(共20张PPT)
华东师大版·九年级下册
切线的性质定理与判定定理
新课导入
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.
仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？
工人用砂轮磨一把刀，在接触的一瞬间，擦出的火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？
都是沿切线方向飞出去的.
探究新知
做
一
做
如图，画一个圆O及半径OA，经过⊙O的半径OA的外端点A画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？
直线l是⊙O的切线吗？你能说明理由吗？由此，你能得到什么结论？
切线的判定定理
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判断：
1.
过半径的外端点的直线是圆的切线
（
）
2.
与半径垂直的直线是圆的切线
（
）
3.
过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线
（
）
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
×
×
×
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可:
(1)直线经过半径的外端点；(2)直线与这条半径垂直.
问题：判断一条直线是圆的切线，你现在会哪几种方法？
有以下三种方法：
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？
由于l是⊙O的切线，圆心О到直线l的距离等于半径，所以半径OA就是圆心О到直线l的垂线段，即l⊥OA.
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径.
如图所示，直线AB经过⊙O上的点A，且AB=OA，
∠OBA
=
45°.求证：直线AB是⊙O的切线.
例2
证明：∵AB=OA，∠OBA=45°，
∴∠AOB=∠OBA=45°，
∴∠OAB=90°.
又∵点A在圆上，
∴直线AB是⊙O的切线（切线的判定定理）.
随堂练习
1.试判断下列命题是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举例说明.
（1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线；
（2）过圆的半径外端的直线一定是这个圆的切线.
解：（1）不正确，如图.
（2）不正确，如图.
2.如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证：AC是⊙O的切线.
证明：AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠B+∠BAD=90°.
而∠B=∠CAD，
故有∠CAD+∠BAD=90°.
∴BA⊥AC.
∴AC为⊙O的切线.
3.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD=∠B=30°，直线BD是⊙O的切线吗？如果是，请给出证明.
解：是.证明如下：
∵∠BAD=30 ，
∴∠BOD=60 ．
在△ODB中，
∠B=30 ，∠BOD=60 ，
∴∠BDO=
90 ，即OD⊥BD.
又∵OD为⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线
4.在⊙O上任取一点A，过点A用三角尺画出O的一条切线.
解：过点A作⊙O切线的步骤：
①连接OA；
②将三角尺中直角的一边与OA重合，直角顶点与点A重合，沿着三角尺中直角的另一直角边作直线l．则直线l就是所要画的⊙O的一条切线．如图．
5.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
解：由勾股定理可知：BC=
(cm)，
∵
，
∴CD=
(cm).
因此，当半径长为
cm时，AB与⊙C相切.
6.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A.
(1)CD与⊙О相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.
(2)若CD与⊙О相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径.
(1)解：CD与⊙О相切.证明如下：
∵C点在⊙O上，AB是直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A，
∴∠OCA=∠DCB，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线.
(2)解：在Rt△OCD中，∠D=30°，
∴∠COD=60°，∴∠A=30°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=BD=10，∴AB=20，∴r=10.
课堂小结
切线的判定定理：
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.(共19张PPT)
华东师大版·九年级下册
2.直线与圆的位置关系
复习回顾
问题：点与圆的位置关系有几种？
大家也许看过日出，如图所示的照片中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，和地平线会有怎样的位置关系？
探究新知
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，注意观察直线与圆的公共点的个数.
a(地平线)
a(地平线)
按直线与圆的公共点的个数可分为：
个公共点
个公共点
个公共点
0
1
2
现在你能总结出直线与圆的位置关系了吗？
0个公共点
1个公共点
2个公共点
直线与圆相离
直线与圆相切
切线
切点
直线与圆相交
交点
割线
判断直线和圆的位置关系
已知，直线与圆的位置关系有
种，分别是
、
、
.
三
相离
相切
相交
怎么判断直线和圆的位置关系呢？
从直线与圆公共点的个数可以判断出直线与圆的位置关系.
方法一：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，利用d与r之间的关系即可判断直线与圆的位置关系.
方法二：
判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
两
（1）根据定义，由__________________的个数来判断；
直线与圆的公共点
（2）由
大小关系来判断.
圆心到直线的距离d与半径r
在实际应用中，常采用第二种方法判定.
例1
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6.以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边AB所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由.
（1）r=4；（2）r=4.8；（3）r=5.
解
作斜边AB上的高CD.
在Rt△ABC中，
由三角形的面积公式，可得
CD·AB=AC·BC.
∴
即点C到直线AB的距离d=4.8.
(1)当r=4时，d＞r，因此⊙C与AB相离；
(2)当r=4.8时，d=r，因此⊙C与AB相切；
(3)当r=5时，d＜r，因此⊙C与AB相交.
当r=8、9时，⊙C和线段AB有几个公共点？
随堂练习
1.圆的半径为5cm，当圆心到直线l的距离为下列数值时，直线l和圆分别有几个公共点？它们与圆有怎样的位置关系？
（1）4
cm；（2）5
cm；（3）6
cm.
