2021-2022学年北师大版九年级数学上册_2.2用配方法求解一元二次方程 同步练习题（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.2用配方法求解一元二次方程》
同步练习题（附答案）
1．方程（x﹣3）2＝1的解为（　　）
A．x＝1或x＝﹣1
B．x＝4或x＝2
C．x＝4
D．x＝2
2．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣2
B．x1＝1，x2＝0
C．x1＝3，x2＝﹣2
D．x1＝3，x2＝0
3．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+5＝0，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（　　）
A．（x+4）2＝11
B．（x﹣4）2＝21
C．（x﹣8）2＝11
D．（x﹣4）2＝11
4．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　）
A．x＝y
B．x＞y
C．x＜y
D．x≥y
5．已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．整式a2+b2﹣6a﹣2b+5的最小值为（　　）
A．5
B．0
C．﹣5
D．﹣10
7．记T＝16k2﹣24k+11，则T的最小值为
　
　．
8．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，则△ABC的周长是
　
　．
9．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为　
　．
10．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝　
　．
11．规定：a b＝（a+b）b，如：2 3＝（2+3）×3＝15，若2 x＝3，则x＝　
　．
12．如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝63，那么a2+b2的值为　
　．
13．在实数范围内定义一种运算“
”，其规则为a
b＝a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）
1＝0的解为　
　．
14．已知，一元二次方程a（x+m）2+b＝0的两根为﹣1，3，则a（x﹣m）2+b＝0的两根为　
　．
15．如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25＝0，则此三角形的面积是　
　．
16．已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．
（1）化简：|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|；
（2）若a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长．
17．先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴n＝3，m＝﹣3．
问题：
（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
（3）根据以上的方法是说明代数式：2x2+8x+y2﹣8y+25的值一定是一个正数．
18．先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2
＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣8a+15；
（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值．
19．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M＝2x+3，N＝2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N＝0，则M＝N，反之亦成立．本题中因为M﹣N＝2x+3﹣（2x+1）＝2＞0，所以M＞N．
（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．用含a的代数式表示S1＝　
　，S2＝　
　（需要化简）．然后请用作差法比较S1与S2大小；
（2）已知A＝2a2﹣6a+1，B＝a2﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小．
（3）若M＝（a﹣4）2，N＝16﹣（a﹣6）2，且M＝N，求（a﹣4）（a﹣6）的值．
20．阅读理解：
在教材中，我们有学习到a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题：
【初步尝试】比较大小：x2+1　
　2x；﹣9　
　x2﹣6x．
【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由．
【拓展提升】比较整式a2﹣2ab+2b2和a﹣的大小关系，并请说明理由．
参考答案
1．解：（x﹣3）2＝1，
开方，得x﹣3＝±1，
解得：x＝4或x＝2，
故选：B．
2．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，
∴a（x+m﹣1）2+b＝0，
又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，
解得x1＝3，x2＝0，
故选：D．
3．解：方程x2﹣8x+5＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣5，
配方得：x2﹣8x+16＝11，即（x﹣4）2＝11．
故选：D．
4．解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b2﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2，
∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0，
∴x≥y．
故选：D．
5．解：依题意得：，
解得，
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3＝0，
解得a＝3．
故选：C．
6．解：a2+b2﹣6a﹣2b+5
＝（a2﹣6a+9）+（b2﹣2b+1）﹣5
＝（a﹣3）2+（b﹣1）2﹣5，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝3，b＝1时，整式a2+b2﹣6a﹣2b+5有最小值，最小值为﹣5．
