江苏省南京市金陵重点高中2022届高三上学期10月阶段检测数学试题（Word版含答案）

金陵中学2022届高三数学学科10月阶段检测
考试时间：120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1．已知复数（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线上，若，则（
）
A．
B．2
C．
D．10
2．下列命题中，真命题的是（
）
A．函数的周期是
B．
C．周期函数一定是奇函数或偶函数.
D．的必要不充分条件是
3．已知集合，，若，则＝（
）
A．{1，2，3}
B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2}
D．{0，1，2，3}
4．关于事件的以下结论，其中一定正确的为（
）
A．若为对立事件，则可能不是互斥事件
B．若为对立事件，则必为互斥事件
C．若为互斥事件，则必为对立事件
D．若为互斥事件，则不可能为对立事件
5．要得到函数的图象，可以将函数的图象（
）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
6．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是（
）
A
B
C
D
7．三棱锥的所有顶点都在球的球面上.棱锥的各棱长为：，，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知，是双曲线：的两个焦点，点在直线上，则的最小值为（
）
A．
B．6
C．
D．5
二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．2021年7月15日国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，面对复杂多变的国内外环境，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国经济发展呈现稳中加固、稳中向好态势．初步核算，上半年国内生产总值532167亿元，市场销售逐步改善，消费升级类商品快速增长，上半年，社会消费品零售总额211904亿元，同比增长23.0%．根据下图国家统计局发布的数据，以下说法正确的（
）
A．近年来中国社会消费品零售总额逐年攀升
B．2019年中国社会消费品零售总额达40.8万亿元，较2018年增加了3.02万亿元，同比增长7.99%
C．2020年受新冠肺炎疫情影响，中国社会消费品零售总额同比增长率首次出现下滑
D．2020年上半年社会消费品零售总额约172279.7亿元
10．已知向量，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若 ， ，则下列说法正确的是（
）
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
12．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足，则a，b，c的大小关系可能是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知正实数，满足，则的最小值是______．
14．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则_________.
15．已知是定义在R上且周期为4的奇函数，当时，，则的值是
．
16．复印纸幅面规格采用系列，其幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此对开至规格，现有纸各一张，若纸的幅宽为，则纸的面积为______，这9张纸的面积之和等于______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）在条件（1）；（2）；（3），中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的解答：在中，角的对边分别为，求的面积
18．（12分）已知等差数列前项和为()，数列是等比数列，，，，
.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求.
19．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
（1）求证平面；
（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由．
20．（12分）某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立．
（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；
（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值．
21．（12分）已知在平面直角坐标系中，点，设动点到轴的距离为，且，记动点的轨迹为曲线.
求曲线的方程：
设动直线与交于，两点，为上不同于，的点，若直线，分别与轴相交于，两点，且，证明：动直线恒过定点.
22．（12分）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）设在上存在极大值M，证明：.
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
D
B
A
A
B
C
9
10
11
12
13
14
15
16
BD
AD
ABC
AB
1
0
,
17．选（1）；选（2）；选（3）.
18．（1），；（2）.
19．（1）因为平面，所以，又，，所以平面，又，所以面，面，．
又，为的中点，所以，而，所以平面．
（2）存在；．
20．（1）的分布列为：
0
1
2
．期望为1；
（2）．
21．；由点在上，则，，
由抛物线的方程，可设，，
显然直线的斜率存在，且斜率为，
直线的方程为，
，即，
同理可得，，
，
，即，①
显然直线的斜率存在，且斜率为，
直线的方程为，②
将①式代入②式，整理得，③
则无论为何值，恒为方程③的解，
点恒在直线上，即动直线恒过定点.
22．（1）在单调递增，单调递减；
（2）由函数，则，
令，可得
令，解得，
当时.
，函数在
单调递增，此时，
所以，函数在上单调递增，此时不存在极大值，
当时，令
解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为在上存在极大值，所以，解得，
因为，
易证明，存在时，，
存在使得，
当在区间上单调递增，在区间单调递减，
所以当时，函数取得极大值，即，，
由，
所以
1