（word版、含解析）

冀教版八年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题：（本大题共
16
个小题，每小题
2
分，共
32
分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将它的代号填在题后的括号内.）
1．（2
分）8
的平方根是（
）
A．4
B．±4
C．2
D．
2．（2
分）下列运算中错误的是（
）
A．
+
＝
B．
×
＝
C．
÷
＝2
D．
＝3
3．（2
分）下列基本图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2
分）如图，△ABC
中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边
AB
的垂直平分线交
AC
于点
D，则△BDC
的周长是（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
5．（2
分）下列各式中属于最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2
分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中
AB
线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2
分）计算的结果是（
）
A．
+
B．
C．
D．
﹣
8．（2
分）某工程队准备修建一条长
1200m
的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快
20%，结果提前
2
天完成任务．若设原计划每天修建道路
xm，则根据题意可列方程为
（
）
A．
﹣
＝2
B．
﹣
＝2
C．
﹣
＝2
D．
﹣
＝2
9．（2
分）如图，在△ABC
中，AB＝AC，且
D
为
BC
上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B
的度数为
（
）
A．30°
B．36°
C．40°
D．45°
10．（2
分）下列各组二次根式中，能合并的两个二次根式是（
）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
11．（2
分）如图，在△ABC
中，AB＝AC，∠A＝30°，以
B
为圆心，BC
的长为半径圆弧，交
AC
于点
D，连接
BD，则∠ABD＝（
）
A．30°
B．60°
C．45°
D．90°
12．（2
分）若，则
b
的取值范围是（
）
A．b≥0
B．b≥3
C．b≤3
D．b＞3
13．（2
分）如图，已知∠AOB＝60°，点
P
在边
OA
上，OP＝12，点
M，N
在边
OB
上，PM＝PN，若
MN＝2，
则
OM＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
14．（2
分）如图，△ABC
的顶点
A、B、C
在边长为
1
的正方形网格的格点上，BD⊥AC
于点
D．则
BD
的长为（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2
分）如图，在四边形
ABCD
中，AB＝CD，BA
和
CD
的延长线交于点
E，若点
P
使得
S△PAB＝S
△PCD，则满足此条件的点
P（
）
有且只有
1
个
有且只有
2
个
组成∠E
的角平分线
组成∠E
的角平分线和外角平分线所在的直线（E
点除外）
16．（2
分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子
x+（x＞0）的最小值是
2”．其推导方法如下：在面积是
1
的矩形中设矩形的一边长为
x，则另一边长是
，矩形的周长是
2（x+
）；当矩形成为正方形时，就有
x＝
（x＞0），解得
x＝1，这
时矩形的周长
2（x+）＝4
最小，因此
x+（x＞0）的最小值是
2．模仿张华的推导，你求得式子
（x＞0）的最小值是（
）
A．2
B．1
C．6
D．10
二、填空题：（本大题共
4
个小题，每小题
3
分，共
12
分．把答案写在题中横线上）
17．（3
分）已知：（a+6）2+＝0，则
2b2﹣4b﹣a
的值为
．
18．（3
分）如图，Rt△ABC
中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC
折叠，使
A
点与
BC
的中点
D
重合，折痕为
MN，则线段
BN
的长为
．
19．（3
分）如图，一只蚂蚁从点
A
沿数轴向右直爬
2
个单位到达点
B，点
A
表示﹣，设点
B
所表示的数为
m，则（m﹣1）（m﹣3）的值为
．
20．（3
分）下面是一个按某种规律排列的数表：
第
1
行
1
第
2
行
2
第
3
行
2
3
第
4
行
2
4
…
…
那么第
5
行中的第
2
个数是
，第
n（n＞1，且
n
是整数）行的第
2
个数是
．（用含
n
的代数式表示）
三、解答题：（本大题共
6
个小题，共
56
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8
分）当
a＝
，求代数式的值．
22．（9
分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为
1
个单位的正方形，△ABC
的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）
画出△ABC
关于直线
l
对称的图形△A1B1C1；
