武功县
2022
届高三第一次质量检测
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共
12小题，每小题
5分，共
60分.
在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项）
1．B
2．D
3．A
4．C
5．C
6．D
7．C
8．D
9．B
10．D
11．A
12．B
二、填空题（本大题共
4小题，每小题
5分，共
20分）
1
28
13．1
14．
15．
16．18
2
3
三、解答题（本大题共
6小题，共
70分.
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
（一）必考题（共
60分）
17．（本小题满分
12分）
解：（1）设 an 的公差为
d，由已知得
a1a13
a
24
，
即
3 3 12d
3
3d
2，解得：
d
2或
d
0
(舍)，所以
an
3
2 n
1
2n
1；
因为
b
n2
a4
9，b1=3，所以 bn 的公比
q
3，所以bn
3
．
2n
1
（2）由（1）可知
cn
3n
，
所以
S
3
5
7n
2
3
2n
1
5
7
2n
1
n
，3Sn
3
2
，3
3
3
3
3
3
3n 1
所以
2S
3
2
1
1
1
2n
1n
－
3
32
3n 1
3n
2
1
1
1
3
3n 1
=3
2n
1
4
2n
4
n
=
n
，
1
1
3
3
3
n
2
所以
Sn
2
．3n
18．（本小题满分
12分）
x
5
解：(1）设该班男生人数为
x，则女生人数为
x
4，由条件可得：
，
2x
4
11
解得：
x
20，故该班男生有
20人，女生有
24人；
6
（2）由条件知在该班随机抽取一名学生，持满意态度的概率为
；
11
（3）由题意知
0、1、2， 服从参数为
N
11,M
6,n
2的超几何分布，
C
0
2P
0
6C5
2
1
1
2
0
2
，
P
1
C
6
C5
6
C
C
2
，
P
2
6
5
3
C
2
，
11
11
C11
11
C11
11
故 的分布列为：
（WG）高三理科数学参考答案
第
1页
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5
页）
0
1
2
2
6
3
P
11
11
11
2
6
3
12
于是，
E
0
1
2
．
11
11
11
11
19．（本小题满分
12分）
解:（1）证明： PA
底面
ABCD，
AB
AD．
以
A为原点，
AB为
x轴，
AD为
y轴，
AP为
z
轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
由题意得：
A(0,0,0)，
B
1,0,0 ，
P
0,0,2 ，
C
2,2,0 ，E
1,1,1 ，D
0,2,0 ，
BE
0,1,1 ，DC
2,0,0 ，
BE
D C
0，即
BE
D C
．
（2）∵
BC
1,2,0 ，CP
2, 2,2 ，
AC
2,2,0 ，
AB
1,0,0 ，由
点
F
在棱
PC上，设CF
CP
2
, 2
,
2
，
(0≤ ≤1)，
BF
BC
CF
1
2 ,
2
2 ,
2
，
BF
AC， BF
AC
2
1
2
2
2
2
0，
3
解得：
， BF
1
,
1
,
3
．4
2
2
2
设平面
FAB的法向量为n1
x,
y,
z
，则
n1
AB
x
0
1
1
3
，不妨令
z
1，可得n1
0, 3,1 为平面
FAB的
n1
BF
x
y
z
0
2
2
2
一个法向量，
取平面
ABP的一个法向量n2
0,1,0 ，
则
cos
n
,n
n
1
n2
3
3
101
2
，n1
n2
10
10
易知，二面角
F
AB
P
3
10是锐角，所以其余弦值为
．
10
20．（本小题满分
12分）
解：（1）由题意得
QM
QN
QM
QP
MP
4
2
MN
，
根据椭圆的定义得点Q的轨迹
E是以M
、
N
