2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》同步达标测评(word解析版)

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cos∠QMB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（　　）
A．
B．
C．+1
D．﹣1
3．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝25米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
A．10.4米
B．12.4米
C．27.4米
D．22.4米
4．如图，某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC，某同学从建筑物底端A点出发，沿水平方向向右走12米到达D点，在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°，再经过一段坡比为1：2.4，坡长为6.5米的斜坡DE到达E点（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°，则宣传牌BC的高度为（　　）（参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1米）
A．1.4米
B．3.9米
C．4.0米
D．16.6米
5．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
6．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（　　）
A．15sin32°
B．15tan64°
C．15sin64°
D．15tan32°
7．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　）
A．136.6米
B．86.7米
C．186.7米
D．86.6米
8．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（　　）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米
B．73.1米
C．80.0米
D．85.7米
10．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为（　　）
（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
A．30.4
B．36.4
C．39.4
D．45.4
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，一个机器人从A地沿着西南方向先前进了4米到达B地，观察到原点O地在它的南偏东60°的方向上，则A、O两地的距离等于
　
　米．
12．一辆汽车沿倾斜角为30°的山坡，从山脚行驶到山顶，共走了800米，那么这座山的垂直高度为
　
　米．
13．小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为
　
　m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）
14．如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP的坡度为i＝1：（tanα＝），小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼的高度为
　
　（结果保留根号）．
15．如图，AB是一条东西走向的海岸线，在码头A的北偏东60°且距离该码头50海里的C处有一艘轮船，该轮船正以20海里/时的速度向海岸AB驶来，那么该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为
　
　小时．
16．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得岛C在北偏东60°的方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上，则在航行过程中货船与岛C的最短距离是
　
　海里．
某型号的飞机的机翼形状如图所示，根据图中的数据，
可求AB的长度为
　
　m．（≈1.732，结果保留两位小数）
数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为
　米．
（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
19．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为
　
　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC边上，BE＝AD，AE、BD相交于点F，且tan∠AFD＝，若AE＝13，BD＝15，则AD的长为　
　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．将一副直角三角板如图所示放置，点C，D，F在同一直线上，AB∥CF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，若AB＝20，求CD的长．
22．有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，＝1.73）
23．2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）
24．如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）
25．如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．
（1）填空：∠BCD＝　
　度，∠AEC＝　
　度；
（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．
26．某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：作CQ∥AB，连接PC，如右图所示，
设每个小正方形的边长为1，
则CQ＝＝2，PQ＝＝2，PC＝＝4，
∴CQ2+PC2＝（2）2+（4）2＝8+32＝40＝（2）2＝PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PCQ＝90°，
∴cos∠PQC＝＝＝，
∵AB∥CQ，
∴∠QMB＝∠PQC，
∴cos∠QMB的值是，
故选：A．
2．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∵CD＝AC，
∴∠D＝22.5°，
设AB＝BC＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝x，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tanD＝tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：D．
3．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，
∵i＝＝＝，
∴设CQ＝4x、BQ＝3x，
由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝252，
解得：x＝5或x＝﹣5（舍），
则CQ＝PE＝20（米），BQ＝15（米），
∴DP＝DE+PE＝23（米），
在Rt△ADP中，∵AP＝＝≈27.4（米），
∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝27.4﹣15﹣2＝10.4（米）
故选：A．
4．解：（1）过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作EG⊥AB于G．
∴则四边形EFAG是矩形，
∴AG＝EF，AF＝EG，
Rt△DEF中，i＝tan∠EDF＝1：2.4，
∵DE＝6.5米，
∴EF＝2.5米，DF＝6米，
∵AD＝12米，
∴AF＝EG＝AD+DF＝18米，
在Rt△CEG中，∠CEG＝45°，
∴CG＝EG＝18米，
Rt△ABD中，∠ADB＝54°，AD＝12米，
∴AB＝AD tan54°≈12×1.38＝16.56（米），
∴BC＝CG+GA﹣AB＝18+2.5﹣16.56＝3.94（米）≈3.9米，
即宣传牌BC的高度为3.9米．
故选：B．
5．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
6．解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，
∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF，
∵EF＝15米，
∴DE＝15米，
在Rt△CDE中，
∵sin∠CED＝，
∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，
故选：C．
7．解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∵四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴EF＝BF＝50（米），
在Rt△EFC中，FC＝EF tan60°，
∴CF＝50×≈86.6（米），
∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．
故选：A．
8．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB＝，即＝，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴，
∴CE＝x，DE＝，
∴AE＝，
∴tan∠CAD＝＝．
故选：D．
9．解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50米，
∴CE＝120米，
∵BC＝150米，
∴BE＝150﹣120＝30（米），
∴AB＝tan50°×30+50
≈85.7（米）．
故选：D．
10．解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：，
∴BH：CH＝1：，
设BH＝x米，则CH＝x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝122，
解得：x＝6，
∴BH＝6米，CH＝6米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝（6+20）（米），
∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；
故选：C．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：如图，过点B作BC⊥OA于C，
在Rt△ABC中，AB＝4米，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝AB＝4（米）．
在Rt△OBC中，∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∴OC＝BC＝（米），
∴AO＝AC+CO＝（4+）米，
故答案为：（4+）．
12．解：如图所示：
由题意得：AB＝200米，∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝400（米），
故答案为：400．
13．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝4m，AB＝1.62m，
∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝4m，
∴CD＝AD tan60°＝4×＝4（m），
∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）
答：这棵树的高度约为8.5m．
故答案为：8.5．
14．解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
∵山坡AP的坡度为i＝1：＝tanα＝＝，AP＝6米，
∴α＝30°，
∵PE⊥OB，
∴PE＝AP＝3（米），AE＝PE＝3（米），
∵PF⊥OC，∠CPF＝45°，
∴△PCF是等腰直角三角形，
∴CF＝PF，
设CF＝PF＝m米，则OC＝（m+3）米，OA＝（m﹣3）米．
在Rt△AOC中，∠OAC＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴OC＝OA，即m+3＝（m﹣3），
解得：m＝6+6，
∴OC＝6+6+3＝（6+9）米，
即该居民楼的高度为（6+9）米，
故答案为：（6+9）米．
15．解：过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∵AC＝50海里，
∴CD＝AC＝25（海里），
∴该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为＝（小时），
答：该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为小时，
故答案为：．
16．解：作CH⊥AD于H，
由题意得，∠CAB＝30°，∠CBH＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝BA＝24×＝12（海里），
在Rt△CBH中，CH＝BC sin∠CBH＝6（海里），
故答案为：．
17．解：如图，延长BA交过点C的水平线于点E，作DF⊥BE于点F，
在Rt△CEA中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝5（m），
在Rt△BDF中，∠BDF＝30°，
∵cos∠BDF＝，
∴DB＝＝10（m），
∴BF＝BD＝5（m），
∵AB+AE＝EF+BF，
∴AB＝5.40+5﹣5≈1.74（m）．
故答案为：1.74．
18．解：过O点作OC⊥AB于C点，
∵当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，
∴AC＝45米，∠CAO＝30°，
∴OC＝AC tan30°＝（米），
∴旗杆的高度＝40﹣15≈14（米），
故答案为：14．
19．解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60° AB＝×16＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故答案为：6.3．
20．解：过点A，B作BC，AE的平行线交于点M，连接DM，作DN⊥BM于点N，
则四边形AMBE为平行四边形，
∴∠AFD＝∠DBN，
∴tan∠DBN＝tan∠AFD＝＝．
设DN＝4x，BN＝3x，
则BD＝＝5x，
∴5x＝15，
解得x＝3，
∴DN＝4x＝12，BN＝3x＝9，
∵BM＝AE＝13，
∴MN＝BM﹣BN＝4，
∴DM＝＝＝4．
∵BC∥AM，∠C＝90°，
∴∠CAM＝90°，
∵BE＝AD，BE＝AM，
∴△DAM为等腰直角三角形，
∴∠MDA＝∠DMA＝45°，
∴sin45°＝＝，
∴AD＝AM＝BE＝DM＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解：（1）如图，作BH⊥CF于点H，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠BCH＝∠ABC＝30°，
∵AB＝20，
∴，
在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，
∴，CH＝BC×cos30°＝15，
在Rt△DEF中，∵∠E＝45°，
∴∠EDF＝∠E＝45°，
在Rt△BDH中，，
∴．
22．解：设CH为xm，
由题意得：∠AHC＝90°，∠CBH＝45°，∠A＝30°，
∴BH＝CH＝xm，AH＝CH＝xm，
∵AH﹣BH＝AB，
∴x﹣x＝20，
解得：x＝10（+1）≈27.3（m），
答：“一心阁”CH的高度约为27.3m．
23．解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，
在Rt△AOD中，
∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝2000（米），OD＝AD＝2000（米），
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，
∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），
∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），
答：火箭的速度约为335米/秒．
24．解：如图，
过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．
由题意知，△ACP为等腰直角三角形，
∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），
在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，
∴，
∴tan55° x＝x+40，
∴（tan55°﹣1） x＝40，
∴，
所以河宽为米．
答：河宽为米．
25．解：（1）∵BC∥DK，
∴∠BCD+∠D＝180°，
又∵∠D＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣30°＝150°，
∵NE∥KD，
∴∠CEN＝∠D＝30°，
又∵∠AEN＝60°，
∴∠ACE＝∠AEN﹣∠CEN＝60°﹣30°＝30°，
故答案为：150，30；
（2）如图，过点C作CG⊥EN，垂足为G，延长AB交EN于点F，
在Rt△CEG中，∵∠CEG＝30°，CE＝4m，
∴CG＝CE＝2（m）＝BF，
∴EG＝CG＝2（m），
设AB＝x，则AF＝（x+2）m，
EF＝BC+EG＝（8+2）m，
在Rt△AEF中，∵∠AEN＝60°，
∴AF＝EF，
即x+2＝（8+2），
x＝（4+8）m，
即信号塔的高度AB为（4+8）m．
26．解：（1）过点D作DF⊥BC于F，
∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，
∴FC＝CD×cos60°＝50×＝25（cm），
∴FA＝AB+BC﹣CF＝84+54﹣25＝113（cm），
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm；
（2）如图3，过点C作CG垂直于地面于点G，过点B作BN⊥CG于N，过点D作DM⊥CG于M，
∵BC＝54cm，
∴CN＝BC×cos20°＝54×0.94＝50.76（cm），
∴MN＝CN+MG﹣CG＝50.76+90﹣50.76﹣84＝6（cm），
∴CM＝CN﹣MN＝44.76（cm），
∴CD＝＝≈58（cm），
答：CD的长为58cm．