(共13张PPT)
习题
27.1
华东师大版
九年级下册
1.如图,
AB、AC、BC都是⊙O的弦,且∠CAB
=
∠
CBA.
求证：∠
COA
=
∠
COB.
证明:
∵∠CAB
=
∠CBA
,
∴
∠COB
=
∠CAB
=∠CBA=∠COA,
∴
∠COA=
∠COB.
A
B
C
O
【教材P45
习题27.1
第1题】
2.如图,
AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1
=
∠2
=
∠3,弦AC、EB、DF是否相等？如果相等,请给出证明.
A
B
C
O
E
F
D
1
2
3
相等
证明：∵∠1=
∠AOC
,
且∠1=∠2=∠3
∴
∠2
=∠3
=
∠
AOC
,
∴
=
=
.
同理可得
=
=
=
.
∴
=
=
,
∴AC
=
EB
=
DF
.
【教材P45
习题27.1
第2题】
3.如图,
⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,F为AB上一点，∠CFD
=100°.求∠CFE
与∠DFE的大小.
解：
∵AB⊥CD
,
∴点B平分弦弧CD.
∴∠CFE
=
∠DFE
=
∠CFD
=50°.
【教材P45
习题27.1
第3题】
4.如图,AB是⊙O的直径,AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦,且AC=
CD
=DE=EF=FB.求∠AOC与∠COF的大小.
解:
∵AC=
CD
=
DE
=
EF
=
FB，
∴
=
=
=
=
，
∴
∠AOC
=
∠COD
=
∠DOE
=
∠EOF
=
∠FOB.
又∵AB为直径，
∴
∠AOC=
×180°=
36°，
∠COF=
×180°=108°.
A
B
C
F
D
E
O
【教材P45
习题27.1
第4题】
5.如图,
AB是⊙O的直径,如果∠COA
=
∠DOB
=
60°,那么与线段OA相等的线段是______________________________;
与
相等的弧是__________.
A
O
C
D
B
解:由题意得
∠COD
=
60°，
∴
∠AOC
=
∠COD
=
∠DOB
∴
=
=
,且
AC
=
CD
=
DB,
△AOC、△COD、△BOD都为等边三角形.
OC、OD、OB、AC、CD、DB
、
【教材P45
习题27.1
第5题】
A
O
C
B
6.如图,
∠A
是⊙O的圆周角，
∠A
=
40°．求∠OBC的大小.
解:
∵
∠BOC
=
2∠A
=
80°,
OB
=
OC
,
∴
∠OBC
=
∠OCB
=
=
50°
【教材P45
习题27.1
第6题】
7.如图，
=
.求证:
AB
=
AC.
A
C
B
E
D
解:
∵
=
,
+
=
+
,
即
=
,
∴
∠BCE
=
∠CBD
即∠BCA
=
∠CBA,
∴
AB
=
AC
.
【教材P46
习题27.1
第7题】
8.试证明：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,
并且
平分这条弦所对的两条弧.
已知：如图⊙O的直径CD交弦AB于点E,
且
AE
=
BE.
求证：
CD⊥AB
,
=
,
=
.
O
B
A
C
D
E
【教材P46
习题27.1
第8题】
证明:连接OA、OB.
∵OA
=
OB
,
∴
△AOB是等腰三角形.
∵AE
=
BE
,
∴
OE⊥AB.
∵
OA
=
OB
,
∴
∠OAB
=
∠OBA
,
∴∠AOE
=
90°－∠OAB
=
90°
－
∠OBA
=
∠BOE
,
∴
=
.
∵
CD为⊙O的直径,
∴
=
.
O
B
A
C
D
E
9.如图,圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB
=
CD.求证:EB
=
EC.
B
C
D
A
E
证明:连接AD.
∵
AB
=
CD,
∴∠CAD=
∠ADB.
又∵∠CAB与∠CDB所对弧都为弧BC.
∴∠CAB
=∠BDC.
∴∠BAD
=
∠CDA.
∴
AE
=
DE
,
AB=
DC
,
∴
EB
=
EC.
