2021-2022学年华东师大版八年级数学上册14.1.3反证法同步练习（Word版，含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年华东师大版八年级数学上册14.1.3反证法同步练习（Word版，含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 218.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-06 23:04:08 | ||
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文档简介
2021-2022学年八年级数学上册（华东师大版）
14.1.3反证法-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC.当用反证法证明时，第一步应假设(
)
A．∠B＝∠C
B．AB＝AC
C．AB＝BC
D．∠A＝∠B
2．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中(
)
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
3．用反证法证明“若，则”时，应假设（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．所以∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB=AC，得∠C=∠B≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（
）
A．④③①②
B．③④②①
C．①②③④
D．③④①②
5．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（
）
A．④③①②
B．③④②①
C．①②③④
D．③④①②
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（
）
A．有一个内角大于
B．有一个内角小于
C．每一个内角都大于
D．每一个内角都小于
7．若将三条高线长度分别为x，y，z的三角形记为（x，y，z），则以下三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20），（20，21，29）中，直角三角形的个数为（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．下列说法正确的是（
）
①近似数精确到十分位；
②在，，，中，最小的是；
③如图所示，在数轴上点所表示的数为；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图，在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
9．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：________.
10．等腰三角形的底角必是________角（填“直”、“锐”或“钝”），为了说明你的结论正确，你可以从假设入手开始说明．
11．用反证法证明时应先假设__________，即__________．
12．如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点______”矛盾，所以假设不成立，则________．
13．用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°.求证：AC≠BC”.第一步应先假设________________
14．命题“若中，，则”的结论是__________，若用反证法证明此命题时应假设__________．
15．用反证法证明“等角对等边”，应先假设______________________________．
16．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．
三、解答题
17．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
18．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不相等．
19．用反证法证明：的三个内角中至少有两个锐角．
20．用反证法证明：一条线段只有一个中点．
21．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
22．用反证法证明：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行．
23．用反证法证明：如图所示，已知，那么．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是
△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【解析】
利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即AB=AC，故选B．
2．D
【解析】用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故答案选：D．
3．A
【解析】解：反证法的一般步骤是先假设结论不成立，
故用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2 b2，
故选：A
4．D
【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°，
3、∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
5．D
【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
1、假设在中，，
2、由，得，即，
3、，这与三角形内角和为矛盾，
4、因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②，
故选：．
6．C
【解析】解：用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都不小于或等于，即每一个内角都大于；
故选C．
7．A
【解析】解：∵直角三角形斜边上的高一定会比直角边其中一边短，（原理可以参考三角形面积求法）
∴假设三角形（6，8，10），是直角三角形，
∴10一定是一条直角边，假设6是另一条直角边，
∴斜边=6×10÷8=7.5＜10，不成立，
同理得到8是另一条直角边为，斜边=10×8÷6=
，
∵
，
∴此时不是直角三角形；
假设三角形（8，15，17）是直角三角形
∴17一定是一条直角边，假设8是另一条直角边，
∴斜边=17×8÷15=，不成立，
同理得到15是另一条直角边为，斜边=17×15÷8=
，
∵
，
∴此时不是直角三角形；
假设三角形（12，15，20）是直角三角形
∴20一定是一条直角边，假设12是另一条直角边，
∴斜边=10×12÷15=，不成立，
同理得到15是另一条直角边为，斜边=20×15÷12=25
，
∵
，
∴此时是直角三角形；
假设三角形（20，21，29）是直角三角形
∴29一定是一条直角边，假设20是另一条直角边，
∴斜边=29×20÷21=，不成立，
同理得到21是另一条直角边为，斜边=29×21÷20=
，
∵
，
∴此时不是直角三角形；
故选A．
8．B
【解析】①近似数精确到十位，故本小题错误；
②，，，，最小的是，故本小题正确；
③在数轴上点所表示的数为，故本小题错误；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；
⑤在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点，故本小题正确．
故选B
9．AB∥CD
【解析】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
10．锐
【解析】证明：①设等腰三角形底角∠B,∠C都是直角,则∠B+∠C=180°，
而∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.
②设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角,则∠B+∠C>180°，
而∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.
综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角.
