“星云”联考2022届高三上学期第二次线上联考理科数学试题 (Word版含答案)

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试卷类型：B
“星云”2022届高中毕业生第二次线上联考
理科数学
本试卷共4页，23题（含选考题），满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。
4．考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，考生有10分钟的时间提交自己的答题卡，逾期提交答题卡的成绩无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，≤，，则
A．
B．
C．
D．
2．已知i是虚数单位，复数的共轭复数在复平面中对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知函数，则
A．e
B．1
C．0
D．
4．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
5．已知平面向量满足，，则
A．
B．
C．
D．
6．下列命题正确的是
A．与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直B．过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行C．各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥D．正四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合
7．已知且，则“”是“”的
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为
A．5
B．6
C．7
D．8
9．我国古代为了进行复杂的计算，曾经使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘．算筹有纵式和横式两种排列方式，0～9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
〇
横式
排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现．如“
”表示21，“
〇
”表示609．在“〇”“”“”“”“”按照一定顺序排列成的三位数中任取一个，取到偶数的概率是
A．
B．
C．
D．
10．设，，，则
A．
B．
C．
D．
11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则B可能是
A．
B．
C．
D．
12．已知函数满足，且．下列选项中，一定使得在上单调递增的是
A．，
B．在上有且仅有一个极大值点
C．，
D．在上单调递减
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前n项和为．若，则
．
14．若二项式展开式的各项系数和为81，则展开式中的常数项是
．
15．1765年，伟大的数学家欧拉发现：任意给出一个三角形，它的重心、垂心和外心都是共线的．后人把这条直线称为三角形的欧拉线．已知在平面直角坐标系xOy中，△ABC内接于单位圆O，且A，B，C逆时针排列，．若△ABC的欧拉线所在直线的斜率，则OA所在直线的倾斜角的取值范围是
．
16．已知函数．当时，不等式≤的解集是
；若是的极值点，则
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
某学校为了解学生的选科意向，提前制定分班方案，调查了全年级共1500名学生，得到下面列联表：
首选物理
首选历史
合计
男生
700
200
900
女生
500
100
600
合计
1200
300
1500
（1）现用分层抽样法从该年级抽取60名学生组成一个试点班．求该班中意向首选物理的女生人数；
（2）是否有99%的把握认为该校学生的选科意向和性别有关？
附：．
≥
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．（12分）
在①，；②，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．
已知数列的前n项和是，数列的前n项和是．
．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，证明：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线上一点到焦点F的距离．不经过点S的直线l与E交于A，B．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线AS，BS的斜率之和为2，证明：直线l过定点．
20．（12分）
已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且，AB和CD的夹角为60°．
（1）证明：四面体ABCD的体积为定值；
（2）已知，且P，A，B，C，D均在半径为的球面上．
当PA，PB与平面的夹角均为时，求．
21．（12分）
已知≤≤，函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设是的导数．证明：
（ⅰ）在R上单调递增；
（ⅱ）当时，若≤，则≤．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C和直线l的普通方程；
（2）设l与C交于S，T．求△SOT的面积．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求的最小值；
（2）用表示的较大者．证明：≥．
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试卷类型：B
“星云”2022届高中毕业生第二次线上联考
理科数学试题参考答案与评分标准
一、选择题
1．B
2．A
3．B
4．D
5．D
6．D
7．B
8．C
9．A
10．B
11．C
12．D
二、填空题
13．400
14．32
15．
16．
三、解答题
（一）必考题
17．解：
（1）该年级意向首选物理的女生所占比例为．
（3分）
所以采用分层抽样法，该试点班中意向首选物理的女生人数为
．
（6分）
（2）的观测值
≈．
（9分）
所以有99%的把握认为该校学生的选科意向和性别有关．
（12分）
18．解：
方案一：选条件①．
（1）由
（ⅰ）
得
（ⅱ）
（1分）
（ⅱ）－（ⅰ）并由得
．
（3分）
特别地，在（ⅰ）中取，则由知．
（4分）
所以是以3为首项，公比为3的等比数列，．
故数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（7分）
（2）由（1）知
．
（9分）
所以
．
（12分）
方案二：选条件②．
（1）由
（ⅰ）
得
（ⅱ）
（1分）
（ⅱ）－（ⅰ）并由得
．
（3分）
所以
．
（4分）
特别地，在（ⅰ）中取，则由知
．
（5分）
所以
．
（6分）
从而，，．
故数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（7分）
（2）由（1）知
．
（9分）
所以
．
（12分）
19．解：
（1）由抛物线的定义得，所以．
（2分）
所以抛物线E的标准方程是．
（4分）
（2）不妨设直线l的方程是．
联立
，
得
．
（6分）
因为直线l与E有两个交点，所以
，
即
．
（7分）
设，，由韦达定理得
．
（8分）
由直线AS，BS的斜率之和为2得
．
所以
．
代入解得
．
（11分）
所以直线l的方程是，它过定点．
（12分）
20．解：
（1）如图，平移线段AB使得A与C重合，并将四面体ABCD补成一个斜三棱柱．
（1分）
则该斜棱柱的底面积，高．
（3分）
此斜棱柱恰好可以分为两两底面积相同，高相同的三个三棱锥．
于是这三个三棱锥的体积都相等，都是斜棱柱的．
（5分）
所以四面体ABCD的体积为，是一定值．
（6分）
（2）设球心是O，并设O与平面，平面的距离分别是，．
由可知，O在A，B的中垂面和C，D的中垂面的交线上．
（7分）
设AB的中点是M，CD的中点是N．则由勾股定理得．
（8分）
注意到≤，所以O，M，N共线，且平面．
（10分）
因为，且PA，PB与平面的夹角均为，所以．
而P，A，B，C，D均在球O上，所以P在以N为圆心，CD为直径的圆上．
所以．
（11分）
于是，．
（12分）
21．解：
（1）的定义域是R．求导得．
令，则．
（1分）
因为≥，等号成立当且仅当，
所以在R上单调递增．
（2分）
注意到，所以在上，在上．
所以在上单调递减，在上单调递增．
（3分）
（2）（ⅰ）的定义域是R．求导得．
（4分）
当≤≤时，≤，所以≥．
（5分）
设函数，则．
令，得．
（6分）
因为在R上单调递增，所以在上，在上．
因此在上单调递减，在上单调递增．
于是≥，即≥≥．
所以在R上单调递增．
（7分）
（ⅱ）我们只需要证明当时，的最大值不大于的最大值．
由（1）知在R上单调递增．
注意到，所以在上，在上．
所以函数，在上单调递减，在上单调递增．
（8分）
故
．
注意到，
所以，．
（10分）
而≥，
（11分）
所以≥．
即证得若≤，则≤．
（12分）
（二）选考题
22．解：
（1）曲线C的普通方程为；
（2分）
直线l的普通方程为．
（4分）
（2）联立
，
得到l与C的交点坐标是和．
（7分）
所以△SOT的面积
．
（10分）
23．解：
（1）由绝对值不等式得
≥，
（2分）
其中等号成立当且仅当≤≤．
所以的最小值是3．
（3分）
（2）当时，因为，所以
≥；
（5分）
当≤时，因为≥，所以
≥≥；
（7分）
当时，因为，所以
≥．
综上可得≥．
（10分）
A
B
C
D
A
B
C
D