江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第一学期高三数学第一次检测
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．设，则“”是“”的
（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知随机变量服从正态分布，若，则为
（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列有关命题的说法错误的是
（
）
A．若“p∨q”为假命题，则p、q均为假命题
B．若是两个不同平面，，则
C．“”的必要不充分条件是“”
D．若命题，则命题￢P： x∈R，x2＜0
4．已知函数，，若，，则的大小为
（
）
A．
B．
C．
D．
5．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为
（
）
A．
B．
C．
D．
6．设，若，则a的范围
（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数，则函数的图象大致是
（
）
A．
B．
C．
D．
8．设函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．设为实数，且，则下列不等式中正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是
（
）
A．函数的值域与的值域不相同
B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
C．函数和在区间上都是增函数
D．若是函数的极值点，则是函数的零点
11．如图，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是
（
）
A．若点M，N分别是线段A′A，AD′的中点，则MN∥BC
B．点C到平面ABC′D′的距离为
C．直线BC与平面ABC′D′所成的角等于
D．三棱柱AA′D′—BB′C′的外接球的表面积为3
12．关于函数，下列判断正确的是
（
）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得成立
D．对任意两个正实数，
，且，若，则
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是
;二项式系数最大的项为
.
14．设，则最大值为
15．若的内角满足，则的最小值是
．
16．正方体的棱长为1，，分别为，的中点．则平面截正方体所得的截面面积为______；以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线长为______．
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列中，．
（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和Tn；
（3）在（2）中的bn中设为非零整数，n∈N
），试确定λ的值使得对任意n∈N
都有cn+1＞cn成立．
18．已知向量，设函数且的图象过点和点（1）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在有两个不同的解，求实数的取值范围.
19．随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”．某电商平台在其旗下的所有电商中随机抽取了50家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数x，得到了如下的频率分布表：
将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在65及以上的电商占全体电商的80%．
（1）求a，b的值；
（2）画出这50家电商顾客评价指数的频率分布直方图；
（3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在[45，65)、[65，85)和[85，95)的电商的顾客评价指数将分别提高20、10、5．现从这50家电商中随机抽取两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为，求的分布列和期望．
20．如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点,，记直线的斜率为（1）求的值；（2）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21．如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
22．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）若不等式对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合．
5江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第一学期高三数学第一次检测
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．设，则“”是“”的
（
B
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知随机变量服从正态分布，若，则为
（
C
）
A．
B．
C．
D．
3．下列有关命题的说法错误的是
（
C ）
A．若“p∨q”为假命题，则p、q均为假命题
B．若是两个不同平面，，则
C．“”的必要不充分条件是“”
D．若命题，则命题￢P： x∈R，x2＜0
4．已知函数，，若，，则的大小为
（
B
）
A．
B．
C．
D．
5．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为
（ B ）
A．
B．
C．
D．
6．设，若，则a的范围
（ C ）
A．
B．
C．
D．
7．函数，则函数的图象大致是
（
C
）
A．
B．
C．
D．
8．设函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是
（
D
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．设为实数，且，则下列不等式中正确的是
（
AC
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是
（
CD
）
A．函数的值域与的值域不相同
B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
C．函数和在区间上都是增函数
D．若是函数的极值点，则是函数的零点
11．如图，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是
（
ACD
）
A．若点M，N分别是线段A′A，AD′的中点，则MN∥BC
B．点C到平面ABC′D′的距离为
C．直线BC与平面ABC′D′所成的角等于
D．三棱柱AA′D′—BB′C′的外接球的表面积为3
12．关于函数，下列判断正确的是
（
BD
）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得成立
D．对任意两个正实数，
，且，若，则
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是
;二项式系数最大的项为
.
