(共33张PPT)
3.1
平
方
根（1）
湘教版
八年级上
教学目标
1.
理解平方根、算术平方根的概念及其联系与区别，会
用符号表示正数的平方根、算术平方根；
2.
知道正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平
方根；
3.
理解开平方的概念，知道开平方与平方的关系；
4.
能正确地求出一个正数的平方根和算术平方根。
新知导入
1.
填空：
(1)
3 =
×
=
；
(2)
9=
×
=(
) .
3
3
9
3
3
3
2.
如果把上面两小题看作是一种运算的过程，那么第(1)小题是什么运算？
求3的平方的平方运算
第(2)小题与(1)有什么关系？它是什么运算呢？
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8㎡，刚好用去正方形的地垫30块.你能算出每块地垫的边长是多少吗？
新知讲解
新知讲解
每块地垫的面积是：
10.8÷30=0.36(m )
即
边长×边长=0.36
由于
0.6×0.6=0.6 =0.36
因此面积为0.36m 的正方形地垫的边长是0.6m.
新知讲解
在上面问题中，我们先求出正方形的面积是0.36m ，再找出一个数0.6，使0.6 =0.36，从而求出了正方形的边长.
这个例子告诉我们：在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数.
合作探究
由此我们抽象出下述概念：
如果有一个数r，使得r =a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根。这就是说，
若r =a，则r是a的一个平方根.
例如，由于2 =4，因此2是4的一个平方根.
合作探究
4的平方根除2以外，还有其他的数吗？
想一想：
我是你的平方根
很高兴认识你
其实我也是你的平方根
合作探究
为什么-2也是4的平方根？
因为(-2) =4，因此-2也是4的一个平方根.
合作探究
除了2和-2以外，4的平方根还有其他的数吗？
因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以，比2大的数都不是4的平方根.
类似地，边长小于2的正方形，它的面积也一定小于4，所以，比2小的数都不是4的平方根.
所以，除2以外的正数都不是4的平方根.
合作探究
由于(-b) =b ，因此，-2以外的负数都不是4的平方根.
而0显然不是4的平方根.
所以，4的平方根有且只有两个：2与-2.
合作探究
一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r和-r.
例如，由于5 =5，所以5的平方根是±5.
合作探究
我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；
把a的负平方根记作
，读作“负根号a”.
这样，正数a的平方根可以用“±”来表示，读作“正、负根号a”。
例如，4的平方根是2与-2，即=.
合作探究
零的平方根是多少？负数有平方根吗？
想一想：
由于0 =0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.
合作探究
由于同号两数相乘得正数，且0 =0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.
新知讲解
开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
平方
开平方
概念：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
例题讲解
例1
分别求下列各数的平方根：
36，
，1.21.
解：由于62=36，因此36的平方根是6和-6，即
例题讲解
由于1.12=1.21，因此1.21的平方根是1.1和-1.1，即
由于
，因此
的平方根是
和
，即
例题讲解
例2
分别求下列各数的算术平方根：
100，
，0.49.
解：
由于102=100，因此
.
由于
，因此
由于
，因此
由例2可知，正数的算术平方根只有一个.
巩固练习
1.
9的平方根是（
）
A.
3
B.
±3
C.
D.
81
B
解析：正数有两个互为相反数的平方根，因为32=9，所以9的平方根是±3。故选B。
巩固练习
2.
的算术平方根是（
）
A.
4
B.
±4
C.
2
D.
±2
C
因为=4，所以的算术平方根就是4的平方根。由于22=4，所以4的算术平方根是2，即的算术平方根是2。故选C。
解析：
3.
下列说法中，正确的是
（
）
A.
5是25的一个平方根
B.
49的算术平方根是±7
C.
-8是64的算术平方根
D.
7的平方根是
A
解析：根据平方根、算术平方根的概念，可知A选项正确.故选A.
巩固练习
4.
下列式子错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
B
因为0.42=0.16，所以0.4是0.16的算术平方根，即，所以错误，故选B.
解析：
巩固练习
5.
如果一个数有一个平方根-1，那么这个数是
。
1
解析：根据平方根的意义，可知(-1)2=1，因此这个数是1.
6.
81的平方根是
，5的算术平方根是
。
81的平方根是，5的算术平方根是.
解析：
±9
巩固练习
课堂总结
1.
什么叫作平方根？一个正数的平方根是什么？
若r =a，则r是a的一个平方根.
一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r和-r.
