2021-2022学年北师大版九年级数学上册_2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步练习题（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
同步练习题（附答案）
1．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是（　　）
A．x＝3
B．x1＝0，x2＝﹣3
C．x1＝0，x2＝
D．x1＝0，x2＝3
2．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2﹣24x+140＝0，则三角形周长为（　　）
A．24
B．28
C．24或28
D．以上都不对
3．解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（　　）
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
4．解方程3（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）最适当的方法是（　　）
A．直接开平方法
B．配方法
C．因式分解法
D．公式法
5．已知k为整数，一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0的解为整数，k＝　
　．
6．一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根为菱形的两条对角线长，则菱形的周长为　
　．
7．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是　
　．
8．已知三角形的两边分别是3和4，第三边的数值是方程x2﹣9x+14＝0的根，则这个三角形的周长为　
　．
9．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝　
　．
10．已知方程（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣3＝0，则x2+y2的值为　
　．
11．已知x是实数且满足，那么的值是　
　．
12．已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2的值是　
　．
13．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）3x2﹣6x+1＝2
14．解方程
（1）（x+3）（x﹣1）＝5
（2）x（x+3）＝x+3
15．解方程：
（1）x2+2x﹣1＝0
（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）
16．解方程
（1）3x2﹣2x﹣1＝0
（2）3x（x﹣2）＝x﹣2
17．解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝12
（2）4（x+3）2＝25（x﹣2）2
18．解下列方程：
（1）x2﹣2x＝5；
（2）（x﹣2）2+2（2﹣x）＝0．
19．已知x2+xy+y＝12，y2+xy+x＝18，求代数式3x2+3y2﹣2xy+x+y的值．
20．解方程：（2x+1）2+3（2x+1）+2＝0．
21．如果（x2+y2）（x2﹣1+y2）＝20，求x2+y2的值．
22．解方程（按要求方法解方程，没有要求的请用适当的方法解方程）
（1）（x﹣2）2＝9（直接开方法）
（2）x2﹣6x+6＝0（配方法）
（3）3x2﹣1＝2x+5（公式法）
（4）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）（因式分解法）
23．解方程：
①x2+（）x+＝0（因式分解法）
②5x2+2x﹣1＝0（公式法）
③y2+6y+2＝0（配方法）
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法）
⑤＝1（换元法）
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法）
24．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
25．阅读下列材料：
已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，试求x2+y2的值．
解：设x2+y2＝a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）＝63，整理得a2﹣1＝63，a2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值．
（2）填空：
①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　
　．
②已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是　
　．
26．阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a，b，c满足：，求a，b，c的值．
解：∵a+b+2c＝1，∴a+b＝1﹣2c，
设①
∵②
将①代入②得：
整理得：t2+（c2+2c+1）＝0，即t2+（c+1）2＝0，∴t＝0，c＝﹣1
将t，c的值同时代入①得：．∴．
以上解法是采用“均值换元”解决问题．一般地，若实数x，y满足x+y＝m，则可设，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：
已知实数a，b，c满足：a+b+c＝6，a2+b2+c2＝12，求a，b，c的值．
参考答案
1．解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x＝3，
故选：D．
2．解：解方程x2﹣24x+140＝0得：x1＝10，x2＝14，
当三边为6、8、10时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为6+8+10＝24，
当三边为6、8、14时，6+8＝14，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
即三角形的周长是24，
故选：A．
3．解：（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0
解得：x1＝，x2＝1．
故选：D．
4．解：先移项得到3（2x﹣1）2﹣4（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
故选：C．
5．解：∵一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0
∴k≠6，k≠9
∴[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0
∴（6﹣k）x﹣9＝0或（9﹣k）x﹣6＝0
∴x＝或x＝
∵k为整数且解为整数
∴6﹣k＝±9，±3，±1且9﹣k＝±6，±3，±2，±1
∴k＝3，7或15
故答案为：3，7或15．
6．解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x＝2或x＝4，
则菱形的两条对角线的长为2和4，
∴菱形的边长为＝，
∴菱形的周长为4，
故答案为：4．
7．解：方程2x2﹣9x+4＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x＝或x＝4，
当x＝时，+2＜4，不能构成三角形，舍去，
则三角形周长为4+4+2＝10．
故答案为：10．
8．解：∵x2﹣9x+14＝0，
∴（x﹣2）（x﹣7）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣7＝0，
解得x＝2或x＝7，
当x＝2时，三角形的周长为2+3+4＝9；
当x＝7时，3+4＝7，不能构成三角形；
故答案为：9．
9．解：设x2+3x＝y，
方程变形得：y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0，
解得：y＝1或y＝﹣3，即x2+3x＝1或x2+3x＝﹣3（无解），
故答案为：1．
10．解：a＝x2+y2，
则原方程变为a2﹣2a﹣3＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝3，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝3．