为焦点的椭圆，
2
2
a
2，c=1，∴b=
3， 轨迹方程为
x
y
1．
4
3
（WG）高三理科数学参考答案
第
2页
（共
5
页）
1
（2）由题意知
S△ABD
2S△ABO
2
AB
d
d
AB
（
d为点O到直线
l的2
距离），
y
kx
1
设
l的方程为
y
kx
1
，联立方程得
x2
y2
，
1
4
3
消去
y得
3
4k
2
x2
8kx
8
0，
A
x
y
B
x
y
x
x
8k设
1,
1
，
2,
2
，则
1
2
2
，
x1x
8
2
2
，3
4k
3
4k
2
2
则
AB
1
k
2
x1
x2
2
4x
x
4
6
1
2k
1
k
1
2
，3
4k
2
2
又
d
1
，
2
S△ABD
d
AB
4
6
1
2k
，
1
k
3
4k
2
令
1
2k
2
t，由
k2≥0，得
t≥1，
S
=
4
6t
4
6
1∴
△ABD
2
1
，
t≥
1，易证
y
2t
在
1,
上递增，∴2t
1
2t
t
t
2t
1
≥3，
S
4
6△ABD≤
， △ABD面积
S的最大值为
4
6
．
t
3
3
21．（本小题满分
12分）
解：（1）当
a≥0时，函数f
(x)
e
x
2a
0，
f
(x)在R上单调递增；
当
a
0时，函数f
(x)
e
x
2a，
ex
2a
0,得x
ln( 2a), 当x
( ,
ln( 2a))
时，
f
(x)
0，函数
f
(x)单调递减；
当x
(ln( 2a), )时，f
(x)
0,函数单调递增
（2）由（1）知：当
a≥0时，函数f
(x)
e
x
2a
0，不符合题意．
当
a
0时，函数f
(x)
e
x
2a，
ex
2a
0,得x
ln( 2a), 当x
( ,
ln( 2a))
时，
f
(x)
0，函数
f
(x)单调递减；
当x
(ln( 2a), )时，f
(x)
0,函数单调递增
①当
ln( 2a)≤1
e，即
≤a
0时，f
(x)在[1,
+∞)上的最小值为
f
(1)
2a
e．
2
令
2a
e
0
a
e，得
，符合题意．
2
（WG）高三理科数学参考答案
第
3页
（共
5
页）
②当
ln( 2a)
1，即
a
e
时，
f
(x)最小值为
f
(ln( 2a))
2a
2a
ln( 2a)
2
e
e
令 2a
2a
ln( 2a)
0，得
a
，不符合题意，综上a
．
2
2
（3）构建新函数
g(x)
e
x
e x
2ax,
g
(x)
e
x
e x
2a,
①当
2a≥ 2时，即
a≥ 1，因为
ex
e
x≥2,所以
g (x)≥0,
（
a
1,仅当x
0时,
g (x)
0），所以
g(x)在R上单调递增.又g(0)=0，
所以当
a≥ 1时，对于任意
x≥0都有g(x)≥0．
②当
2a
2时，即
a
1时，
ex
e
x
2a
0,即
e2x
2aex
1
0,得
a
a2
1
ex
a
a2
1,（0
a
a2
1
1, a
a2
1
1,）
所以
ln( a
a2
1)
x
ln( a
a2
1),
且
ln( a
a
2
1)
0,
ln( a
a
2
1)
0,
所以
g(x)在(0，ln( a
a
2
1)）上单调递减,又
g(0)
0,
所以存在
x0 （0，ln( a
a
2
1)）,
g(x0
)
0,不符合题意.
综上，
a的取值范围为[-1,+ ).
（二）选考题（共
10分，请考生在
22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题记分）
22.（本小题满分
10分）选修
4—4：坐标系与参数方程
解：（1）因为ρsin2θ=2acosθ，所以(ρsinθ)2=2aρcosθ，
即曲线
C的普通方程为
y2=2ax(a＞0)，
x
2
t
由直线
l
:
，得直线
l的普通方程为
y=x－2.≥＞
y
4
t
x
2
2
t
（2）直线
l的参数方程为
2
（t为参数），代入
y2=2ax，
2
y
4
t
2
得到
t2－2
2
(4+a)t+8(4+a)=0，Δ=8a(4+a)＞0.