【教材P46
习题27.1
第9题】
10.圆内接四边形ABCD中,
∠A、
∠B、
∠C的度数的比是2
∶
3
∶
6.求该四边形各内角的大小.
解:∵四边形ABCD为圆的内接四边形,
∠A与∠C所对的弧为同一条弦.
∴
∠A与∠C互补.同理∠B与∠D互补.
∵
∠A∶
∠C=2
∶
6
,
∠A+∠C
=
180°.
∴
∠A
=
45°,
∠C
=
135°.
∴
∠B
=
67.5°
,
∠D
=
112.5°.
【教材P46
习题27.1
第10题】
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.(共19张PPT)
27.1
圆的认识
华东师大版
九年级下册
圆的对称性
复习回顾
圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线.
O
圆是一个中心对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.
O
1.
在同圆（或等圆）中，如果弧相等，那么所对的圆心角、所对的弦是否相等呢？
2.
在同圆（
或等圆）中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧是否相等呢？
想一想：
新课探究
试一试
将右图中的扇形AOB（着色部分）绕点О逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？
O
A
B
O
A
B
B
′
A′
我的发现：
∠AOB
=
∠A'
OB'
AB=A'B'
=
O
A
B
由于圆心角∠AOB（或弧AB，或弦AB）确定了扇形AOB
的大小,所以,在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等.
B
′
A′
O
A
B
同样,也可以得到:
在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.
在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等.
B
′
A′
例1
A
B
O
C
D
1
2
如图，在⊙O中,
=
,
∠1=45 .求∠2的大小.
解
∵
=
∴
=
∴
－
=
－
∴
∠2
=
∠1
=
45
中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等）.
（在同一个圆
观察这个圆，试试看，你可以将这个圆多少等分？
O
经过前面的学习，我们知道了:
圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
所以我们可以这样分：
O
O
O
还可以怎样分？
……
O
O
随堂演练
C
B
A
O
1.如图，在⊙O中，
=
,∠B
=
70 .
求∠C的大小。
∵
=
∴
AB
=
AC
∴
∠C
=
∠B
=
70
解：
【教材第39页练习】
∵
=
=
,
∠BOC
=
40
2.如图，AB是直径，
=
=
,∠BOC
=
40 .
求∠AOE的大小。
B
A
D
O
E
C
∴
∠DOE
=
∠COD
=
∠BOC
=
40
∴
∠AOE
=
180 －40 －40
－40
=
60
解：
【教材第39页练习】
3.
下列说法正确的是（
）
A.
相等的圆心角所对的弧相等
B.
在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.
相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
D.
圆心到弦的距离相等,则弦相等
解析:A,C,
D三项一定注意前提“在同圆和等圆中”.只有B正确,故选B.
B
4.如图,AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC
=
∠BOC,
∠ABC
与∠BAC相等吗？为什么？
（在同圆或等圆中,
B
A
C
O
∵
∠AOC
=
∠BOC
解：
∴
AC
=
BC
∴
∠ABC
=∠BAC
如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等）
5.
如图,在⊙O中,弦
AB
=
AC
,
AD是⊙O的直径.
试判断弦BD和CD是否相等,并说明理由.
D
A
B
O
C
解：连接BO、CO
（在同圆或等
∵
AB
=
AC
∴
∠AOB
=
∠AOC
∴BD
=
CD
（
在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它
圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么他们对应的其余各组量都分别相等）
们所对的弧相等,所对的弦相等）.
课堂小结
圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线.
1
圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中的一组量相等,那么他们对应的其余各组量都分别相等.
2
3
4
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.(共19张PPT)
27.1
圆的认识
华东师大版
九年级下册
垂径定理
复习回顾
通过之前的学习我们知道了：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
O
怎样证明圆是轴对称图形呢？
新课探究
在圆形纸片上任意画一条垂直于直径
CD
的弦
AB
,
垂足为点
P
,
再将纸片沿着直径
CD
对折,
你发现了什么？
对折后
,
AP与
BP、
与
分别重合，即它们都是相等的.
如何来证明呢？
A
P
B
D
C
O
（A）
求证：AP
=
BP
,
=
,
=
.
已知：AB是⊙O的一条弦
,
CD为直径
,
CD⊥AB.
