2021-2022学年人教版八年级数学上册13.4 最短路径问题学案（无答案）

课题：
13、4
最短路径问题教学设计
课型：新授课
总第
课时
设计者：
使用时间：
学习目标：
1.
能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
2在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想。
学习重点:
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
学习难点:
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小的问题，感悟转化思想。
教学过程:
（结合课程标准或者单元目标进行简要分析）本节课是在学习了轴对称的知识后学习的与实际问题密切相关的最短路径问题，集中体现了利用数学知识解决实际问题，体现了数学知识在实际中的应用。
复备
教学导入【课前热身】两点之间，什么最短？连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，什么最短？问题：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。（连接AB,线段AB与直线L的交点P
，就是所求。）（课前主持人主持，并抽一小组展示，最后小组评价）老师引出本节课课题：最短路径问题；并出示学习目标
二、教学过程【第一学程】学习任务：探究“将军饮马问题”。
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
看图：从A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B
地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．（将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直
线．
）问题1
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为
数学问题吗？学法指导：第一步：自学要求：学生独立计算，把需要交流的问题划出来。第二步：互学要求（1）有序交流。组长主持，组内交流，及时指导。（2）汇总意见。组内总结解题方法。（3）展学准备。组长分工，做好展讲准备；要求3,4号展示较为容易的，2号较难的，组长做最后总结。第三步：展学方式：抽一小组做展讲要求：普通话，
声音洪亮，语言流畅，分工合理，解题方法得当（满分10分）第四步:小组评价：各小组认真倾听，积极补充、质疑提问，对展示小组进行评价（对提出补充和质疑的同学根据表现和问题质量酌情加分）教师补充：（1）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B
连接起来的两条线段的长度之和，就是从A
地到饮马地点，再回到B
地的路程之和；
（2）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C
为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，
AC
与CB
的和最小（如图）．
问题2
你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
学法指导：第一步：自学要求：学生独立计算，把需要交流的问题划出来。第二步：互学要求（1）有序交流。组长主持，组内交流，及时指导。（2）汇总意见。组内总结解题方法。（3）展学准备。组长分工，做好展讲准备；要求3,4号展示较为容易的，2号较难的，组长做最后总结。第三步：展学方式：抽一小组做展讲要求：普通话，
声音洪亮，语言流畅，分工合理，解题方法得当（满分10分）第四步:小组评价：各小组认真倾听，积极补充、质疑提问，对展示小组进行评价（对提出补充和质疑的同学根据表现和问题质量酌情加分）师强调补充做法：
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小？
作法：（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l
相交于点C．则点C
即为所求．【第二学程】　你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？学法指导：第一步：自学要求：学生独立思考。第二步：互学要求
（1）
有序交流.针对疑难问题，若在本组不能解决可组间交流；（2）汇总意见。交流结束后，组长汇总并统一问题答案。（3）展学准备。1-4题一人，5题一人，6题一人，组长作总结第三步：展学方式：小组成员全过关的有机会展示要求：
普通话，
声音洪亮，语言流畅，几何逻辑思维清晰。各小组认真倾听，积极补充、质疑提问，对小组进行评价（对提出补充和质疑的同学根据表现和问题质量酌情加分）第四步：小组评价（从仪态、数学语言表达、解题思路、分工是否合理等方面评价，（满分5分）
师补充完善证法：证明：如图，在直线l
上任取一点C′（与点C
不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′．
∴　AC
+BC
=
AC
+B′C
=
AB′，
AC′+BC′
=
AC′+B′C′．问：证明AC
+BC
最短时，为什么要在直线l
上任取一点C′（与点C
不重合），证明AC
+BC
＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
答：若直线l
上任意一点（与点C
不重合）与A，B
两点的距离和都大于AC
+BC，就说明AC
+
BC
最小．
归纳总结：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
【第三学程】当堂达标如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。独立完成，要求：限时做题，出示答案后，组长顺时针检查。
三、课堂总结知识方面：
技能方面：
情感方面：评选出本节课的优胜小组：
四、【作业布置】分层次设计作业均衡作业餐——基础知识型1.
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
2营养作业餐——应用提升型如图，一个旅游船从大桥AB
的P
处前往山脚下的Q
处接游客，然后将游客送往河岸BC
上，再返
回P
处，请画出旅游船的最短路径。3特色作业餐——拓展提升型如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草,然后到河边饮水，最后再回到马棚A。问题：请你确定这一过程的最短路径。
.
五、板书设计
利用轴对称解决简单的最短路径问题【教学反思】
设计说明：
1.
针对教学过程第一部分（结合课程标准或者单元目标进行简要分析）需要老师们在研读课标和教材基础上进行；
2.
根据每课时的内容去设计学程和主问题；
3.
针对教学导入：根据课时内容去灵活设计，但必须有；
4.针对每个学程的学法指导：并不是每个学程都要有这“三学”;可根据主问题的难易程度及学生情况，合理选择：自学、互学、展学方法；
5.针对自学、选学、展学中学生的表现加以评价，并以“捆绑式”评价整个小组，老师们根据学程设计和学生的特点确定评价方式；
6.均衡作业餐、营养作业餐、特色作业餐让学生根据自己的学习能力自主选择，但有老师评价和学生自我评价。
B
A
l
C
.
A555。。
当堂自学
同伴助学
小组展学
互动评学
教师导学