3.2.2函数的最大（小）值 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
3.2.2函数的最大（小）值
人教A（2019）版
必修一
新知导入
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.
当x1当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
复习巩固
一、单调性定义
新知导入
二、根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数f(x)在其区间上的单调性的步骤：
（1）设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1＜x2；
（2）作差f（x1）-f（x2），然后变形；
（3）判定f（x1）-f（x2）的符号；
三、一次函数、二次函数等基本初等函数的单调性及单调区间
四、复合函数的单调性
对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),
g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同
(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称为:同增异减.
新知讲解
五、(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数
与y=f(x)的单调性相反;
(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等;
某市一天24小时的气温变化图，看图回答下面几个问题：
(1)说出气温随时间变化的特点
(2)这一天何时的气温最高，最高气温是多少
(3)这一天何时的气温最低，最低气温是多少
2
4
6
8
10
12
14
24
16
18
20
22
2
4
6
8
10
-2
新知讲解
t
0C
从图上可以看出，在凌晨4点的时候，
气温达到最低-20C，在14点的时候气温达
到最高100C。
也就是在24小时时间区间内，气温的
最大值100C，气温最小值-20C
新知讲解
函数的最大值最小值概念
一般地，设函数
y
=
f
(x)
的定义域为I，如果存在实数
M
满足：
(1)
对于任意的
x∈I,都有
f
(x)≤M，
(2)
存在
x0
∈I，使得
f
(x0)
=M,
那么称M是
y
=f
(x)
的最大值，记为
1、函数的最大值
我们类比最大值定义，给出最小值定义
2、函数的最小值
一般地，设函数
y
=
f
(x)
的定义域为I，如果存在实数M
满足：
(1)
对于任意的x∈I,都有
f
(x)
≥M，
那么称M是
y
=
f
(x)
的最小值，记为
(2)
存在
x0
∈I，使得f
(x0)
=M,
新知讲解
特别地，定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在[m,n]上的单调增函
数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m)；单调减函数正好相反。
例4
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.（大
约是在距地面高度18cm的地方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s）
（1）写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式
（2）烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
解:
(1)
设烟花在
t
s时据地面的高度为h
m，则由物理运动原理可：
（2）作出函数
的图象
h
t
由二次函数图像和性质知：
于是，烟花冲出后1.5ｓ是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29ｍ
函数求值域的方法
一、图像法
合作探究
例2
求函数
在区间[2,6]上的最大值和最小值.
2
6
2
0
所以，函数
在区间
［2，6］上单调递减．
因此，函数
在区间
［２，６］的两个端点上分别取得最大值与最小
值．
在
x＝２时取得最大值，最大值是２；在x＝６时取得最小值，最小值是0.4
二、单调性法
合作探究
合作探究
三、配方法
配方法是求二次函数最值最基本的方法之一。
1.求函数
的值域。
解：
所以，当x=1时，y取最小值4；当x=-1时，y取最大值8。
1、求函数
最大值。
四、换元法
将复杂的复合函数通过换元转化成常见的基础函数。
解：令,则x=1-t2,t≥0，那么原式可化为：y=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2，t≥0
y=-2(t-1)2+3，t≥0，当t=1时，y取最大值3
五、基本不等式法
1．已知
0，求函数
y=x-x2
的最大值
解：y=x-x2=x(1-x)，由00,1-x>0，满足基本不等式条件，
所以，y=x(1-x)≤
课堂练习
1、已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值
解：因为函数f(x)＝－x2＋4x＋a在x∈(-∞,2]上单调递增，所以在x∈[0,1]上单调递增，
所以，当x=0时，f(x)取最小值f(0)=a=-2，故a=-2
因此，f(x)＝－x2＋4x-2,x∈[0,1]，又因为在x∈[0,1]上单调递增，所以
f(x)的最大值为f(1)=1
2、已知函数f(x)＝
(x∈[1，＋∞))．求f(x)的最小值．
解：由f(x)＝=+2，当且仅当x=时取等号。
所以f(x)的最小值为+2
课堂练习
3、求函数f(x)＝＋x的最小值。
4．函数f(x)＝
求f(x)的最大值、最小值。
解：因为y=y=x均为增函数，故f(x)在定义域[
所以f(x)的最小值为f()=
解一：画出f(x)图像，如图：当x=-1时，取最小值6
-1
1
2
6
8
10
当x=2时，取最大值10
解二：当x
当x
所以，f(x)最大值10，最小值6
课堂总结
函数的最大值最小值概念
1、函数的最大值
(1)
对于任意的
x∈I,都有
f
(x)≤M，
(2)
存在
x0
∈I，使得
f
(x0)
=M,
2、函数的最小值
(1)
对于任意的x∈I,都有
f
(x)
≥M，
(2)
存在
x0
∈I，使得f
(x0)
=M,
求最大值最小值的方法
一、图像法
二、单调性法
三、配方法
四、换元法
五、基本不等式法
板书设计
前提
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I，都有___________；
②存在x0∈I,使得
_____________.
①对于任意x∈I，都有____________；
②存在x0∈I,使得
_______________.
结论
M为最大值
M为最小值
f（x）≤M
f（x）≥M
f（x0）=M
f（x0）=M
注意：在最值中，特别注意存在存在x0∈I，
f（x0）=M
一、最值定义
二、最值的求法
一、图像法
二、单调性法
三、配方法
四、换元法
五、基本不等式法
作业布置
1．已知函数，求f(x)的最大、最小值．
2．课本P86页，4、7、10
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