故等腰三角形的底角必是锐角．
故答案为：锐．
11．不小于
大于或等于
【解析】用反证法证明命题若时，应先假设则，即．
12．两
有且只有一条直线
原命题成立
【解析】假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有两条直线，这与“过两点有且只有一条直线”矛盾，所以假设不成立，则原命题成立．
13．AC=BC
【解析】用反证法证明AC≠BC，应先假设AC=BC；故答案为AC=BC.
14．
【解析】命题“若中，，则”的结论是，
若用反证法证明此命题时应假设．
故答案为：，．
15．一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边不相等
【解析】解：用反证法证明“等角对等边”，应先假设一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边不相等，
故答案为：一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边不相等．
16．这两条直线不平行
【解析】证明：已知两条直线都和第三条直线平行；
假设这两条直线不平行，则两条直线有交点，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
因此，两条直线有交点时，它们不可能同时与第三条直线平行
因此假设与结论矛盾．故假设不成立，
即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案为：这两条直线不平行．
17．见解析
【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°.根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°，则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角．
18．见解析
【解析】证明：假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立．
19．见解析
【解析】假设同一三角形中最多有一个锐角，则另两个角为直角或钝角，
故此时三角形内角和超过180°，与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立，原命题正确，即中至少有两个角是锐角．
20．见解析．
【解析】解：已知：一条线段，点M为的中点．
求证：线段只有一个中点M，
证明：假设线段有两个中点，分别为点M、N，不妨设点M在点N的左边，
则，
又∵，
这与矛盾，
∴假设不成立，线段只有一个中点M．
∴一条线段只有一个中点．
21．见解析．
【解析】证明：假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角，
不妨设，则，
这与三角形内角和为相矛盾，不成立，
所以一个三角形中不能有两个直角．
22．见解析
【解析】答案：已知：如图所示，，．求证：．
证明：假设不平行于，
∵，
∴不平行于，与条件矛盾，
∴假设不成立，∴．
23．见解析．
【解析】证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图，
∵，
∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立，
∴原命题正确．
24．见解析
【解析】证明：假设PB≥PC，
如图，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ADC，连接PD，
∵，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
这与∠APB＞∠APC相矛盾，
∴PB≥PC不成立，
∴PB＜PC．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
14.1.3反证法-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC.当用反证法证明时，第一步应假设(
)
A．∠B＝∠C
B．AB＝AC
C．AB＝BC
D．∠A＝∠B
2．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中(
)
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
3．用反证法证明“若，则”时，应假设（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．所以∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB=AC，得∠C=∠B≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（
）
A．④③①②
B．③④②①
C．①②③④
D．③④①②
5．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（
）
A．④③①②
B．③④②①
C．①②③④
D．③④①②
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（
）
A．有一个内角大于
B．有一个内角小于
C．每一个内角都大于
D．每一个内角都小于
7．若将三条高线长度分别为x，y，z的三角形记为（x，y，z），则以下三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20），（20，21，29）中，直角三角形的个数为（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．下列说法正确的是（
）
①近似数精确到十分位；
②在，，，中，最小的是；
③如图所示，在数轴上点所表示的数为；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图，在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
9．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：________.