画出△ABC
关于点
O
中心对称的图形△A2B2C2，并标出点
M
的对称点
M′；
直接写出线段
MM′的长度．
23．（9
分）在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．
请把下面两个定理所缺的内容补充完整：
角平分线性质定理：角平分线上的点到
的距离相等．
角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在
．
老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整
已知：如图
1，点
P
是∠AOB
内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为
D、E，且
PD＝
，求证：
点
P
在∠AOB
的
上
请你完成证明过程：
知识运用：如图
2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，
加油站可选择的位置共有
处．
24．（9
分）兴发服装店老板用
4500
元购进一批某款
T
恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用
4950
元购进第二批该款式
T
恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了
9
元．
第一批该款式
T
恤衫每件进价是多少元？
老板以每件
120
元的价格销售该款式
T
恤衫，当第二批
T
恤衫售出
时，出现了滞销，于是决定
降价促销，若要使第二批的销售利润不低于
650
元，剩余的
T
恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝
售价﹣进价）
25．（10
分）在一平直河岸
l
同侧有
A，B
两个村庄，A，B
到
l
的距离分别是
3km
和
2km，AB＝akm（a
＞1）．现计划在河岸
l
上建一抽水站
P，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图
1
是方案一的示意图，设该方案中管道长度为
d1，且d1＝PB+BA（km）（其中
BP⊥l
于点
P）；图
2
是方案二的示意图，设该方案中管道长度为
d2，且
d2＝
PA+PB（km）（其中点
A′与点
A
关于
l
对称，A′B
与
l
交于点
P）．
观察计算
在方案一中，d1＝
km（用含
a
的式子表示）
在方案二中，组长小宇为了计算
d2
的长，作了如图
3
所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝
km（用含
a
的式子表示）．
探索归纳
（1）①当
a＝4
时，比较大小：d1
d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当
a＝6
时，比较大小：d1
d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）请你参考方框中的方法指导，就
a（当
a＞1
时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，
应选择方案一还是方案二？
26．（11
分）（1）如图（1），已知：在△ABC
中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线
m
经过点
A，BD⊥直线
m，CE⊥直线
m，垂足分别为点
D、E．
证明：DE＝BD+CE．
如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC
中，AB＝AC，D、A、E
三点都在直线
m
上，并且
有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中
α
为任意锐角或钝角．请问结论
DE＝BD+CE
是否成立？如成立，
请你给出证明；若不成立，请说明理由．
拓展与应用：如图（3），D、E
是
D、A、E
三点所在直线
m
上的两动点（D、A、E
三点互不重合），点
F
为∠BAC
平分线上的一点，且△ABF
和△ACF
均为等边三角形，连接
BD、CE，若∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF
的形状并说明理由．
冀教版八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共
16
个小题，每小题
2
分，共
32
分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将它的代号填在题后的括号内.）
1．（2
分）8
的平方根是（
）
A．4
B．±4
C．2
D．
【解答】解：∵
，
∴8
的平方根是．
故选：D．
2．（2
分）下列运算中错误的是（
）
A．
+
＝
B．
×
＝
C．
÷
＝2
D．
＝3
【解答】解：A、
+
无法计算，故此选项正确；
B、
×
＝
，正确，不合题意；
C、
÷
＝2，正确，不合题意；
D、
＝3，正确，不合题意．
故选：A．
3．（2
分）下列基本图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确．
故选：D．
4．（2
分）如图，△ABC
中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边
AB
的垂直平分线交
AC
于点
D，则△BDC