A
P
B
D
C
O
证明
连结
CA、CB、OA、OB
,
则
OA
=
OB
,
即△AOB是等腰三角形.
∵
CD⊥AB
,
∴
AP
=
BP
.
又∵
CP
=
CP
,
∴
Rt△APC
≌
Rt△BPC
,
∴
AC
=
BC
.
∴
=
（在同一个圆中,如果弦相等,
那么它们所对的弧相等）.
由此易得
=
A
P
B
D
C
O
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
由上面的证明可知，如果⊙O的直径
CD
垂直于弦
AB
,
垂足为
P
,那么点
A
、B
是关于
CD
所在直线的对称点，则AP
=BP
.
把⊙O沿
CD对折时，
与
重合，即
=
.
A
P
B
D
C
O
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
,
并且平分这条弦所对的两条弧;
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
不是直径
为什么强调这里的弦不是直径？
N
O
A
B
M
C
D
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形。
a
d
r
A
P
B
D
O
C
b
a
+
b
=
r
在a，b，r，d中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
随堂演练
【教材第40页练习】
1.
在⊙O中
,
弦
AB
的长为24
cm,圆心
O
到弦
AB
的距离(弦心距)为5
cm.求⊙O的半径.
解:作直线OC垂直于AB,垂足为C.
由题意知
,
OC
=
5cm
,
CB=
AB=
12cm.
由勾股定理,得
OB=
=
=
13.
即⊙O的半径为13.
24
5
A
P
B
D
C
O
【教材第40页练习】
2.如图
,
AB是⊙O的弦
,
半径OC⊥AB于点D
,
且AB
=8
cm,
OC
=5
cm.求DC的长.
A
D
B
C
O
∟
解:
OA
=
OC
=
5cm
,
AD
=
AB
=
4cm.
由勾股定理,得
OD=
=
=
3.
∴DC
=
OC
OD
=
2cm
3.
如图
,
AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB
,
垂足为M
,下列结论不成立的是（
）
C
M
D
B
A
O
∟
A.
CM=DM
B.
=
C.
∠ACD
=∠ADC
D.
OM=MD
根据垂径定理得CM
=
DM,
=
,
AC
=
AD
,
由AC
=
AD得∠ACD
=∠ADC，而
OM
=
MD
不一定成立.
D
4.
如图
,
AB是⊙O的弦
,
OC⊥AB于C.若AB
=
2
,
OC
=
1
,则半径OB的长为______.
A
B
C
O
∟
解析:根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦,并且平方弦所对的两条弧”,可知BC=
AB
=
，然后根据勾股定理，得OB
=2=
2.
2
5.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
）,点О是
的圆心,其中CD
=
600m
,E为
上一点,且
OE⊥CD,垂足为F
,
EF=
90m
,
求这段弯路的半径.
分析:利用垂径定理,解题过程中可以使用列方程的方法.
解:如图,连接OC,设弯路的半径为R,则OF=（
R－90
）
∵OE⊥CD
∴
CF=
CD=
×600=300（m）
根据勾股定理,得:OC
2=
CF
2
+OF
2
即R
2
=300
2
+（R－90）
2,解得R=545m.
∴这段弯路的半径为545m.
6.已知:AB交⊙O于C、D
,
且
AC
=
BD，请证明：OA
=
OB.
A
B
O
C
D
证明:过O作OE⊥AB于E,
∵
OE过圆心O，
∴
CE
=
DE,
∵AC
=
BD，
∴AE
=
BE，
∵OE⊥AB，
∴OA
=
OB，
E
课堂小结
CD是直径，
AB是弦，
CD⊥AB
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
垂径定理
D
O
A
B
P
C
∟
AP
＝
BP
＝
＝
五个条件中的任意2个条件都可以推出其他3个结论。
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.(共29张PPT)
27.1
圆的认识
华东师大版
九年级下册
圆周角
复习回顾
什么是弦？
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
什么是弧？什么是等弧？
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
O
A
B
O
A
B
C
你知道∠ACB是什么角吗？
圆周角
怎样来判定圆周角？
圆周角、弦、弧三者间又有什么关系呢？
新课探究
探究1：圆周角的概念
观察∠ACB、
∠ADB、
∠AEB，这样的角有什么特点？
C
A
O
B
D
E
讨论：点C，D，E在什么位置？
∠ACB、
∠ADB、
∠AEB的顶点都在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角.
