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【人教版数学七上课时作业优化设计】
12.2.4
全等三角形的判定（HL）
班级：________
学号：________
姓名：________
一、选择题
1．下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是（ ）
A．一条直角边和一锐角分别相等
B．斜边和一锐角分别相等
C．斜边和一条直角边分别相等
D．两个锐角分别相等
2．如图，在中，于点，分别交，于点，，，若依据“”说明，则下列所添条件合理的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，，，垂足分别为、，且，则直接判定与全等的理由是（
）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
4．用三角尺画角平分线：如图，先在的两边分别取，再分别过点，作，的垂线，交点为．得到平分的依据是（
）
A．
B．
C．
D．
5．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm
B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
二、填空题
6．如图，∠A=∠D=90°，根据HL判定，请你添加一个条件，使△ABC≌△DCB，这个条件是______．
7．如图，为了固定门框，木匠师傅把两根同样长的木条BE，CF两端分别固定在门框上，且AB＝CD，则木条与门框围成的两个三角形(图中阴影部分)_____全等（填“一定”或“不一定”)．
8．如图，在ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理__________．
9．下列说法中，①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的是_____________(填序号）
10．如图：有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到离A的距离等于___________时，ΔABC与以A、P、Q为顶点的三角形全等．
三、解答题
11．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，AF＝CE，求证：AD∥BC．
12．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
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【人教版数学七上课时作业优化设计】
12.2.4
全等三角形的判定（HL）
班级：________
学号：________
姓名：________
一、选择题
1．下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是（ ）
A．一条直角边和一锐角分别相等
B．斜边和一锐角分别相等
C．斜边和一条直角边分别相等
D．两个锐角分别相等
【答案】D
【解析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．
解：A、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；
B、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；
C、根据HL可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；
D、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；
故选：D．
2．如图，在中，于点，分别交，于点，，，若依据“”说明，则下列所添条件合理的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据“HL”进行判断即可．
解：由题意得，和中，有一组直角边对应相等，即
缺少斜边对应相等，即，
故选：D．
3．如图，，，垂足分别为、，且，则直接判定与全等的理由是（
）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
【答案】D
【解析】根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定．
解：，，
，
在和中，
，
故选：D．
4．用三角尺画角平分线：如图，先在的两边分别取，再分别过点，作，的垂线，交点为．得到平分的依据是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用垂直得到，再由，即可根据HL证明，由此得到答案.
解：∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
5．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm
B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
【答案】B
【解析】根据三角形三边的关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B、C、D进行判断．
解：A、因为AB+AC＜BC，三条线段不能组成三角形，所以A选项不符合题意；
B、BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°，根据直角三角形
可判断此三角形为唯一三角形，所以B选项符合题意；
C、利用∠A＝∠B＝∠C＝60°根据
不能确定三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以C选项不符合题意；
D、利用AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°根据
，不能判断两个三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以D选项不符合题意．
故选：B．
二、填空题
6．如图，∠A=∠D=90°，根据HL判定，请你添加一个条件，使△ABC≌△DCB，这个条件是______．
【答案】AB=DC（或AC=BD）
【解析】根据∠A=∠D=90°，BC为公共边，添加直角边对应相等，即可根据HL判定△ABC≌△DCB
解：∵∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
或∵∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故答案为：AB=DC（或AC=DB）
7．如图，为了固定门框，木匠师傅把两根同样长的木条BE，CF两端分别固定在门框上，且AB＝CD，则木条与门框围成的两个三角形(图中阴影部分)_____全等（填“一定”或“不一定”)．
【答案】一定
【解析】在直角三角形ABE和DCF中，由AB=CD，BE=CF即可证明Rt△ABE≌Rt△DCF，从而可得结论.
解：在直角三角形ABE和DCF中，
∵AB=CD，BE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
故答案为一定.
8．如图，在ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理__________．
【答案】HL．
【解析】由题意知，两个直角三角形的一条斜边，一条直角边分别对应相等，根据HL即可证明Rt△ACD≌Rt△BFD．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
在Rt△ACD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）．
故答案为：HL．
9．下列说法中，①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的是_____________(填序号）
【答案】①②③
【解析】根据直角三角形全等的判定条件可直接进行逐一排除．
解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形，由“HL”可判定全等，故正确；
②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形，由“SAS”可判定全等，故正确；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可由“AAS”或“ASA”判定全等，故正确；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形，无法判定全等，因为没有对应边的相等，故错误；
所以正确的有①②③；
故答案为①②③．
10．如图：有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到离A的距离等于___________时，ΔABC与以A、P、Q为顶点的三角形全等．
【答案】3或6
【解析】当点P位于AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，分别利用HL定理进行判定即可．
解：AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C=90°，AQ⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=3=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL）；
②当AP=6=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：3或6
三、解答题
11．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，AF＝CE，求证：AD∥BC．
【答案】见解析
【解析】利用HL证明Rt△ADE≌Rt△CBF，得到∠DAE＝∠BCF，然后根据平行线的判定定理证明即可．
解：证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠BFC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴∠DAE＝∠BCF，
∴AD∥BC．
12．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】（1）由HL可证△AMB≌△CNA即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由余角关系∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．
解：证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
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