解：圆的半径r=5cm，
（1）当d=4cm时，d＜r，因此圆与l有2个公共点，相交；
（2）当d=5cm时，d=r，因此圆与l有1个公共点，相切；
（3）当d=6cm时，d＞r，因此圆与l没有公共点，相离.
2.已知圆的直径为10cm，直线l和圆只有一个公共点.求圆心到直线l的距离.
解：圆心到直线l的距离为5cm.
3.如果⊙O的直径为10cm，圆心О到直线AB的距离为10cm，那么⊙O与直线AB有怎样的位置关系？
解：因为d
=
10
>
r
=
5，故直线与圆相离.
4.菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为( ).
A.
相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
5.☉O的半径为6，☉O的一条弦AB为
，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是( ).
A.
相离
B.相交
C.相切
D.不能确定
B
C
课堂小结
直线与圆的位置关系
相离
相切
相交
大致图象
数量关系（d、r）
交点个数
0
1
2
d＞r
d=r
d＜r
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.(共24张PPT)
华东师大版·九年级下册
切线长定理与三角形的内切圆
复习回顾
1.已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
1.角平分线可以得到两个相等的角；
2.角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.直线和圆有什么位置关系？
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
3.切线的判定定理和性质定理.
切线的判定定理：
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
探究新知
问题：过圆外一点可以作圆的几条切线？
我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
线段PA、PB的长就是点P到⊙O的切线长.
思考：切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
比
一
比
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.
探索
在纸上画出如图所示的图形，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合.PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？
我们可以发现：
PA=PB，∠APO=∠BPO.
请证明你所发现的结论.
已知：如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：连结OA和OB.
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
切线长定理
过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA
=
PB
∠APO=∠BPO
切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法.
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论？并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的角平分线.
∴OP垂直平分AB.
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB
⊥PB，AB
⊥OP.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌△BOP，
△AOC≌△BOC，
△ACP≌△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP，△AOB.
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE，PA=PB，AC=BC.
试
一
试
如图所示是一张三角形铁皮，如何在它上面截取一个面积最大的圆形铁皮？
如何作出这个圆？
作圆，使它和已知三角形的各边都相切.
已知：△ABC(如图).
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
1.作∠ABC，∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2.过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3.以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求的圆.
C
B
M
I
A
N
D
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
一个三角形的内切圆是唯一的.
随堂练习
1.如图，⊙O是∠ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE=120°，∠EOF=150°.求∠ABC的三个内角的大小.
解：⊙O为△ABC的内切圆，且点D、E、F为切点.
∴∠ODB=∠OEB=∠ODA=∠OFA=∠OFC=
∠OEC=90°，
∴∠A=360°-∠DOF-∠ADO-∠AFO
=360-(360°-120°-150°)-90°-90°=
90°，
∠B=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=60°，
∠C=360°-∠EOF-∠CFO-∠CEO=30°．
即△ABC的三个内角的度数分别为90°，60°，30°.
2.△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AB=5cm，BC=9cm，CA=6cm.求AD、BE和CF的长.
解：设AD=x
cm，BE=y
cm，CF=z
cm．
∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AD=AF=x
cm，BE=BD=y
cm，CE=CF=z
cm，
AB=AD+BD=5cm，BC=BE+EC=9cm，AC=CF+AF=6cm.
x+y=5，
y+z=9，
x+z=6.
∴
x=1，
y=4，
z=5.
解得
∴设AD=1cm，BE=4cm，CF=5cm．
3.任意画一个三角形，然后作出它的内切圆.
解：(1)任意画一个△ABC，分别作∠A，∠B（或∠A与∠C，或∠B与∠C）的平分线，两角平分线的交点O即为△ABC的内切圆的圆心．
(2)过点O作OD⊥AB，则OD即为△ABC的内切圆的半径．
(3)以点O为圆心，以OD为半径作⊙O，则⊙O即为所求作的内切圆，如图所示．
4.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=
20，求△ABC的周长.
解：∵AD，AE切于⊙O于D，E，
∴AD=AE=20.
∵AD，BF切于⊙O于D，F，
∴BD=BF，同理：CF=CE.
∴C△ABC=
AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC
=AB+BD+EC+AC=AD+AE=40.
5.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC=12，∠P=60°，求弦AB的长.
解：连接BC，∵PA，PB切⊙O于A，B，
∴PA=PB，∵∠P=60°，∴△PAB是正三角形.
∵∠PAB=60°，PA是⊙O切线，
∴CA⊥AP.
∴∠CAP=90°，∠CAB=30°.
∵AC是直径，∴∠ABC=90°.
∴cos30°=
，∴AB=
.
课堂小结
切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA
=
PB
∠APO=∠BPO
课堂小结
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.(共12张PPT)
华东师大版·九年级下册
习题27.2
1.己知⊙O的半径为10cm，根据下列点Р到圆心的距离，判断点P与圆的位置关系，并说明理由：
(1)8cm；
(2)10cm；
(3)12cm.
解：圆的半径r=10cm，点P到圆心的距离为d，
（1）当d=8cm时，d＜r，点P在⊙O
的内部；
（2）当d=10cm时，d=r，点P在⊙O
上；
（3）当d=12cm时，d＞r，点P在⊙O
的外部.
