福建省莆田市莆田第二重点高中2022届高三上学期10月月考数学试题（Word版含答案）

莆田二中2022届高三10月月考数学试卷
考试时间：120分钟
满分：150分
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
3．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布．若，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率为（
）
B．
C．
D．
4．若，则（
）
A．56
B．448
C．
D．
5．如图，直线依次与曲线、及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段的中点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
6．2021年1月初，河北某区域的“新冠疫情”出现明显反弹，相关部门紧急从省抽调包括甲、乙在内的七名医疗专家进驻该区域的三个疫情“高风险”地区进行协助防控，要求每个地区至少安排两名专家，则甲、乙两名专家安排在不同地区的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某数学课外兴趣小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中真命题为（
）
A．函数的图象关于轴对称
B．当时，是增函数，当时，是减函数
C．函数的最小值是
D．当或时，是增函数
10．已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当时，，则（
）
A．函数不是偶函数
B．函数的最小正周期为4
C．函数在上有3个零点
D．
11．已知，则下列选项中正确的是（
）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最小值为
12．若存在正数满足，则实数可能的取值为（
）
A．
B．
C．
D．2
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是定义在R上且周期为4的奇函数，当时，，则的值是__．
14．小红同学去买糖果，现只有四种不同口味的糖果可供选择，单价均为一元一颗，小红只有7元钱，要求钱全部花完且每种糖果都要买，则不同的选购方法共有______种．（用数字作答）
15．已知函数，函数，若，恰有两个零点，则的取值范围是__________．
16．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则实数的取值范围是______，的最大值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集
（2）当时，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.
19．（12分）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．
（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；
（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．
20．（12分）已知函数，（，）的图象过点，且对，恒成立.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的最小值.
21．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：吨)的影响，对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中：，
（1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费千元时，年销售预报值是多少？
附：对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
22．（12分）已知函数
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若存在极小值点，证明．
莆田二中2022届高三10月月考数学试卷答案
1．A
2．A
3．C
4．D
5．B
6．A
7．C
8．B
9．ACD
10．AC
11．BC
12．ACD
13．0
14．20
15．
16．
17．（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：
1
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
18．解：（1）当时，，
不等式，即，
所以，解得，即所求不等式的解集为.
（2）当时，，
因为在上有解，所以在上有解，
令，
因为，在上均为增函数，所以在上是增函数，
因为在上的值域为，
所以的取值范围是.
19．（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望．
（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，
设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，
因两队积分相等，所以，即，则，
所以(A)
．
20．解：（1）因为为二次函数，且，
所以的图象的对称轴方程为，又的图象过点，
故，解得，所以；
（2）令，由，则，
不等式，即，
可得在上恒成立，
由对勾函数性质知函数在时取到最小值，
所以，故的取值范围是，所以实数的最小值为.
21．（1）由散点图可以判断：适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；
（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于，
，所以关于的线性回归方程为，
所以关于的回归方程为；
（3）由（2）知：当时，年销售量的预报值
故年宣传费千元时，年销售预报值是吨．
22．（Ⅰ）若，则，．因为，，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（Ⅱ）由题可知函数的定义域为，
．
①若，由可得，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，没有极小值．
②若，由可得或，
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时．
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
③若，，在上单调递增，没有极值．
④若，当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时．
综上可得：．
(
2
)
(
1
)