的周长是（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【解答】解：设
AB
的中垂线与
AB
交于点
E，
∵ED
是
AB
的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC
的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC
的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：C．
5．（2
分）下列各式中属于最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：B、
＝
＝|x|y2
，可化简；
C、
＝
＝2
，可化简；
D、
＝
＝
，可化简；
因此只有
A、是最简二次根式．
故选：A．
6．（2
分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中
AB
线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：
故选：A．
7．（2
分）计算的结果是（
）
A．
+
B．
C．
D．
﹣
【解答】解：原式＝4×
+3×
﹣2
＝
．
故选：B．
8．（2
分）某工程队准备修建一条长
1200m
的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快
20%，结果提前
2
天完成任务．若设原计划每天修建道路
xm，则根据题意可列方程为
（
）
A．
﹣
＝2
B．
﹣
＝2
C．
﹣
＝2
D．
﹣
＝2
【解答】解：设原计划每天修建道路
xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，
由题意得，
﹣
＝2．
故选：D．
9．（2
分）如图，在△ABC
中，AB＝AC，且
D
为
BC
上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B
的度数为
（
）
A．30°
B．36°
C．40°
D．45°
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵CD＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°
故选：B．
10．（2
分）下列各组二次根式中，能合并的两个二次根式是（
）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【解答】解：A、
，3
与
不能合并，故错误；
B、
，
与
能合并，正确；
C、
，
＝|b|
，不能合并，故错误；
D、
与
不能合并，故错误；
故选：B．
11．（2
分）如图，在△ABC
中，AB＝AC，∠A＝30°，以
B
为圆心，BC
的长为半径圆弧，交
AC
于点
D，连接
BD，则∠ABD＝（
）
A．30°
B．60°
C．45°
D．90°
【解答】解：∵在△ABC
中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
又∵以
B
为圆心，BC
的长为半径圆弧，交
AC
于点
D，
∴∠DBC＝2（90°﹣∠BDC）＝2×（90°﹣75°）＝30°，
又∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABD＝75°﹣30°＝45°，
故选：C．
12．（2
分）若
，则
b
的取值范围是（
）
A．b≥0
B．b≥3
C．b≤3
D．b＞3
【解答】解：∵
，
∴3﹣b≥0，
∴b≤3．
故选：C．
13．（2
分）如图，已知∠AOB＝60°，点
P
在边
OA
上，OP＝12，点
M，N
在边
OB
上，PM＝PN，若
MN＝2，
则
OM＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：过
P
作
PD⊥OB，交
OB
于点
D，
在
Rt△OPD
中，cos60°＝＝
，OP＝12，
∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝
MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
故选：C．
14．（2
分）如图，△ABC
的顶点
A、B、C
在边长为
1
的正方形网格的格点上，BD⊥AC
于点
D．则
BD
的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，由勾股定理得
AC＝＝
．
∵
BC×2＝
AC BD，即
×2×2＝
×
BD
∴BD＝
．
故选：C．
15．（2
分）如图，在四边形
ABCD
中，AB＝CD，BA
和
CD
的延长线交于点
E，若点
P
使得
S△PAB＝S
△PCD，则满足此条件的点
P（
）
有且只有
1
个
有且只有
2
个
组成∠E
的角平分线
组成∠E
的角平分线和外角平分线所在的直线（E
点除外）
【解答】解：作∠E
的平分线，
可得点
P
到
AB
和
CD
的距离相等，
因为
AB＝CD，
所以此时点
P
满足
S△PAB＝S△PCD．
组成∠E
的角平分线和外角平分线所在的直线（E
点除外）
故选：D．
16．（2
分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子
x+（x＞0）的最小值是
2”．其推导方法如下：在面积是
1
的矩形中设矩形的一边长为
x，则另一边长是，矩形的周长是
2（x+）；当矩形成为正方形时，就有
x＝（x＞0），解得
