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第3章《实数》复习
湘教版
八年级上
教学目标
1.
掌握平方根、算术平方根、立方根的概念及求法；
2.
了解平方根、立方根的性质及二者的区别；
3.
掌握无理数、实数的概念，会比较实数的大小；
4.
知道有理数的运算法则、运算律及有关数、式、方程
(组)的性质、法则、解法，对于实数仍然成立；
5.
能正确地进行实数的一些简单计算；
6.
整合知识要点，熟悉常见题型，提高运用能力。
要点回顾
1.
平方根：若r =a，则
是a的一个平方根.
知识点1：平方根和算术平方根
2.
一个正数有两个
的平方根；0的平方根是0；
没有平方根.
3.
平方根表示方法：正数a的平方根记作
.
互为相反数
负数
r
4.
算术平方根：正数a的
也叫算术平方根.正数a算术平方根记作
.
正平方根
要点回顾
4.
正数的算术平方根是
，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.所以非负数的算术平方根是
.
知识点1：平方根和算术平方根
5.
开平方：求一个数的
的运算，叫做开平方，开平方运算的结果就是
。开平方与平方互为
。
正数
非负数
平方根(二次方根)
平方根
逆运算
要点回顾
1.
立方根：如果一个数b，使得b =a，那么b叫做a的一个
，也叫做三次方根，a的立方根记做
.
知识点2：立方根
立方根
2.
每一个实数有且只有
立方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个
立方根；0的立方根是0.
一个
负的
3.
开立方：求一个数的
的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
立方根(三次方根)
要点回顾
1.
无理数：
小数，叫做无理数。
无限不循环
知识点3：无理数
2.
无理数分为
和
.
正无理数
负无理数
3.
用计算器求平方根时，首先要按
键.
4.
用计算器求立方根时，首先要按
键和
键.
要点回顾
知识点3：无理数
5.
常见的无理数有：
①
π及含有π的数；
②
带二次根号且根号内的数不是有理数的平方的数；
③
带三次根号且根号内的数不是有理数的立方的数；
④
具有某些特殊结构的无限不循环小数.
要点回顾
1.
实数：
和
统称为实数。
有理数
知识点4：实数
2.
实数按符号分为：
、
、
.
3.
实数与数轴上的点的关系：
。
4.
实数a的相反数是
，若
，则a与b互为相反数.
无理数
正实数
0
负实数
一一对应
-a
a+b=0
要点回顾
5.
实数可以比较大小，常用方法有：
知识点4：实数
①比符号：正实数＞0＞负实数；
②比绝对值：两个负实数，绝对值大的反而小；
③作差比较：a-b＞0，则a＞b；
a-b＜0，则a＜b；
④比平方：两个正实数，平方大的这个数也大.道理就像把正实数看作正方形的边长，面积大的边长也大。
要点回顾
1、实数的运算有：加法、减法、乘法、除法、乘方、
、
.
知识点5：实数的运算
2、
可以进行开平方运算，
都可
以进行开立方运算.
3、有理数的运算法则、运算律，对于实数仍然成立.
开平方
开立方
非负数
任意实数
要点回顾
4、前面学过的有关数、式、方程(组)的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.例如在实数范围内，可利用因式分解的方法对无理式因式分解，可利用前面学过的解法解方程(组)。
知识点5：实数的运算
5、在实数范围内，可用计算器进行实数的各种运算，遇到无理数时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，进行计算。
考点突破
考点一、平方根和算术平方根
例1
的平方根是（
）
A.
6
B.
±6
C.
D.
±
D
因为=6，所以的平方根就是6的平方根。由于=6，所以6的平方根是，即的平方根是。故选D。
解析：
例2
的值等于（
）
A.
5
B.
-5
C.
±5
D.
A
因为是25的算术平方根。由于=25，所以=5。故选A。
解析：
考点突破
例3
已知一个数有两个平方根分别是2a-1和4-a，则这个
数是（
）
A.
7
B.
-7
C.
49
D.
±49
C
解析：因为只有正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数，所以(2a-1)+(4-a)=0，解得a=-3。所以4-a=7，2a-1=-7，这个数为7 =49.故选C。
考点突破
类型二、立方根
例4
下列说法正确的是
（
）
A.
4的平方根是2
B.
-64的立方根是-8
C.
任何一个实数都有一个立方根
D.
若a为实数，则
解析：4的平方根是±2，-64的立方根是-4，故A，B错误，D项a为非负数时才成立，故D错误。C项正确，符合题意，故选C.
C
考点突破
例5
的立方根是
（
）
A.
B.
C.
D.
A
解析：本题考查立方根的概念，需要明确正数有一个正的平方根.因此B，C不符合题意，D项不符合立方根的概念，也不符合题意。A项符合题意，故选A.
考点突破
考点三、无理数
例6
下列说法正确的是
（
）
A.
无理数是无限小数
B.
无限小数都是无理数
C.
带根号是数是无理数
D.
无理数不能比较大小
解析：无限不循环小数叫作无理数，所以无理数是无限小数，但无限小数不一定是无理数。带根号的数有的是有理数，无理数可以比较大小。因此B、C、D错误。故选A.