故答案为：3．
11．解：设3x2+x＝a，则原方程化为a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，3x2+x＝﹣3，
即3x2+x+3＝0，
△＝（）2﹣4×3×3＝﹣34＜0，此方程无解，
当a＝1时，3x2+x＝1，
∴3x2+x＝1，
故答案为：1．
12．解：设x2+y2＝z，则原式变为z2﹣z﹣6＝0，
（z﹣3）（z+2）＝0，
解得z1＝3，z2＝﹣2，
∵设x2+y2≥0，
∴设x2+y2＝3，
故答案为3．
13．解：（1）原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0，x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）方程整理为一般式为3x2﹣6x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1，
∴△＝36﹣4×3×（﹣1）＝48＞0，
则，
即．
14．解：（1）方程整理为一般式得x2+2x﹣8＝0，
则（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0或x﹣2＝0，
解得x＝﹣4或x＝2；
（2）∵x（x+3）﹣（x+3）＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x＝﹣3或x＝1．
15．解：（1）∵x2+2x＝1，
∴x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
∴x+1＝±，
则x＝﹣1；
（2）∵（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣4）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣4＝0，
解得x＝1或x＝4．
16．解：（1）∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴a＝4，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝4+3×4＝16，
∴x1＝＝1，x2＝＝﹣；
（2）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，
∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝；
17．解：（1）将方程整理为一般式，得：x2+2x﹣15＝0，
则（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x+5＝0或x﹣3＝0，
解得x＝﹣5或x＝3；
（2）∵4（x+3）2＝25（x﹣2）2，
∴2（x+3）＝5（x﹣2）或2（x+3）＝﹣5（x﹣2），
解得．
18．解：（1）x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝，
∴x1＝+1，x2＝﹣+1；
（2）（x﹣2）2+2（2﹣x）＝0，
（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
则x﹣2＝0，x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4．
19．解：由x2+xy+y＝12①，y2+xy+x＝18②，
①﹣②，得（x﹣y）（x+y﹣1）＝﹣6，
①+②，得（x+y）2+（x+y）＝30，
∴（x+y+6）（x+y﹣5）＝0，
∴x+y＝﹣6或x+y＝5，
∴x﹣y＝或x﹣y＝﹣，
∴或，
∴3x2+3y2﹣2xy+x+y＝3（x+y）2﹣6xy﹣2xy+x+y＝3（x+y）2﹣8xy+（x+y），
∴3x2+3y2﹣2xy+x+y＝3×36﹣8×（﹣）×（﹣）+（﹣6）＝
或3x2+3y2﹣2xy+x+y＝3×25﹣8××+5＝．
20．解：设2x+1＝y，则原方程可化为：y2+3y+2＝0，
∴（y+1）（y+2）＝0，
解得：y＝﹣1或y＝﹣2，
即2x+1＝﹣1或2x+1＝﹣2，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣．
21．解：设x2+y2＝z，则原方程可化为：z2﹣z﹣20＝0，
∴（z+4）（z﹣5）＝0，
解得：z＝﹣4或z＝5，
∵x2+y2是非负数，
故x2+y2＝5．
22．解：（1）∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵x2﹣6x+6＝0，
∴x2﹣6x＝﹣6，
则x2﹣6x+9＝﹣6+9，即（x﹣3）2＝3，
则x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
（3）整理为一般式，得3x2﹣2x﹣6＝0，
∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣6，
∴△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣6）＝76＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（4）∵3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2），
∴3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（3x+2）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣；
23．解：①x2+（）x+＝0，
（x+）（x+）＝0，
∴x+＝0或x+＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣；
②5x2+2x﹣1＝0，
a＝5，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4+20＝24，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝；
③y2+6y+2＝0，
y2+6y＝﹣2，
y2+6y+9＝﹣2+9，即（y+3）2＝7，
∴y+3＝，
∴y1＝﹣3+，y2＝﹣3﹣；
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2，
3（x﹣2）＝±11（x+1），
∴3（x﹣2）＝11（x+1）或3（x﹣2）＝﹣11（x+1），
∴x1＝﹣，x2＝﹣；
⑤＝1，
﹣1＝0，
设y＝，
则原方程为y﹣﹣1＝0，
y2﹣y﹣2＝0，
解得：y＝﹣1，或y＝2，
当y＝﹣1，＝﹣1，此方程无解；
当y＝2，＝2，解得：x1＝1，x2＝﹣，
经检验，x1＝1，x2＝﹣是原分式方程的解，
所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣．
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，
设y＝x2﹣x，
则原方程为y2﹣5y+6＝0，
解得：y＝3，或y＝2，
当y＝3，x2﹣x＝3，x1＝，x2＝；
当y＝2，x2﹣x＝2，解得：x3＝2，x4＝﹣1；
所以原方程的解为x1＝，x2＝，x3＝2，x4＝﹣1．
24．解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27，
整理，得
16t2﹣9＝27，
所以t2＝．
∵t≥0，
∴t＝．
∴x2+y2的值是．
25．解：（1）设2x+2y＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，
整理，得：a2﹣9＝27，即a2＝36，
解得：a＝±6，
则2x+2y＝±6，
∴x+y＝±3；
（2）①令a＝x2+4x+3，
则原式＝a（a+2）+1
＝a2+2a+1
＝（a+1）2
＝（x2+4x+4）2
＝（x+2）4；
②由方程组得，
整理，得：，
∵方程组的解是，
∴方程组的解是：
∴x﹣1＝±3，且y＝5，
解得：或，
故答案为：（x+2）4，或．
26．解：∵a+b+c＝6∴a+b＝6﹣c，
设①
∵a2+b2+c2＝12②
∴
整理得：3c2﹣12c+4t2+12＝0
配方得：3（c﹣2）2+4t2＝0，
∴c＝2，t＝0
把c＝2，t＝0代入①得：a＝2，b＝2
所以，a＝b＝c＝2．