故选：C．
7．解：T＝16k2﹣24k+11＝（4k）2﹣2×4×3k+32+2＝（4k﹣3）2+2，
∵（4k﹣3）2≥0，
∴（4k﹣3）2+2≥2，
即T≥2，
则T的最小值为2，
故答案为：2．
8．解：∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
则3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4，
∵c的正整数，
∴c＝3，
∴△ABC的周长＝1+3+3＝7，
故答案为：7．
9．解：a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
解得，a＝3，b＝4，
当a是腰长时，等腰三角形的周长＝3+3+4＝10，
当b是腰长时，等腰三角形的周长＝3+4+4＝11，
故答案为：10或11．
10．解：∵x2+4x＝﹣n，
∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，
又（x+m）2＝3，
∴m＝2，n＝1，
则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
11．解：依题意得：（2+x）x＝3，
整理，得
x2+2x＝3，
所以
（x+1）2＝4，
所以x+1＝±2，
所以x＝1或x＝﹣3．
故答案是：1或﹣3．
12．解：设a2+b2＝x，
则（x+1）（x﹣1）＝63
整理得：x2＝64，
x＝±8，
即a2+b2＝8或a2+b2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故答案为：8．
13．解：（x﹣4）
1＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）+1＝x2﹣10x+25＝0，即（x﹣5）2＝0，
解得
x1＝x2＝5，
故答案是：x1＝x2＝5．
14．解：a（x+m）2+b＝0，
（x+m）2＝﹣，
x+m＝，
x1＝﹣m，x2＝﹣﹣m，
a（x﹣m）2+b＝0，
（x﹣m）2＝﹣，
x﹣m＝，
x1＝+m＝﹣（﹣﹣m），x2＝﹣+m＝﹣（﹣m），
∵一元二次方程a（x+m）2+b＝0的两根为﹣1，3，
∴a（x﹣m）2+b＝0的两根为1，﹣3，
故答案为：1，﹣3．
15．解：由x2﹣10x+25＝0，得
（x﹣5）2＝0，
∴x1＝x2＝5；
∵一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25＝0，
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积：；
故答案是：．
16．解：（1）∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b＞0，
∴原式＝（a﹣b+c）﹣（c﹣a﹣b）﹣（a+b）
＝a﹣b+c+a+b﹣c﹣a﹣b
＝a﹣b；
（2）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，
∴a2﹣2a+12﹣12+b2﹣8b+42﹣42+17＝0，
∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝1，b＝4，
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴4﹣1＜c＜4+1，
∴3＜c＜5，
∵a，b，c都是整数，
∴c＝4，
∴△ABC的周长＝1+4+4＝9．
17．解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4＝x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2＝．
（2）a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|＝0，
∴a＝b＝c＝3，
∴△ABC是等边三角形．
（3）2x2+8x+y2﹣8y+25＝2（x2+4x+4）+y2﹣8y+16+1＝2（x+2）2+（y﹣4）2+1，
∴2（x+2）2+（y﹣4）2+1≥1，
∴原式的值一定为正数．
18．解：（1）a2﹣8a+15；
＝a2﹣8a+16﹣16+15
＝（a﹣4）2﹣1
＝（a﹣4+1）（a﹣4﹣1）
＝（a﹣3）（a﹣5）；
（2）a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，
（a2﹣14a+49）+（b2﹣8b+16）＝0，
（a﹣7）2+（b﹣4）2＝0，
a﹣7＝0，b﹣4＝0，
∴a＝7，b＝4，
∴3＜c＜11，
∵c边的长为奇数，
∴c＝5，7，9，
∴△ABC的周长的最小值＝7+4+5＝16．
19．解：（1）根据题意得：S1＝a（a+4）＝a2+4a，S2＝（a+2）2＝a2+4a+4，
∵S1﹣S2＝（a2+4a）﹣（a2+4a+4）＝a2+4a﹣a2﹣4a﹣4＝﹣4＜0，
∴S1＜S2；
故答案为：a2+4a，a2+4a+4；
（2）∵A＝2a2﹣6a+1，B＝a2﹣4a﹣1，
∴A﹣B＝2a2﹣6a+1﹣a2+4a+1＝a2﹣2a+2＝a2﹣2a+1+1＝（a﹣1）2+1≥1＞0，
则A＞B；
（3）由M＝N，得到M﹣N＝0，
∴（a﹣4）2﹣16+（a﹣6）2＝0，
整理得：a2﹣10a+18＝0，即a2﹣10a＝﹣18，
则（a﹣4）（a﹣6）＝a2﹣10a+24＝﹣18+24＝6．
20．解：【初步尝试】∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x，
∵﹣9﹣（x2﹣6x）＝﹣（x2﹣6x+9）＝﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣9≤x2﹣6x，
故答案为：≥，≤；
【知识应用】5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；理由如下：
∵5x2+2xy+10y2﹣（2x﹣y）2＝5x2+2xy+10y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2+6xy+9y2＝（x+3y）2≥0，
∴5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；
【拓展提升】a2﹣2ab+2b2≥a﹣；理由如下：
∵a2﹣2ab+2b2﹣（a﹣）＝a2﹣2ab+2b2+a2﹣a+＝（a﹣2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴a2﹣2ab+2b2≥a﹣．