A
考点突破
例7
下列实数：，0，2π，，，，中，无理数的个数有（
）
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
在上面各数中，，0，，是有理数，2π，，是无理数，无理数有3个，故选B。
解析：
B
考点突破
考点突破
类型四、实数与数轴
例8
(2021
翔安区模拟)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则
.
解析：从数轴上可以看出，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，因此a+b＜0，|a+b|=-a-b，|b|=b。于是
|a+b|+|b|=-a-b+b=-a。
a
b
0
-a
例9
如图，表示实数的点是数轴上的
点.
M
因为4＜＜5，所以，数轴上点M表示的数在此范围，故答案为M.
解析：
考点突破
例10
下列说法中，错误的是
（
）
A.
实数包括有理数和无理数
B.
实数分为正实数、0和负实数
C.
有理数和数轴上的点具有一一对应关系
D.
任何实数包括无理数都有相反数和绝对值
考点五、实数的概念
C
解析：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，所以实数和数轴上的点一一对应，因此C错误，符合题意。A、B、D正确。故选C.
考点突破
例11
的相反数是
，绝对值是
。
考点突破
解：与有理数一样，只有符号不同的实数互为相反数；正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.因此
的相反数是，
的绝对值是
。
例12
下列实数：-3，π，，，，其中最大的实数是（
）
A.
π
B.
C.
D.
π≈3.14，≈3.33，，，所以-3＜＜π＜＜，可知最大的实数为，故选D。
解析：
D
类型六、实数的大小的比较
考点突破
例13
不用计算器，比较下列各组数的大小：
（1）与；
（2）与
解：(1)
∵
==，，而＜，
∴
＜.
考点突破
(2)
∵=，而＜，∴＜，
∴
＜.
考点突破
类型六、实数的运算
例14
计算：.
解：
=
=
=
=
.
利用运算律进行实数的运算，通常把有理数和无理数分别相加。
考点突破
例15
计算：
解：
=
=
6+(-8)
=
-2.
利用实数的性质，按照运算顺序进行计算.
考点突破
知识梳理
相反数
开方
实数与数轴上的点一一对应
实数大小的比较
绝对值
实数的运算
加、减、乘、除、乘方
开平方
开立方
有理数
实
数
无理数
作业布置
复习题3.其中：
第1、3、7题，直接做在课本上；
第3、4、5、8、9、10、11、12、16、17题，做到作业本上。
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第3章《实数》小结与复习教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：5
课
题
第3章《实数》小结与复习
课型
复习课
教学目标
1.掌握平方根、算术平方根、立方根的概念及求法；
2.了解平方根、立方根的性质及二者的区别；
3.掌握无理数、实数的概念，会比较实数的大小；
4.知道有理数的运算法则、运算律及有关数、式、方程(组)的性质、法则、
解法，对于实数仍然成立；
5.能正确地进行实数的一些简单计算，掌握开平方、开立方运算；
6.整合知识要点，熟悉常见题型，提高运用能力。
教学重点
1.进一步理解平方根、立方根的概念，正确地求出一个数的平方根、立方根；
2.实数的分类，实数大小的比较，实数的运算；
3.整合本章知识要点，提高学生运用知识的能力。
教学难点
1.运用实数的运算法则、运算律等进行实数的运算；
2.整合知识要点，熟悉常见题型，提高运用能力。
教
学
活
动
一、要点复习
知识点1：平方根和算术平方根
1、
平方根：若r =a，则
r
是a的一个平方根.
2、
一个正数有两个
互为相反数
的平方根；0的平方根是0；
负数
没有平方根.
3、
平方根的表示方法：正数a的平方根记作
。
.
4、
算术平方根：正数a的正的平方根也叫算术平方根。正数a算术平方根记作。
5、
正数的算术平方根是
正
数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。所以非负数的算术平方根是
非负
数。
6、
开平方：求一个数的
平方根(二次方根)
的运算，叫做开平方，开平方运算的结果就是
平方根
。开平方与平方互为
逆运算
。
知识点2：立方根
1、
立方根：如果一个数b，使得b =a，那么b叫做a的一个
立方根
，也叫做三次方根，a的立方根记做。
2、
每一个实数有且只有
一个
立方根；一个正数有一个
正
的立方根；一个负数有一个
负
的立方根；0的立方根是0.
3、
开立方：求一个数的
立方根
的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
知识点3：无理数
1、
无理数：无限不循环小数，叫做无理数。
2、
无理数分为正无理数和负无理数.
3、
用计算器求平方根时，首先要按键.
4、
用计算器求立方根时，首先要按2ndF键和根号键.
5、
常见的无理数有：
①
π及含有π的数；
②
带二次根号且根号内的数不是有理数的平方的数；
③
带三次根号且根号内的数不是有理数的立方的数；
④
具有某些特殊结构的无限不循环小数.