（1）
（2）
（3）
（4）
找一找下面哪些是圆周角？
圆周角的顶点在圆上,它的两边与圆相交.
圆周角与其他角的区别
探究2：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
线段AB是⊙O的直径
，点C是⊙O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB
就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎样的角？
A
B
C
O
？
A
B
C
O
？
我们可以看到，OA
=
OB
=
OC
,
所以△AOC、△BOC
都是等腰三角形，因而
∠OAC
=
∠OCA
,
∠OBC
=
∠OCB
又因为
∠OAC
+
∠OBC
+
∠ACB
=
180°
所以
∠ACB
=
∠OCA
+
∠OCB
=
=
90°
A
B
C
O
？
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B外），∠ACB总等于90°，即：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
对于一般的弧所对的圆周角,又有什么规律呢
探究3：圆周角定理
D
B
C
O
A
∠ADB
∠ACB
=
C′
量一量：
变动点C在圆周上的位置，你发现其中有什么规律吗
可以发现圆周角的度数没有变化
D
B
C
O
A
∠ACB
∠AOB
量一量：
=
我们发现圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
怎样证明这些结论呢？
在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？
共有三种情况：（1）圆心在圆周角的一边上;
（2）圆心在圆周角的内部;
（3）圆心在圆周角的外部.
C
A
O
B
C
A
O
B
D
1
2
C
A
O
B
1
2
（1）
（2）
（3）
分别就这三种情况证明这一猜想.
已知：在⊙O的一条弦
,
所对的圆周角是∠ACB，
所对的圆心角是∠AOB.
求证：∠ACB
=
∠AOB.
C
A
O
B
C
A
O
B
D
1
2
C
A
O
B
1
2
（1）
（2）
（3）
C
A
O
B
证明
（1）圆心在∠ACB的边CB上.
∵
OA
=
OC，
∴
∠OAC
=
∠ACB
，
∵
∠AOB
是△OAC的外角，
∴
∠AOB
=
∠ACB
+∠OAC
=
2∠ACB
，
∴
∠ACB
=
∠AOB
.
C
A
O
B
D
1
2
（3）圆心在∠ACB的外部.
作直径CD.
∴
∠1
=
∠AOD
，
∴
∠ACB
=
∠1－∠2=
（∠AOD
－∠BOD）
C
A
O
B
1
2
D
∠2
=
∠BOD
，
=
∠AOB
.
由此我们可以得到：
圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等.
探究4：外接圆、内接多边形
由圆周角定理，可以得到以下推论:
推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.
推论2：圆内接四边形的对角互补.
如右图
∠BAD
+
∠BCD
=
180°
∠ABC
+
∠ADC
=
180°
A
B
C
D
60°
x
B
A
C
E
F
D
20°
x
30°
（1）
（2）
解
（1）∵同弧对的圆周角相等，
∴∠
x
=
60°.
解
（2）连接BF，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ABF
=
∠D
=
20°，
∠FBC
=
∠E
=
30°，
∴∠
x
=
∠ABF
+
∠FBC=
50°.
B
A
C
E
F
D
20°
x
30°
（2）
随堂演练
1．试找出图中所有相等的圆周角.
【教材第44页练习】
∠1
=∠4
∠2
=∠7
∠3
=∠6
∠5
=∠8
2.在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x
+100
)°和(5x－30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的大小.
由题意
(2x+100)°=
2(
5x－30)
°
x
=
20
∴(2x+100)
°=
140°
，
(
5x－30)
°=70°.
故这条弧所对的圆心角为140°，圆周角为70°.
【教材第44页练习】
3.使用曲尺检验工件的凹面，成半圆时为合格.如图所示的三种情况中，哪种是合格的 哪种是不合格的 为什么
第三种合格,另外两种不合格.
【教材第44页练习】
∵
90°的圆周角所对的弦是直径，
∴若要合格，曲尺顶点应在圆周上，曲尺两边应与凹面的两个端点接触，
∴只有第三种情况符合.