即，正数有且只有两个互为相反数的平方根.
课堂总结
2.
什么叫作算术平方根？正数a的平方根和算术平方
根分别记作什么？
正数a的正平方根叫作a的算术平方根.
正数a的平方根记作.
正数a的算术平方根记作.
课堂总结
3.
0的平方根和算术平方根分别是什么？负数有平方
根吗？
0的平方根和算术平方根都是0，负数没有平方根.
4.
什么叫作开平方？开平方与平方有什么关系？
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
开平方与平方互为逆运算。
作业布置
1.
分别求64，，6.25的平方根.
课本第108页练习第1、2、3题：
2.
分别求81，，0.16的算术平方根.
作业布置
(1)是的一个平方根；
(2)
是6的算术平方根；
(3)
的值是±4；
(4)
(-4) 的平方根是-4.
3.
判断下列说法是否正确。
正确
正确
错误
错误
作业布置
7.
如果b=-169，那么-b有平方根吗？如果有，求出-b的平方根.
课本第111页习题3.1第7、8题：
解：有。因为-(-169)=169，所以，
。
作业布置
8.
填空：
(1)
=
，
=
，
=
，
.
(2)
由(1)猜测：
一个正数a先开平方，然后再平方，最后结果等于
；
一个数b先平方，然后再求它的算术平方根，最后结果等于
.
16
36
|b|
16
16
a
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3.1平方根（1）教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：1
课
题
3.1平方根（1）
课型
新授课
教学目标
1.理解平方根、算术平方根的概念及其联系与区别，会用符号表示正数的平方根、算术平方根；
2.知道正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有方根；
3.理解开平方的概念，知道开平方与平方的关系；
4.能正确地求出一个正数的平方根和算术平方根。
教学重点
1.理解平方根的概念，能区分平方根与算术平方根的不同含义；
2.会求出非负数的平方根和算术平方根。
教学难点
1.理解正数有两个互为相反数的平方根，能解释负数为什么没有平方根；
2.求非负数的平方根和算术平方根。
教
学
活
动
一、情景导入
1、
填空：
(1)
3 =3×3=9；
(2)
9=3×3=(3) .
2、
导入新课：
师：如果把上面两小题看作是一种运算的过程，则第（1）小题是什么运算呢？
生：求3的平方的平方运算。
师：第（2）小题与第（1）小题有何关系？它是求9的什么运算呢？
二、教学新知
（一）实例探究，理解平方根的概念
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8㎡，刚好用去正方形的地垫30块.你能算出每块地垫的边长是多少吗？
1、
理清思路：先求一块正方形地垫的面积，再求地垫的边长。
2、
展示解答过程：
每块地垫的面积是：10.8÷30=0.36(m ).
即
边长×边长=0.36.
由于
0.6×0.6=0.6 =0.36，
因此面积为0.36m 的正方形地垫的边长是0.6m.
3、
归纳：
师：解答上面问题时，我们先求出正方形的面积是0.36m ，再找出一个数0.6，使
0.6 =0.36，从而求出正方形是边长。
这个例子告诉我们：在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数。
4、
抽象：
如果有一个数r，使得r =a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根。这就是说，
若r =a，则r是a的一个平方根.
例如，由于2 =4，因此2是4的一个平方根.
（二）分析综合，理解一个正数有且只有两个互为相反数的平方根
1、
提出问题：4的平方根除2以外，还有其他的数吗？
2、
动画感知：
3、
分析理解：4的平方根有且只有两个平方根：4和-4.
（1）因为(-2) =4，因此-2也是4的一个平方根。
（2）因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以，比2大的数都不是4的平方根；类似地，边长小于2的正方形，它的面积也一定小于4，所以，比2小的数都不是4的平方根。
所以，除2以外的正数都不是4的平方根。
（3）由于(-b) =b ，因此，-2以外的负数都不是4的平方根.
（4）0显然不是4的平方根.
综合以上分析，得出：4的平方根有且只有两个：2与-2.
4、
抽象结论：
一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r和-r.
例如，由于5 =5，所以5的平方根是±5.
（三）以讲带学，理解算术平方根的含义，学会平方根和算术平方根的表示方法
1、
播放动画，教师讲解：
（1）我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；
把a的负平方根记作，读作“负根号a”.
这样，正数a的平方根可以用“”来表示，读作“正、负根号a”。
2、
举例：4的平方根是2与-2，即=±2.