2.已知线段AB=6cm.
(1)画半径为4cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能画几个？
(2)画半径为3cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能画几个？
(3)画半径为2cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能画几个？
2个
1个
0个
3.分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各个外心与它们所对应的三角形的位置关系.
锐角三角形的外心在其内部，直角三角形的外心在其斜边中点上，钝角三角形的外心在其外部.
4.如图所示的图形主要是用圆规画出的，请你试着用圆规画出它们.
5.已知圆的直径为20cm，根据下列圆心到直线l的距离，分别判断直线l与圆有几个公共点，并说明理由:
(1)8cm；
(2)10cm；
(3)12cm.
解：直径为20cm，半径r=10cm
(1)因为d(2)因为d=r，所以直线l与圆相切，有一个公共点．
(3)因为d>r，所以直线l与圆相离，没有公共点．
6.△ABC的周长为l，内切圆的半径为r.求该三角形的面积S.
解：如图所示，⊙O为△ABC的内切圆，过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，则OD=OE=OF=r.
连结
OA，OB，OC.
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=
AB·OD+
BC·OE+
AC·OF
=
r(AB+BC+AC)
=
lr.
7.如图，以点О为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点Р为切点.求证：AP=BP.
证明：连结OP，AB与小圆相切于点P，则OP⊥AB，根据垂直于弦的直径平分弦，所以OP平分弦AB，所以AP=PB．
8.△ABC的面积为4cm2，周长为10cm.求该三角形的内切圆的半径.
解：设内切圆的半径为r，由图可知：
∴r
=
0.8cm.
9.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°.求∠P的大小.
解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OAP=90°.
∵∠BAC=20°，
∴∠BAP=∠ABP=70°，
∴∠P=40°.
10.试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置.
方法一：在轮片上任找两条不重合的弦，作其垂直平分线，交点即为圆心.
方法二：根据90°的圆周角所对的弦是直径，利用三角尺找出圆上两条直径，其交点即为圆心.
11.如图，AB为⊙O的直径，如果圆上点D恰使∠ADC=∠B，直线CD与⊙О相切吗？若相切，请给出证明.
证明：如图，连结OD，
∴∠B=∠BDO.
∵∠ADC=∠B，∴∠BDO=∠ADC.
∵∠BDO+∠ADO=90°，
∴∠ADC+∠ADO=90°，
∴OD⊥CD，∴直线CD与⊙O相切.(共21张PPT)
华东师大版·九年级下册
27.2
与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
新课导入
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
探究新知
问题1：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系
A
B
C
O
点A在圆内
点B在圆上
点C在圆外
A
B
C
O
r
问题2：设⊙O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系.
OA
<
r
OB
=
r
OC
>
r
点与圆的位置关系有三种：
1.点在圆内；
2.点在圆上；
3.点在圆外.
点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与半径的数量关系决定的.
一般地，如果点P是圆所在平面内的一点，r表示半径，则点P到圆心的距离有：
练
一
练
1.点A在以O为圆心，3cm为半径的☉O内，则点A到圆心O
的距离d的范围是____________.
0≤d＜3cm
2.☉O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与☉O的位置关系是( ).
A.点P在☉O内
B.点P在☉O上
C.点P在☉O外
D.点P在☉O上或☉O外
A
试
一
试
如图所示，画出过点A的圆.
A
过一点，可以画多少个圆？
无数个
试
一
试
如图所示，画出过两点A、B的圆.
A
B
过两点，可以画多少个圆？圆心在哪里？
无数个.它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上.
思考
经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？
平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？
经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A，B，C三点的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置.
归纳小结：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
如果A、B、C三点在同一条直线上，能画出经过这三点的圆吗？
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．
1.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
2.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
3.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等.
练
一
练
3.下列命题中，错误的命题是( ).
A.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.
等弧所对的圆周角相等
C.
经过三点一定可作圆
D.
若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形
C
随堂练习
1.任意画一个三角形，然后作出这个三角形的外接圆.
2.随意画出四个点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画出一个圆经过这四点？请举例说明.
解：不一定，如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，即经过A，B，C，
D四个点可以画一个圆．连结AC，BD．只有当∠BAC=∠BDC时，经过这四个点可以画出一个圆，若∠BAC>∠BDC或∠BAC<∠BDC时，经过这四个点不可以画一个圆.
3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( ).
A.
第①块
B.
第②块
C.
第③块
D.
第④块
A
4.判断题：
(1)经过三点一定可以作圆.
( )
(2)任意一个三角形有且只有一个外接圆.
( )
(3)三角形的外心是三角形三边中线的交点.
( )
(4)三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.
( )
×
√
×
√
5.如图所示，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.
已知：AB=24cm，CD=8cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求(1)中所作圆的半径.
解：(1)连接AC，作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图.
解：(2)连接OA，设OA=xcm，AD=12cm，OD=(x-8)cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+(x-8)2，解得：x=13.
答：圆的半径为13cm.
课堂小结
◆用数量关系判断点和圆的位置关系.
◆不在同一直线上的三点确定一个圆.
◆求解特殊三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径.
◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