4.
证明：∵OA
⊥
OB，
∴∠AOB
=
90°，
∴∠C
=
∠D
=
45°，
∵AC
⊥
BD，
∴∠DEC
=
90°，
∴∠DAE
=
45°，
∴∠C
=
∠DAE.
∴AD∥BC
课堂小结
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
A
B
C
O
∟
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等.
推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
推论2：圆内接四边形的对角互补.
A
B
C
D
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.(共19张PPT)
27.1
圆的认识
华东师大版
九年级下册
圆的基本元素
课前导入
说一说你在生活中接触到的圆形物体.
生活中的圆形物体还有很多，我们的生活中离不开圆.
这些物体都包含了圆，关于圆你知道哪些知识？这些大小与位置不同的圆又有哪些特征呢？
1.
请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的.
2.
圆的位置是由什么决定的？而大小又是由什么决定的？
探究1：圆是如何形成的？
新课探究
圆的位置是由圆心决定的,圆的大小是由圆的半径
决定的.
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
·
r
O
A
圆心O
半径r
探究2：圆的基本元素
问题：
据统计，某个学校1000名同学里，有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，还有其他方式上学的同学，根据右表，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式.
步行
乘公共汽车
其他
人数
500人
300人
200人
步行
50%
其他20%
乘公共汽车
30%
步行
50%
其他20%
乘公共汽车
30%
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形来制作扇形统计图的，右图就是反映学校学生上学方式的扇形统计图.
圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径的长度确定.半径相等的两个圆称为等圆.
A
B
O
C
A
B
O
C
线段OA、OB、OC都是圆的半径
线段AC为直径.
这个以点О为圆心的圆叫作“圆О”，记为“⊙O”.
其中像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧.
线段AB、BC、AC都是⊙O中的弦，曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记为BC
、BAC.
⌒
⌒
A
B
O
C
你知道优弧与劣弧的区别吗？
大于半圆的弧叫做优弧.表示一个优弧时用符号“⌒”和三个字母来表示；与优弧相对的是“劣弧”，即小于半圆的弧，用符号“⌒”和弧两端的字母来表示.
BC读作弧BC
⌒
⌒
BAC读作弧BAC
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，称为等弧.∠AOB、
∠AOC、
∠BOC就是圆心角.
相等的圆是等圆.
A
B
O
C
随堂演练
1.根据下列条件作圆：
（1）以定点О为圆心，作半径等于2
cm
的圆；
（2）以定点О为圆心作圆，使其过另一个定点P；
（3）先任作一条线段AB，再作半径
为AB的圆.
О
B
A
r=2
О
P
2.比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确.
最上面的弧所在的圆的半径最小,最下面的孤所在圆的半径最大.
（1）直径是弦.
（
）
（2）弦是直径.
（
）
（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆.
（
）
（4）半径相等的两个半圆是等弧.
（
）
3.判断：
弦不一定经过圆心，所以不一定是直径
弧不一定是直径分成的弧，所以弧不一定是半圆
半径相等就表明这两个圆是等圆，所以半径相等的两个半圆是等弧
（5）长度相等的两条弧是等弧.
（
）
（6）周长相等的圆是等圆.
（
）
（7）面积相等的圆是等圆.
（
）
（8）优弧一定比劣弧长.
（
）
根据周长公式,周长相等则直径相等,所以周长相等的圆是等圆
根据面积公式,面积相等则半径相等,所以面积相等的圆是等圆
必须在同圆或等圆中进行比较
等弧指长度形状都相等,同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧
4.如图，在⊙O中，点A、O、D
与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（
）.
B
A
O
E
C
D
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
B
5.如图，半圆的直径AB=______.
解析:
利用勾股定理可求出半圆的半径为
,所以直径为2.
-2
-1
0
1
2
B
A
2
A
B
O
C
课堂小结
这节课你学习了哪些知识？学习了哪些数学思想方法？
AB、BC、AC为⊙O中的弦.
圆心
劣弧，记为BC
⌒
优弧，记为BAC
⌒
圆心角
半径
直径
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