（四）合作探究，理解0的平方根是0，负数没有平方根
1、
提出问题：零的平方根是多少？负数有平方根吗？
2、
学生讨论
生1：由于0 =0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.
师：我们把0的平方根也叫作0的算术平方根，记作，即=0。
生2：由于同号两数相乘得正数，且0 =0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.
（五）教师讲解，理解开平方运算
1、
ppt展示：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
2、
讨论：开平方与平方运算有什么关系？
3、
教师指出：开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，
可以求一个数的平方根.
4、
ppt展示右图，帮助学生理解开平方与平方的关系。
三、讲解例题
例1
分别求下列各数的平方根：
36，，1.21.
分析：求一个正数的平方根就是开平方运算，根据“如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r和-r”，及开平方与平方运算的关系，即可求出题中各数的平方根。.
解：由于6 =36，因此36的平方根是6和-6，即=±6.
由于，因此的平方根是和，即.
由于1.1 =1.21，因此1.21的平方根是1.1和-1.1，即=±1.1.
例2
分别求下列各数的算术平方根：
100，，0.49.
分析：分式也是一种代数式，求值时先把字母表示的数代入分式，再计算结果，注意约分成最简分数。
解：由于=100，因此
由于，因此.
由于=0.49，因此
教师强调：由例2可知，正数的算术平方根只有一个.
四、巩固练习
1、
9的平方根是（
）
A.
3
B.
±3
C.
D.
81
【答案】B
【解析】正数有两个互为相反数的平方根，因为32=9，所以9的平方根是±3。故选B。
2、
的算术平方根是（
）
A.
4
B.
±4
C.
2
D.
±2
【答案】C
【解析】因为=4，所以的算术平方根就是4的平方根。由于22=4，所以4的算术平方根是2，即的算术平方根是2。故选C。
3、
下列说法中，正确的是
（
）
A.
5是25的一个平方根
B.
49的算术平方根是±7
C.
-8是64的算术平方根
D.
7的平方根是
【答案】A
【解析】根据平方根、算术平方根的概念，可知A选项正确.故选A.
4、
下列式子错误的是（
）
A.
±=±10
B.
=0.4
C.
=
D.
±=±0.2
【答案】B
【解析】因为0.42=0.16，所以0.4是0.16的算术平方根，即=0.4，所以=0.4错误，故选B.
5、
如果一个数有一个平方根-1，那么这个数是
1
.
解析：根据平方根的意义，可知(-1)2=1，因此这个数是1
6、
81的平方根是
±9
，5的算术平方根是。
解析：81的平方根是±=±9，5的算术平方根是。
五、课堂总结
1、
什么叫作平方根？一个正数的平方根是什么？
PPT展示：
①若r =a，则r是a的一个平方根.
②一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r和-r.
即，正数有且只有两个互为相反数的平方根.
2、
什么叫作算术平方根？正数a的平方根和算术平方
根分别记作什么？
PPT展示：
①正数a的正平方根叫作a的算术平方根.
②正数a的平方根记作。
③正数a的算术平方根记作。
3、
0的平方根和算术平方根分别是什么？负数有平方根吗？
PPT展示：
0的平方根和算术平方根都是0，负数没有平方根.
4、
什么叫作开平方？开平方与平方有什么关系？
PPT展示：
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方
开平方与平方互为逆运算。
六、作业布置
（一）课本第108页练习第1、2、3题：
1、
分别求64，，6.25的平方根.
2、
分别求81，，0.16的算术平方根.
3、
判断下列说法是否正确。
(1)是的一个平方根；
（正确）
(2)
是6的算术平方根；
（正确）
(3)
的值是±4；
（错误）
(4)
(-4) 的平方根是-4.
（错误）
（二）课本第111页习题3.1第7、8题：
7、
如果b=-169，那么-b有平方根吗？如果有，求出-b的平方根.
解：有。因为-b=-(-169)=169，所以。
8、
填空：
(1)
=
16
，
=
36
，
=
16
，
=
16
.
(2)
由(1)猜测：
一个正数a先开平方，然后再平方，最后结果等于
a
；
一个数b先平方，然后再求它的算术平方根，最后结果等于
|b|
.
板书设计
3.1平方根（1）
1、
平方根的概念：若r =a，则r是a的一个平方根；
2、
正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0，负数没有平方根；
3、
a的平方根记做，a的算术平方根记做；
4、
开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方；
5、
开平方与平方互为逆运算。
课后反思
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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