10．等腰三角形的底角必是________角（填“直”、“锐”或“钝”），为了说明你的结论正确，你可以从假设入手开始说明．
11．用反证法证明时应先假设__________，即__________．
12．如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点______”矛盾，所以假设不成立，则________．
13．用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°.求证：AC≠BC”.第一步应先假设________________
14．命题“若中，，则”的结论是__________，若用反证法证明此命题时应假设__________．
15．用反证法证明“等角对等边”，应先假设______________________________．
16．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．
三、解答题
17．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
18．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不相等．
19．用反证法证明：的三个内角中至少有两个锐角．
20．用反证法证明：一条线段只有一个中点．
21．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
22．用反证法证明：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行．
23．用反证法证明：如图所示，已知，那么．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是
△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【解析】
利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即AB=AC，故选B．
2．D
【解析】用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故答案选：D．
3．A
【解析】解：反证法的一般步骤是先假设结论不成立，
故用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2 b2，
故选：A
4．D
【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°，
3、∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
5．D
【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
1、假设在中，，
2、由，得，即，
3、，这与三角形内角和为矛盾，
4、因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②，
故选：．
6．C
【解析】解：用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都不小于或等于，即每一个内角都大于；
故选C．
7．A
【解析】解：∵直角三角形斜边上的高一定会比直角边其中一边短，（原理可以参考三角形面积求法）
∴假设三角形（6，8，10），是直角三角形，
∴10一定是一条直角边，假设6是另一条直角边，
∴斜边=6×10÷8=7.5＜10，不成立，
同理得到8是另一条直角边为，斜边=10×8÷6=
，
∵
，
∴此时不是直角三角形；
假设三角形（8，15，17）是直角三角形
∴17一定是一条直角边，假设8是另一条直角边，
∴斜边=17×8÷15=，不成立，
同理得到15是另一条直角边为，斜边=17×15÷8=
，
∵
，
∴此时不是直角三角形；
假设三角形（12，15，20）是直角三角形
∴20一定是一条直角边，假设12是另一条直角边，
∴斜边=10×12÷15=，不成立，
同理得到15是另一条直角边为，斜边=20×15÷12=25
，
∵
，
∴此时是直角三角形；
假设三角形（20，21，29）是直角三角形
∴29一定是一条直角边，假设20是另一条直角边，
∴斜边=29×20÷21=，不成立，
同理得到21是另一条直角边为，斜边=29×21÷20=
，
∵
，
∴此时不是直角三角形；
故选A．
8．B
【解析】①近似数精确到十位，故本小题错误；
②，，，，最小的是，故本小题正确；
③在数轴上点所表示的数为，故本小题错误；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；
⑤在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点，故本小题正确．
故选B
9．AB∥CD
【解析】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
10．锐
【解析】证明：①设等腰三角形底角∠B,∠C都是直角,则∠B+∠C=180°，
而∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.
②设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角,则∠B+∠C>180°，
而∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.
综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角.
故等腰三角形的底角必是锐角．
故答案为：锐．
11．不小于
大于或等于
【解析】用反证法证明命题若时，应先假设则，即．
12．两
有且只有一条直线
原命题成立
【解析】假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有两条直线，这与“过两点有且只有一条直线”矛盾，所以假设不成立，则原命题成立．
13．AC=BC
【解析】用反证法证明AC≠BC，应先假设AC=BC；故答案为AC=BC.
14．
【解析】命题“若中，，则”的结论是，
若用反证法证明此命题时应假设．
故答案为：，．
15．一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边不相等
【解析】解：用反证法证明“等角对等边”，应先假设一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边不相等，
故答案为：一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边不相等．
16．这两条直线不平行
【解析】证明：已知两条直线都和第三条直线平行；
假设这两条直线不平行，则两条直线有交点，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
因此，两条直线有交点时，它们不可能同时与第三条直线平行
因此假设与结论矛盾．故假设不成立，
即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案为：这两条直线不平行．
17．见解析
【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°.根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°，则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角．
18．见解析
【解析】证明：假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立．
19．见解析
【解析】假设同一三角形中最多有一个锐角，则另两个角为直角或钝角，
故此时三角形内角和超过180°，与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立，原命题正确，即中至少有两个角是锐角．
20．见解析．
【解析】解：已知：一条线段，点M为的中点．
求证：线段只有一个中点M，
证明：假设线段有两个中点，分别为点M、N，不妨设点M在点N的左边，
则，
又∵，
这与矛盾，
∴假设不成立，线段只有一个中点M．
∴一条线段只有一个中点．
21．见解析．
【解析】证明：假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角，
不妨设，则，
这与三角形内角和为相矛盾，不成立，
所以一个三角形中不能有两个直角．
22．见解析
【解析】答案：已知：如图所示，，．求证：．
证明：假设不平行于，
∵，
∴不平行于，与条件矛盾，
∴假设不成立，∴．
23．见解析．
【解析】证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图，
∵，
∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立，
∴原命题正确．
24．见解析
【解析】证明：假设PB≥PC，
如图，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ADC，连接PD，
∵，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
这与∠APB＞∠APC相矛盾，
∴PB≥PC不成立，
∴PB＜PC．
答案第1页，共2页
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