2021-2022学年北师大版九年级数学上册_第2章一元二次方程 单元综合测评（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12
B．9
C．15
D．12或15
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
3．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥0
B．k≥0且k≠2
C．k≥
D．k≥且k≠2
4．对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
5．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
6．一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（　　）
A．（x+）2＝1
B．（x﹣）2＝1
C．（x+）2＝
D．（x﹣）2＝
7．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是（　　）
A．0
B．1
C．﹣2
D．1或﹣2
8．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）
A．7
B．6
C．﹣2
D．0
9．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
10．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8＝0，则m2+n2＝（　　）
A．4
B．2
C．4或﹣2
D．4或2
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．已知代数式﹣2x2+4x﹣18，当x＝　
　时，代数式有最　
　值为　
　．
12．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为
　
　．
13．当x＝　
　时，代数式x2+2x+3与3x2+3x﹣7的值相等．
14．如图是一张长20cm、宽12cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是180cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为　
　．
15．如图，某单位在直角墙角处用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆物场地，中间用同样的材料分隔为两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米．设AB的长为x米，则可列方程为　
　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
16．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
17．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
18．如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD．已知旧墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的AB边长为xm．
（1）若围成的花圃面积为70m2时，求BC的长；
（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
19．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
21．为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同．
（1）求这种药品每次降价的百分率是多少？
（2）已知这种药品的成本为100元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
3．解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0，
解得k≥且k≠2，
故选：D．
4．解：∵1☆x＝2，
∴1 x2﹣1 x＝2，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根．
故选：D．
5．解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
6．解：∵4x2﹣4x﹣3＝0，
∴4x2﹣4x＝3，
则x2﹣x＝，
∴x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝1，
故选：B．
7．解：∵方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0为一元二次方程，
∴k﹣1≠0，
∴k≠1．
将x＝0代入（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0，得：k2+k﹣2＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝1（不合题意，舍去）．
故选：C．
8．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
9．解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：D．
10．解：设m2+n2＝t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8＝0，
整理，得（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
所以m2+n2＝4．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．解：﹣2x2+4x﹣18＝﹣2（x2﹣2x）﹣18＝﹣2（x2﹣2x+1）﹣16＝﹣2（x﹣1）2﹣16＝﹣16﹣2（x﹣1）2，
∵2（x﹣1）2的最小值是0，
∴x＝1时，代数式有最大值﹣16．
故答案为1；大；﹣16．
12．解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，
解得c＞，
∴c的取值范围是c＞．
故答案为：c＞．
13．解：根据题意得：x2+2x+3＝3x2+3x﹣7，
即2x2+x﹣10＝0，
（2x+5）（x﹣2）＝0，
解得：x＝﹣或x＝2，
故答案为：﹣或2．
14．解：依题意，得：（20﹣2x）（12﹣2x）＝180，
整理，得：x2﹣16x+15＝0，
解得：x1＝1，x2＝15．
∵12﹣2x＞0，
∴x＜6，
∴x＝1．
故答案为：1．
15．解：依题意得EF也长x米，那么BC长（60﹣2x）米，
∴x（60﹣2x）＝450．
故填空答案：x（60﹣2x）＝450．
三．解答题（共6小题，满分60分）
16．解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝1，x2＝﹣．
17．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
18．（1）解：根据题意得：BC＝（24﹣2x）m，
则（24﹣2x）x＝70，
解得：x1＝5，x2＝7，
当x1＝5时，BC＝14x2＝7时，BC＝10，
墙可利用的最大长度为13m，BC＝14舍去．
答：BC的长为10m．
（2）解：不能围成这样的花圃．理由如下：
依题意可知：（24﹣3x）x＝78，
即x2﹣8x+26＝0，Δ＝82﹣4×1×26＝﹣40＜0，
所以方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
19．解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
20．解：（1）设
经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5﹣x）×2x＝6
整理得：x2﹣5x+6＝0
解得：x＝2或x＝3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，
5t2﹣10t＝0，
t（5t﹣10）＝0，
t1＝0（舍弃），t2＝2，
∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5﹣x）×2x＝8
整理得：x2﹣5x+8＝0
△＝25﹣32＝﹣7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
21．解：（1）设这种药品每次降价的百分率是x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝128，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：这种药品每次降价的百分率是20%．
（2）128×（1﹣20%）＝102.4（元），
∵102.4＞100，
∴按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本．