知识点4：实数
1、
实数：有理数和无理数统称为实数；
2、
实数按符号分为正实数、0、负实数；。
3、
实数与数轴上的点的关系：一一对应；
4、
实数a的相反数是-a，若a+b=0，则a与b互为相反数；
5、
实数可以比较大小，常用方法有：
①比符号：正实数＞0＞负实数；
②比绝对值：两个负实数，绝对值大的反而小；
③作差比较：a-b＞0，则a＞b；
a-b＜0，则a＜b；
④比平方：两个正实数，平方大的这个数也大.道理就像把正实数看作正方形的边长，面积大的边长也大。
知识点5：实数的运算
实数的运算有：加法、减法、乘法、除法、乘方、开平方、开立方；
非负数可以进行开平方运算任意实数都可以进行开立方运算；
3、
有理数的运算法则、运算律，对于实数仍然成立.
4、
前面学过的有关数、式、方程(组)的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.例如在实数范围内，可利用因式分解的方法对无理因式分解，可利用前面学过的解法解方程(组)。
5、
在实数范围内，可用计算器进行实数的各种运算，遇到无理数时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，进行计算。
二、考点突破
考点一、平方根和算术平方根
例1
的平方根是（
）
A.
6
B.
±6
C.
√6
D.
±√6
【答案】D
【解析】因为=6，所以的平方根就是6的平方根。由于=6，所以6的平方根是±，即的平方根是±。故选D.
例2
的值等于（
）
A.
5
B.
-5
C.
±5
D.
√5
【答案】A
【解析】因为是25的算术平方根。由于5 =25，所以=5。故选A。
例3
已知一个数有两个平方根分别是2a-1和4-a，则这个数是（
）
A.
7
B.
-7
C.
49
D.
±49
【答案】C
【解析】因为只有正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数，所以(2a-1)+(4-a)=0，解得a=-3。所以4-a=7，2a-1=-7，这个数为7 =49.故选C。
考点二、立方根
例4
下列说法正确的是（
）
A.
4的平方根是2
B.
-64的立方根是-8
C.
任何一个实数都有一个立方根
D.
若a为实数，则==a
【答案】C
【解析】4的平方根是±2，-64的立方根是-4，故A，B错误，D项a为非负数时才成立，故D错误。C项正确，符合题意，故选C.
例5
的立方根是（
）
A.
B.
C.
±
D.
【答案】A
【解析】本题考查立方根的概念，需要明确正数有一个正的平方根.因此B，C不符合题意，D项不符合立方根的概念，也不符合题意。A项符合题意，故选A.
考点三、无理数
例6
下列说法正确的是（
）
A.
无理数是无限小数
B.
无限小数都是无理数
C.
带根号是数是无理数
D.
无理数不能比较大小
【答案】A
【解析】无限不循环小数叫作无理数，所以无理数是无限小数，但无限小数不一定是无理数。带根号的数有的是有理数，无理数可以比较大小。因此B、C、D错误。故选A.
例7
下列实数：，0，2π，，，，中，无理数的个数有（
）
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
【答案】B
【解析】，0，，是有理数，2π，，是无理数，无理数有3个，故选B。
考点四、实数与数轴
例8
(2021翔安区模拟)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则|a+b|+|b|=
.
【答案】-a
【解析】从数轴上可以看出，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，因此
a+b＜0，|a+b|=-a-b，|b|=b。于是|a+b|+|b|=-a-b+b=-a。
例9
如图，表示实数 7的点是数轴上的
点.
【答案】M
【解析】因为4＜＜5，所以
3< 7< 2，数轴上点M表示的数在此范围，故答案为M.
考点五、实数的概念
例10
下列说法中，错误的是（
）
A.
实数包括有理数和无理数
B.
实数分为正实数、0和负实数
C.
有理数和数轴上的点具有一一对应关系
D.
任何实数包括无理数都有相反数和绝对值
【答案】C
【解析】数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，所以实数和数轴上的点一一对应，因此C错误，符合题意。A、B、D正确。故选C.
例11
的相反数是
，绝对值是
。
【答案】，.
【解析】与有理数一样，只有符号不同的实数互为相反数；正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.因此
的相反数是 ，
的绝对值是。
考点六、实数的大小的比较
例12
下列实数：-3，π，，，，其中最大的实数是（
）
A.
π
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】π≈3.14，≈3.33，= 2，=4，所以-3＜＜π＜＜，可知最大的实数为，故选D。
例13
不用计算器，比较下列各组数的大小：
（1）与；
（2）与.
解：（1）∵
，=3，而＜3，
∴
＜.
（2）∵∴.
考点七、实数的运算
例14
计算：( 6+) 2( 3+).
解：( 6+) 2( 3+)
= 6++6 2
=( 6+6)+ ）
=0+ ）
= .
方法小结：利用运算律进行实数的运算，通常把有理数和无理数分别相加。
例15
计算：+| 2|+.
解：+| 2|+
=3+2+1+
=2.
方法小结：实数的运算要利用实数的性质，按照运算顺序进行计算.
三、作业布置
复习题3.其中：
第1、3、7题，直接做在课本上；
第3、4、5、8、9、10、11、12、16、17题，做到作业本上。
板书设计
教学反思
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精品试卷·第
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（共
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