江都中学2021-2022学年度第一学期月考测试
高
三
数
学
2021.10
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷。
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，那么（
）
A．
B．
C．
D．
2．函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数，则“”是“”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，若当时，恒成立，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标志性建筑。小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则小明估算金奥中心的高度为（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．3
8．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列选项中正确的是（
）
A．不等式恒成立
B．存在实数a，使得不等式成立
C．若a b为正实数，则
D．若正实数x，y满足，则
10．已知函数，则（
）
A．函数在原点处的切线方程为
B．函数的极小值点为
C．函数在上有一个零点
D．函数在R上有两个零点
11．已知函数，的图象分别如图1，2所示，方程，，的实根个数分别为a，b，c，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．关于函数，下列结论正确的是（
）
A．是偶函数
B．在区间单调递减
C．在有4个零点
D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中第16题，第一空2分，第二空3分。
13．写出一个周期为2且值域为的函数的解析式___________.
14．已知，则___________.
15．已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________．
16．已知二次函数(，，均为正数)过点，值域为，则的最大值为______；实数满足，则取值范围为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知集合，.
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，且，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知关于的不等式
的解集为.
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；
（3）若恰有三个整数、、在集合中，求的取值范围.
19．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为的面积．请在①；②；③三个条件中选择一个，完成下列问题：
（1）求出角A的大小；
（2）若，求的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
20．（本小题满分12分）
函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像.
（1）当时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及
的值；
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；
（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.
22．（本小题满分12分）
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页江都中学2021-2022学年度第一学期月考测试
高
三
数
学
2021.10
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A
2．A
3．B
4．D
5．D
6．B
7．B
8．A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.
BCD
10.
AD
11．AD
12．AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．+1
14．
15．
16．
.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知集合，.
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）
当时，，解得：，满足
当时，，解得：
综上所述：实数的取值范围为
（
不讨论
扣3分）---------------------------6分
（2）
，解得：
实数的取值范围为
（
边界不取等号扣2分
）
---------------------------10分
18．（本小题满分12分）
已知关于的不等式
的解集为.
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；
（3）若恰有三个整数、、在集合中，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；(3)
【详解】
（1）不等式，其解集
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则，即
解得
综上所述：
---------------------------4分
（2）因为不等式的解集为，
且为两个不相等负实数，
可得，即
解得
综上可得，.
---------------------------8分
（3）解集中恰有个整数，可得
设，开口向下，对称轴为，
可得，
可知解集中的三个整数一定有和，
根据二次函数的对称性得到，还有一个整数一定为，
此时已满足解集中恰有三个整数，则要求
，即
解得
---------------------------12分
19．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为的面积．请在①；②；③三个条件中选择一个，完成下列问题：
（1）求出角A的大小；
（2）若，求的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【详解】
（1）方案一：选条件①
∵，∴，即，
∴，即．
---------------------------6分
方案二：选条件②
∵，∴，
即，∴，
即，∴，即．
---------------------------6分
方案三：选条件③
∵，∴，
∴，∴，即．
---------------------------6分
（2）∵，
∴--------------10分
∵，∴，∴．
---------------------------12分
20．（本小题满分12分）
函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像.
（1）当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值；
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.
【答案】（1）的取值范围；时，；时，；（2）.
【详解】
（1）根据图像可知
，
代入得，，，
---------------------------2分
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数
---------------------------3分
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
且，
，
方程恰好有两个不同的根，
的取值范围
---------------------------5分
令
对称轴为，
或
时，；时，.--------------------------7分
（2）由（1）可知
，对任意都有恒成立
令，即在上恒成立，
是关于的二次函数，开口向上，则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，解得
所以，则的最大值为.
---------------------------12分
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；
（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为.
【详解】
（1），
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，得；
---------------------------2分
（2）因为存在两个不相等的零点.
所以存在两个不相等的零点，则.
①当时，，所以单调递增，至多有一个零点
---------------------------3分
②当时，因为当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，.
因为存在两个零点，所以，解得.
---------------------------5分
因为，所以.
因为，所以在上存在一个零点.
因为，所以.
因为，设，则，
因为，所以单调递减，
所以，所以，
所以在上存在一个零点.
综上可知，实数的取值范围为；
---------------------------7分
（3）当时，，，
设，则.所以单调递增，
且，，所以存在使得，
因为当时，，即，所以单调递减；
当时，，即，所以单调递增，
所以时，取得极小值，也是最小值，
---------------------------10分
此时，
因为，所以，
因为，且为整数，所以，即的最大值为.
---------------------------12分
22．（本小题满分12分）
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
【详解】
（1）对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”.
---------------------------3分
（2）因为在上递增，故，即，，
由，故，得，
从而在上单调递增，故.
---------------------------6分
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，解得(舍)或，
---------------------------8分
从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
---------------------------10分
由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
---------------------------12分