x＝1，这
时矩形的周长
2（x+）＝4
最小，因此
x+
（x＞0）的最小值是
2．模仿张华的推导，你求得式子
（x＞0）的最小值是（
）
A．2
B．1
C．6
D．10
【解答】解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以
x，
即
＝x+
，
在面积是
9
的矩形中设矩形的一边长为
x，则另一边长是，
矩形的周长是
2（x+）；
当矩形成为正方形时，就有
x＝，（x＞0），解得
x＝3，
这时矩形的周长
2（x+）＝12
最小，
因此
x+（x＞0）的最小值是
6．
故选：C．
二、填空题：（本大题共
4
个小题，每小题
3
分，共
12
分．把答案写在题中横线上）
17．（3
分）已知：（a+6）2+＝0，则
2b2﹣4b﹣a
的值为
12
．
【解答】解：∵（a+6）2+
＝0，
∴a+6＝0，b2﹣2b﹣3＝0，
解得，a＝﹣6，b2﹣2b＝3，
可得
2b2﹣4b＝6，
则
2b2﹣4b﹣a＝6﹣（﹣6）＝12，
故答案为：12．
18．（3
分）如图，Rt△ABC
中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC
折叠，使
A
点与
BC
的中点
D
重合，折痕为
MN，则线段
BN
的长为
4
．
【解答】解：设
BN＝x，由折叠的性质可得
DN＝AN＝9﹣x，
∵D
是
BC
的中点，
∴BD＝3，
在
Rt△BND
中，x2+32＝（9﹣x）2，
解得
x＝4．
故线段
BN
的长为
4．
故答案为：4．
19．（3
分）如图，一只蚂蚁从点
A
沿数轴向右直爬
2
个单位到达点
B，点
A
表示﹣，设点
B
所表示的数为
m，则（m﹣1）（m﹣3）的值为
1
．
【解答】解：由题意得：m＝﹣
+2，
（m﹣1）（m﹣3）
＝（﹣+2﹣1）（﹣+2﹣3）
＝（1﹣）（﹣1﹣）
＝2﹣1
＝1，
故答案为：1．
20．（3
分）下面是一个按某种规律排列的数表：
第
1
行
1
第
2
行
2
第
3
行
2
3
第
4
行
2
4
…
…
那么第
5
行中的第
2
个数是
3
，第
n（n＞1，且
n
是整数）
行的第
2
个数
是
．（用含
n
的代数式表示）
【解答】解：第五行的第二个数是
，
第
n
行的第二个数的算术平方根是
，
故答案为：3
，
．
三、解答题：（本大题共
6
个小题，共
56
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8
分）当
a＝
，求代数式
的值．
【解答】解：a＝（+2）（2﹣）2+
＝（2+）（2﹣）（2﹣）+
＝1×（2﹣
）+
＝2，
原式＝
＝
当
a＝2
时，原式＝2．
22．（9
分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为
1
个单位的正方形，△ABC
的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）
画出△ABC
关于直线
l
对称的图形△A1B1C1；
画出△ABC
关于点
O
中心对称的图形△A2B2C2，并标出点
M
的对称点
M′；
直接写出线段
MM′的长度．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2
如图所示；
（3）MM′＝
＝2
．
23．（9
分）在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．
请把下面两个定理所缺的内容补充完整：
角平分线性质定理：角平分线上的点到
这个角的两边
的距离相等．
角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在
角平分线上
．
老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整
已知：如图
1，点
P
是∠AOB
内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为
D、E，且
PD＝
PE
，求证：
点
P
在∠AOB
的
平分线上
上
请你完成证明过程：
知识运用：如图
2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，
加油站可选择的位置共有
4
处．
【解答】解：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上，
故答案为：这个角的两边；角平分线上；
已知：如图
1，点
P
是∠AOB
内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为
D、E，且
PD＝PE，求
证：点
P
在∠AOB
的平分线上．
故答案为：PE；平分线上；
如图：作射线
OP，
∵PD⊥AO，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在
Rt△OPD
和
Rt△OPE
中，
，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE，
∴∠DOP＝∠EOP，
∴OP
是∠AOB
的平分线，即点
P
在∠AOB
平分线上；
如图
2，M、N、G、H
即为所求，
故答案为：4．
24．（9
分）兴发服装店老板用
4500
元购进一批某款
T
恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用
4950
元购进第二批该款式
T
恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了
