广东省广州市2021-2022学年高一上学期9月第一次月考模拟数学试题（Word版含答案解析）

广州市2021-2022学年高一上学期第一次月考模拟
数学试题
考试范围：集合与常见逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式
考试时间：120分钟，满分150分
第I卷（选择题）
评卷人
得分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．下列命题中是存在量词命题的是（
）
A． x∈R，x2>0
B． x∈R，x2－2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
2．设，则“”的充要条件是（
）
A．，都为1
B．，不都为1
C．，中至少有一个为1
D．，都不为0
3．已知为实数，，，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知全集，集合，，则为（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，，则下列不等式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知正数满足，则下列选项不正确的是（
）
A．的最小值是2
B．的最大值是1
C．的最小值是4
D．的最大值是
7．对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是（
）．
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
8．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
评卷人
得分
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下列各组集合不表示同一集合的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．下列说法中正确的有（
）．
A．不等式恒成立
B．若，，则
C．最小值为4
D．存在，使得不等式成立
11．下列结论中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．给定数集，若对于任意，有，，则称集合为闭集合.则下列说法中不正确的是（
）
A．集合为闭集合
B．集合为闭集合
C．正整数集是闭集合
D．若集合、为闭集合，则为闭集合
第II卷（非选择题）
评卷人
得分
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知集合，，则=________.
14．已知，则的取值范围____
15．已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．
16．已知正实数，满足，则的最小值是______．
评卷人
得分
四、解答题（共6小题，70分）
17．（10分）已知集合,，设全集.
（1）用列举法表示集合A集合B；
（2）求
，.
18．（10分）已知集合，.
（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
19．（10分）已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
20．（12分）已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
21．（14分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
22．（14分）解答下列各题.
（1）设，，，求.
（2）设且恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
易知A错误，B正确；
对C，意思为“任意一个平行四边形，它的对边都平行”，错误；
对D，意思为“任意一个矩形，它的任一组对边都相等”，错误.
2．C
∵，
∴，
，
，
∴或，
故“”的充要条件是“，至少有一个为1”.
3．B
∵，，
若，
则，
故的取值范围为，
4．D
∵全集，
，，
∴，
.
5．A
解：因为，，则，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，，故C错误；
当时，，故D错误.
6．C
因为正数满足，
由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；
由，可得，即，当且仅当时成立，所以B正确；
由，当且仅当时成立，所以C不正确；
由正数满足，可得，
则，当且仅当时，即时，等号成立，
即的最大值是，所以D正确.
7．C
解：中，由，充分性成立；
由，不能得出，时，，，必要性不成立；
命题是假命题；
中，推不出，如，时，充分条件不成立；
命题是假命题；
中，时，得出，
是的必要条件；
命题是真命题；
中，是无理数是无理数，即充分性成立；
是无理数是无理数，即必要性成立；
“是无理数”是“是无理数”的充要条件，命题是假命题；
8．A
不等式在内有解等价于时，.
当时，，所以.
9．ABD
选项A：集合中的元素为，集合中的元素为，故不表示同一个集合；
选项B：集合中的元素是直线
上的点，集合是所有实数构成的集合，故不表示同一个集合；
选项C：集合和集合都是和这两个数构成的集合，故是同一个集合；
选项D：集合中的元素是和，
集合中的元素是点，故不表示同一个集合.
10．BD
解：对于A，当时，，，故A错误；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，当且仅当，即，时，取等号，又因，所以，故C错误；
对于D，当时，，所以存在，使得不等式成立，故D正确.
11．CD
当时，，故A错误；
当时，，则，故B错误；
当，时，，，相加可得，故C正确；
当，时，，故D正确.
12．ACD
A选项：当集合时，，而，所以集合不为闭集合，故A错误；
B选项：当集合时，设，，，则，，所以集合是闭集合，故B正确；
C选项：设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数集不为闭集合，故C错误；
D选项：设、，由可知，集合、为闭集合，，而，此时不为闭集合，故D错误.
13．
解：联立，解得，
则．
故答案为：．
14．.
由，可得，
又由，可得，
两式相加，可得，即的取值范围.
15．
由题意，集合，
则Venn图中阴影部分表示的集合是．
16．
，
，当且仅当，时取等号．
所以则的最小值是，
17．
（1），；
（2），所以，，.
18．（1）不存在实数，使是的充要条件；（2）m=3
19．
解：（1）当时，，
不等式即，即，
故不等式的解集为或；
（2）由题意得的解集为，
当时，该不等式的解集为，不符合题意，舍去；
当时，根据二次函数图象特征知，开口向上且，
即，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
20．
解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.
实数的取值范围是.
(2)由(1)知命题为真命题时，.
命题为真命题时，，解得为真命题时，.
，解得，即实数的取值范围为.
21．
（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于
x>25时,有解.
由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
22．
（1）∵，，，
∴
，
，
当且仅当时取等号.
（2）∵，
∴，
由恒成立，得
，
又，
∴，，
则.
当且仅当，即时上式等号成立.
∴.
∴的取值范围是：.
试卷第1页，共3页
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