2021-2022学年北师大版九年级数学上册_2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
1．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2
B．a＞﹣2
C．a≥﹣2且a≠0
D．a＞﹣2且a≠0
2．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．4x2﹣4x+1＝0
B．x2+4＝0
C．2x2+3x+3＝0
D．x2+2x﹣1＝0
3．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）A．a≥﹣4
B．a＞﹣3
C．a≥﹣3且a≠1
D．a＞﹣3且a≠1
4．下列一元二次方程：①x2+1＝0，②x2﹣2x+1＝0，③x2+4x+4＝0，④x2﹣9＝0，其中有两个不相等实数根的方程个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如果关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）A．a＞﹣1
B．a≥﹣1
C．a≥﹣1且a≠0
D．a＞﹣1且a≠0
6．已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣3
D．4
7．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的一元二次方程（a﹣3）y2﹣2ay+a﹣6＝0始终有两个不相等的实数根，则所有的满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．5
B．9
C．12
D．14
8．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．7
B．
C．3
D．
9．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分四边形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根，则四边形ABCD的面积可以表示为（　　）
A．p
B．
C．q
D．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
11．如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
　
　．
12．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是
　
　．
13．已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则此方程的另一根为
　
　．
14．设x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣10＝0的两根，则2x1+2x2+x1x2＝　
　．
15．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝3，求k的值为
　
　．
16．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若m是整数，且方程总有两个整数根，求m的值．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90．，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）请直接写出一个“直系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且S△ABC＝3，求的值．
18．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
19．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两根互为相反数，求m的值．
22．已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根为2+．
（1）求m的值及方程的另一个根．
（2）设方程的两个根为x1，x2，求x12020x22021+x1的值．
参考答案
1．解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0．
故选：C．
2．解：A．Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B．Δ＝02﹣4×4×1＝﹣16＜0，方程没有实数根，所以B选项不符合题意；
C．Δ＝32﹣4×2×3＝﹣15＜0，方程没有实数根，所以C选项不符合题意；
D．Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣3且a≠1．
故选：C．
4．解：①x2+1＝0，Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，此方程没有实数解；
②x2﹣2x+1＝0，，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数解；
③x2+4x+4＝0，△＝42﹣4×1×4＝0，此方程有两个相等的实数解；
④x2﹣9＝0，Δ＝02﹣4×1×（﹣9）＝36＞0，此方程有两个不相等的实数解．
故选：A．
5．解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝22﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
故选：D．
6．解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴m2＝﹣3m+1，
∴m2+4m+n＝﹣3m+1+4m+n＝m+n+1，
∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0两根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2﹣m+n＝m+n+1＝﹣3+1＝﹣2．
故选：A．
7．解：不等式整理得，
∵关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，
∴﹣1≤＜0，
解得2≤a＜6，
∵关于y的一元二次方程（a﹣3）y2﹣2ay+a﹣6＝0始终有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a﹣3）（a﹣6）＞0且a≠3，
解得a＞2且a≠3，
∴2＜a＜6且a≠3，
∴整数a的值是4，5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：4+5＝9，
故选：B．
8．解：∵方程x2+x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）＝7．
故选：A．
9．解：过D点作DE⊥AB于E，过B点作BF⊥AD于F，如图，
由题意得AB∥CD，AD∥BC，DE＝BF，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵S△ABD＝AD BF＝AB DE，
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的面积＝AC BD，
∵AC、BD的长度是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根，
∴AC BD＝q，
∴四边形ABCD的面积＝q．
故选：D．
10．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
11．解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣3且k≠1．
故答案为k＞﹣3且k≠1．
12．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有实数根，
∴△≥0且k﹣2≠0，
即（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0
解得k≤4且k≠2．
故答案为：k≤4且k≠2．
13．解：设方程另一个根为x2，根据题意得1 x2＝﹣2，
解得x2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．解：根据题意得x1+x2＝，x1 x2＝﹣5，
则2x1+2x2+x1x2
＝2（x1+x2）+x1 x2
＝3﹣5
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．解：∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）
＝﹣4k+5≥0，
解得k≤．
∵x1+x2＝1﹣2k，x1x2＝k2﹣1，x1x2+x1+x2＝3，
∴k2﹣1+1﹣2k＝3，
即k2﹣2k﹣3＝0，
∴k1＝﹣1，k2＝3，
∵k≤，
∴k＝﹣1，
故答案为﹣1．
16．（1）证明：当m＝0时，此方程为x﹣2＝0，解得x＝2．即m＝0时此方程有一个实数根；
当m≠0时，此方程为一元二次方程，
∵Δ＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
综上所述，无论m取何值方程方程恒有实数根．
（2）解：x＝，
即x1＝2，x2＝，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴1﹣为整数，
∴整数m为1或﹣1．
17．解：（1）如；
（2）由，
又∵c2＝a2+b2，
∴Δ＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴该一元二次方程必有实数根；
（3）∵x＝﹣1是方程的一个根，
∴，
∴，
∴（a﹣b）2＝0，
即a＝b，
由S△ABC＝3，得：ab＝6，
∴，
∴．
18．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）∵k≤，
∴k的最大整数值为2，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
19．（1）证明：x2﹣mx+2m﹣4＝0，
Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2，
∵不论m为何值，（m﹣4）2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）把x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，得1﹣m+2m﹣4＝0．
解得m＝3．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，
解得：m≤．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1 x2＝m2，
∵x12+x22＝8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为﹣．
21．（1）证明：∵m≠0，
Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）
＝m2﹣4m+4+8m
＝m2+4m+4
＝（m+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0，
∴方程两根的和为﹣，
∵方程两根互为相反数，
∴﹣＝0，
∴m﹣2＝0，
∴m＝2．
22．解：设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：a+2+＝4，（2+）a＝m，
解得：a＝2﹣，m＝1，
即m＝1，方程的另一个根为2﹣．
（2）x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
则x1+x2＝4，x1 x2＝1，
∴x12020x22021+x1＝（x1x2）2020x2+x1＝x2+x1＝4．