9
元．
第一批该款式
T
恤衫每件进价是多少元？
老板以每件
120
元的价格销售该款式
T
恤衫，当第二批
T
恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于
650
元，剩余的
T
恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝
售价﹣进价）
【解答】解：（1）设第一批
T
恤衫每件进价是
x
元，由题意，得
＝
，
解得
x＝90，
经检验
x＝90
是分式方程的解，符合题意．
答：第一批
T
恤衫每件的进价是
90
元；
（2）设剩余的
T
恤衫每件售价
y
元．
由（1）知，第二批购进
＝50（件）．
由题意，得
120×50×+y×50×
﹣4950≥650，
解得
y≥80．
答：剩余的
T
恤衫每件售价至少要
80
元．
25．（10
分）在一平直河岸
l
同侧有
A，B
两个村庄，A，B
到
l
的距离分别是
3km
和
2km，AB＝akm（a
＞1）．现计划在河岸
l
上建一抽水站
P，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图
1
是方案一的示意图，设该方案中管道长度为
d1，且d1＝PB+BA（km）（其中
BP⊥l
于点
P）；图
2
是方案二的示意图，设该方案中管道长度为
d2，且
d2＝
PA+PB（km）（其中点
A′与点
A
关于
l
对称，A′B
与
l
交于点
P）．
观察计算
在方案一中，d1＝
a+2
km（用含
a
的式子表示）
在方案二中，组长小宇为了计算
d2
的长，作了如图
3
所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝
km（用含
a
的式子表示）．
探索归纳
（1）①当
a＝4
时，比较大小：d1
＜
d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当
a＝6
时，比较大小：d1
＞
d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）请你参考方框中的方法指导，就
a（当
a＞1
时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度
较短，
应选择方案一还是方案二？
【解答】解：（1）∵如图
1，作
A
关于执行
l
的对称点
A′，连接
PA′，
∵A
和
A'关于直线
l
对称，
∴PA＝PA'，
d1＝PB+BA＝PB+PA'＝a+2；
故答案为：a+2；
（2）
因
为
BK2＝a2﹣1，
A'B2＝BK2+A'K2＝a2﹣1+52＝a2+24
所以
d2＝；
故答案为：
；
探索归纳：
（1）①当
a＝4
时，d1＝6，d2＝，d1＜d2；
②当
a＝6
时，d1＝8，d2＝，d1＞d2；
故答案为：＜，＞；
（2）d12﹣d22＝（a+2）2﹣（
）2＝4a﹣20．
①当
4a﹣20＞0，即
a＞5
时，d12﹣d22＞0，
∴d1﹣d2＞0，
∴d1＞d2；
②当
4a﹣20＝0，即
a＝5
时，d12﹣d22＝0，
∴d1﹣d2＝0，
∴d1＝d2
③当
4a﹣20＜0，即
a＜5
时，d12﹣d22＜0，
∴d1﹣d2＜0，
∴d1＜d2
综上可知：当
a＞5
时，选方案二；
当
a＝5
时，选方案一或方案二；
当
1＜a＜5
时，选方案一．
26．（11
分）（1）如图（1），已知：在△ABC
中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线
m
经过点
A，BD⊥直线
m，CE⊥直线
m，垂足分别为点
D、E．
证明：DE＝BD+CE．
如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC
中，AB＝AC，D、A、E
三点都在直线
m
上，并且
有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中
α
为任意锐角或钝角．请问结论
DE＝BD+CE
是否成立？如成立，
请你给出证明；若不成立，请说明理由．
拓展与应用：如图（3），D、E
是
D、A、E
三点所在直线
m
上的两动点（D、A、E
三点互不重合），点
F
为∠BAC
平分线上的一点，且△ABF
和△ACF
均为等边三角形，连接
BD、CE，若∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF
的形状并说明理由．
【解答】解：（1）如图
1，∵BD⊥直线
m，CE⊥直线
m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB
和△CEA
中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
如图
2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB
和△CEA
中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
如图
3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF
和△ACF
均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF
和△EAF
中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF
为等边三角形．