14．设，则最大值为
15．若的内角满足，则的最小值是
．
16．正方体的棱长为1，，分别为，的中点．则平面截正方体所得的截面面积为______；以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线长为______．
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列中，．
（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和Tn；
（3）在（2）中的bn中设为非零整数，n∈N
），试确定λ的值使得对任意n∈N
都有cn+1＞cn成立．
17．解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，
∵a1＝，﹣＝，n∈N
．
∴﹣＝，解得q＝2，
∴{an}的通项公式an＝×2n﹣1＝2n﹣7；
（2）设bn＝2n+log2an＝2n+n﹣7，
分组求和可得Tn＝（21+22+23+…+2n）+（﹣6﹣5﹣4+…+n﹣7）＝2n+1+﹣2，
（3）cn＝4n+（﹣1）n﹣1λ 2＝4n+（﹣1）n﹣1λ 2n+1，
∵cn+1＞cn，∴4n+1+（﹣1）nλ 2n+2＞4n+（﹣1）n﹣1λ 2n+1，
化简可得2n+（﹣1）nλ＞0，
①当n＝2k﹣1，k∈N
时，λ＜2n+1，对一切n∈N
成立，则λ＜1，
①当n＝2k，k∈N
时，λ＞﹣2n+1，对一切n∈N
成立，则λ＞﹣2，
综上所述﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，∴λ＝﹣1．
18．已知向量，设函数且的图象过点和点（1）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在有两个不同的解，求实数的取值范围.
18．解：（1）由题意知，，
根据的图象过点和点
得到
解得，
，
当时，，
∴；
∴函数的最大值为2，此时，
最小值为﹣1，此时；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，得函数
的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，
得函数的图象，
令，如图所示，
当时，
在有两个不同的解，
∴，
则实数的取值范围是．
19．随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”．某电商平台在其旗下的所有电商中随机抽取了50家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数x，得到了如下的频率分布表：
将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在65及以上的电商占全体电商的80%．
（1）求a，b的值；
（2）画出这50家电商顾客评价指数的频率分布直方图；
（3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在[45，65)、[65，85)和[85，95)的电商的顾客评价指数将分别提高20、10、5．现从这50家电商中随机抽取两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为，求的分布列和期望．
19．解：（1）有题意可得，
（2）频率分布直方图如右图：
（3）由题意可能的值为，
，
，
，
所以分布列为：
所以
20．如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点,，记直线的斜率为（1）求的值；（2）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
20．解：（1）设直线上任意一点关于直线对称点，
直线与直线的交点为，
所以，，
，
由于①
又②
由①②得：，
所以；
（2）设点,
由可得，
，
同理，
所以，
所以直线
即，
所以，当变化时，直线过定点
21．如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
21．解：（1）在图的直角梯形中，中，
因为，，是的中点，
所以,
连接，则四边形ABCE是菱形，
又因为，所以四边形ABCE是正方形，
所以．
即在图2中，，．
又因为且，，是的中点
所以
所以四边形BCDE是平行四边形。
从而，
所以，．
又因为
所以平面．
（2）由已知，平面平面，
又由（Ⅰ）知，，．
所以为二面角的平面角，所以．
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，，，．
得:
，
．
设平面的法向量，平面的法向量，
平面与平面夹角为，
则，得，取，
，得，取，
从而，
即平面与平面夹角的余弦值为．
22．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）若不等式对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合．
22．解：（1）∵，∴切线斜率为，
又f（1）＝﹣1，切点为（1，﹣1），∴切线方程为；
（2）令，得x＝1，
当0＜x＜1时，，函数f（x）单调递减；
当x＞1时，，函数f（x）单调递增，
所以f（x）的极小值为f（1）＝﹣1＜0，又，
∴f（x）在区间（0，1）上存在一个零点，此时k＝0；
∵f（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，f（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＝2（1﹣ln2）＞0，
∴f（x）在区间（3，4）上存在一个零点，此时k＝3．综上，k的值为0或3；
（3）当x＝1时，不等式为g（1）＝1＞0．显然恒成立，此时m∈R；
当0＜x＜1时，不等式可化为，
令，则，
由（2）可知，函数f（x）在（0，1）上单调递减，且存在一个零点，
此时，即，
当时，f（x）＞0，即g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当时，f（x）＜0，即g'（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴g（x）有极大值即最大值为，
于是．当x＞1时，不等式可化为，
由（2）可知，函数f（x）在（3，4）上单调递增，且存在一个零点，同理可得．
综上可知x．又∵∈（0，1），∈（3，4），
∴正整数m的取值集合为{1，2，3}．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了数学转化思想方法，属难题．
9