设点
M、N分别对应参数
t1、t2，恰为上述方程的根，则有
t1+t2=2
2
(4+a），
t1·t2=8(4+a)，则
t1·t2＞0.
又
PM
t1
，
PN
t2
，
MN
t1
t2
.
因为
MN
2
PM
PN
，
所以(t1－t2)2=(t1+t2)2－4t1·t2=t1·t2，代入
t1+t2、t1·t2的值得
a2+3a－4=0，
得
a=1或
a=－4.
因为
a＞0，所以
a=1.
23．（本小题满分
10分）选修
4—5：不等式选讲
（WG）高三理科数学参考答案
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4页
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5
页）
解:（1）当
a
2时，知
f
x
x
2
x
1≥
x
2
x
1
3，
当
x
2
x
1 ≤0，即 1≤
x≤2时取等号，
∴
f
x 的最小值是3
.
（2）∵
f
x
x
a
x
1≥
x
a
x
1
a
1，当
x
a
x
1 ≤0
时取等号，
∴若关于
x的不等式
f
x
2的解集不是空集，只需
a
1
2，解得 3
a
1，
即实数
a的取值范围是
3,1
.
（WG）高三理科数学参考答案
第
5页
（共
5
页）武功县2022届高三第一次质量检测
理科数学
注意事项:
1.本试题分第1卷和第Ⅱ卷两部分,第卷为选择题,用2B铅笔将答案涂在答题纸上。
第Ⅱ卷为非选择题,用0.5mm黑色签字笔将答案答在答題纸上,考试结束后,只收答题纸。
2.答第1卷、第Ⅱ卷时,先将答题纸首有关项目填写清楚。
3.全卷满分150分,考试时间120分钟。
第I卷(选择题共60分)
、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项)
1.已知i为虚数单位,则i(1+i)=
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
2.已知集合A={x2x>6},B={x2<32},则AnB=
B.(4,5)
C.(3,+∞)
3.设平面向量a=(2,1),b=(0,-2),则与a+2b垂直的向量可以是
A.(3,2)
B.(4,6)
C.(3,-2)
4.下列说法错误的是
A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为若x≠1,则x2-3x+2≠0”
B.“x>1”是“x}1”的充分不必要条件
C.若PAq为假命题,则P、q均为假命题
D.若命题P:“3x∈R,使得x2+x+1<0,则”p:“x∈R,均有x+x+1>0
5.下列选项中,过点A(1,-1)、B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是
A.(x-3)2+(y+1)=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(-1)2=4
D.(x+1)2+(+1)2=4
6.下列四个命题中,假命题的个数是
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一平面的两个平面互相平行;
③若直线h、h与同一平面所成的角相等,则l、h互相平行;
④若直线h、h2是异面直线,则与h、h2都相交的两条直线是异面直线
B.2
(WG)高三理科数学试题第1页(共4页)
7.下列图像,函数∫(x)=e的部分图像大致是
,
B
C
8.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为ab、c,若sinA=,b=√3sinB,则a
的值为
3√3
t
B
C
D
9.已知双曲线C
=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线y=3x垂直,则双曲线C
的离心率为
√7√10
B
C
或
2
10.将函数f(x)=sin2x+√3cos2x的图像向右平移q(q>0个单位,再向上平移1个单
位,若所得图像经过点(。,1),则φ的最小值为
5π
5π
7π
A
D
12
24
24
11.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女
生,则不同的选法共有
A.34种
B.35种
C.120种
D.140种
12.已知偶函数∫(x)满足f(x)+f(2-x)=0,现给出下列命题:①函数f(x)是以2为
周期的周期函数;②函数f(x)是以4为周期的周期函数;③函数∫(x-1)为奇函数;④函数
∫(x-3)为偶函数,这四个命题中真命题的个数是
A.1
B.2
C.3
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知f(x)=log3x,f2(x)=(x+3)2+1,f(x)=tanx,则Af
cos
70
14.
sin-
25
(wG)高三理科数学试题第2页(共4页)
