2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步能力达标测评（word版含答案）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2
B．﹣4＜x＜2
C．x＜0或x＞2
D．0＜x＜2
2．对于抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（　　）
A．（﹣3，﹣6）
B．（﹣3，0）
C．（﹣3，﹣5）
D．（﹣3，﹣1）
4．四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
5．已知二次函数y＝x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0）
B．（4，0）
C．（5，0）
D．（﹣6，0）
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
y
﹣1.59
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（　　）
A．1.2＜x＜1.3
B．1.3＜x＜1.4
C．1.4＜x＜1.5
D．1.5＜x＜1.6
7．如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（　　）
A．﹣4
B．﹣2
C．1
D．3
9．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2，那么抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线（　　）
A．x＝1
B．x＝2
C．x＝
D．x＝﹣
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
则下列判断中正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝4时，y＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．如果二次函数y＝x2+2x+m的图象与x轴有两个交点，那么m的取值范围是　
　．
12．二次函数y＝2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是　
　．
13．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为　
　．
14．已知方程2x2﹣3x﹣5＝0两根为，﹣1，则抛物线y＝2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为　
　．
15．已知方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是x1＝5，x2＝﹣3，那么抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是　
　．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是　
　．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一个动点，若S△PAB＝32，求出此时P点的坐标．
18．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
19．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB＝|x2﹣x1|）
20．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
（3）已知抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
2．解：把x＝1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，
解得：a＞1，
所以可得：﹣，，
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：C．
3．解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4．
当x＝﹣3时，y＝（x+1）2﹣4＝0，
∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．
故选：B．
4．解：假设甲和丙的结论正确，则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+4．
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x+4＝7，
∴乙的结论不正确；
当x＝2时，y＝x2﹣2x+4＝4，
∴丁的结论正确．
∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴假设成立．
故选：B．
5．解：二次函数y＝x2﹣5x+m的图象的对称轴为直线x＝．
∵该二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴另一交点坐标为（×2﹣1，0），即（4，0）．
故选：B．
6．解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选：C．
7．解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C10在x轴下方，
相当于抛物线C1向右平移3×9＝27个单位，再沿x轴翻折得到，
∴抛物线C10的解析式为y＝（x﹣27）（x﹣27﹣3）＝（x﹣27）（x﹣30），
∵P（28，m）在第10段抛物线C10上，
∴m＝（28﹣27）（28﹣30）＝﹣2．
故选：D．
8．解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴方程的另一个根为x＝﹣2．
故选：B．
9．解：∵方程x2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝1、x2＝2，
∴抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标为（1，0）、（2，0），
∴抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝＝．
故选：C．
10．解：由图表可得，
该函数的对称轴是直线x＝，有最大值，
∴抛物线开口向下，故选项A错误，
抛物线与y轴的交点为（0，1），故选项B错误，
x＝﹣1和x＝4时的函数值相等，则x＝4时，y＝﹣3＜0，故选项C错误，
方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间，故选项D正确，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即22﹣4×1×m＞0，
解得：m＜1；
故答案为：m＜1．
12．解：∵二次函数y＝2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的纵坐标为0，
∴2x2+3x﹣9＝0，
解得：x＝﹣3，或x＝，
∴二次函数y＝2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是﹣3或；
故答案为：﹣3或．
13．解：当y＝0时，﹣x2+4x﹣2＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，则A（2﹣，0），B（2+，0），所以AB＝2+﹣（2﹣）＝2，
当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣2，则C（0，﹣2），
所以△ABC的面积＝×2×2＝2．
故答案2．
14．解：∵方程2x2﹣3x﹣5＝0两根为，﹣1，
∴抛物线y＝2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点的横坐标是，﹣1，
∴抛物线y＝2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为：|﹣（﹣1）|＝．
故答案为：．
15．解：当y＝0时，ax2+bx+c＝0（a≠0）．
∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是x1＝5，x2＝﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是5、﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（5、0）（﹣3、0）．
故答案是：（5、0）（﹣3、0）．
16．解：∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴方程x2+bx+c＝0的两根为x＝﹣2或x＝6，
∴﹣2+6＝﹣b，
﹣2×6＝c，
∴b＝﹣4，c＝﹣12，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x﹣12．
（2）∵y＝x2﹣4x﹣12＝（x﹣2）2﹣16，
∴抛物线的对称轴x＝2，顶点坐标（2，﹣16）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB＝32，
∴AB |yP|＝32，
∵AB＝6+2＝8，
∴|yP|＝8，
∴yP＝±8，
把yP＝8代入解析式得，8＝x2﹣4x﹣12，
解得，x＝2±2，
把yP＝﹣8代入解析式得，﹣8＝x2﹣4x﹣12，
解得x＝2±2，
又知点P为y轴右侧抛物线上一个动点，
即x＝2±2（负值舍去）或x＝2±2（负值舍去），
综上点P的坐标为（2+2，8）或（2+2，﹣8）．
18．（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x＝﹣＝，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，
∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52﹣4（6+k）＝0，
∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
19．解：（1）Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8，
∵（m﹣1）2≥0，
∴Δ＝（m﹣1）2+8＞0，
∴原方程有两个不等实数根；
（2）存在，
由题意知x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝m﹣3，x1 x2＝﹣m．
∵AB＝|x1﹣x2|，
∴AB2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2
＝（m﹣3）2﹣4（﹣m）＝（m﹣1）2+8，
∴当m＝1时，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即AB＝＝2
20．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵Δ＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，
解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k＝1．
∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．
（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y＝0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2＝0恒成立，
则，
解得或．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．