江西省江西科技学院附高2021-2022学年高二上学期数学周练二（Word版含答案）

江西科技学院附属中学2021-2022学年上学期高二数学周练二
班级
姓名
考试范围：圆锥曲线与坐标系；
考试时间：100分钟；（2021、9、28）
一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分）
1．柱坐标对应的点的直角坐标系是（
）
A．
B．
C．
D．
2．将曲线y＝sin
2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(　A　)
A.y＝3sin
x　
　B.y＝3sin
2x
C.y＝3sinx
D.y＝sin
2x
3．在极坐标系中，点到直线的距离为（
）
A．2
B．1
C．
D．
4．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．若射线与曲线和曲线分别交于两点（除极点外），则等于（
）
A．
B．
C．1
D．
5．在极坐标系中有如下三个结论：①点在曲线上，则点的极坐标满足曲线的极坐标方程；②与表示同一条曲线；③与表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是（
）
A．①③
B．③
C．②③
D．①
6．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　
A　)
A.
B.
C.
D．3
7.动点的轨迹的焦点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
8.
在直角坐标系中，曲线的方程为．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．射线与交于点A，与交于点，则当正数在变化时，的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知P(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上的一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,若<0,则x0的取值范围是
A．
B．
C．
D．
10.如图，已知椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆
上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于（
A
）
A．
B．
C．－
D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．椭圆的离心率为
，则实数_______.
12．在极坐标系中，曲线，曲线直线与曲线相交于点，与相交于两点，为极点，当时，___________.
13．在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.
14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为___________.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
11．__________
12．__________
13．__________
14．__________
三、解答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）
15．在直角坐标系中，圆的圆心坐标为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，且过点只能作一条圆的切线．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线（，）和圆相交于两点，，若，求．
16．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
17．椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
18．已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦和所在直线分别平行于轴与轴，线段的延长线与线段相交于点（如图）．
（1）若是双曲线
的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的方程；
（2）若，，，，试求双曲线的方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．
19．已知抛物线，为其焦点，椭圆，，为其左右焦点，离心率，过作轴的平行线交椭圆于两点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过抛物线上一点作切线交椭圆于两点，设与轴的交点为，的中点为，的中垂线交轴为，，的面积分别记为，，若，且点在第一象限．求点的坐标．
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
周练（2）参考答案
解：∵
柱坐标转化为直角坐标为：，
∴，
故选：C.
2.
A
3．
解；将点化为直角坐标得：，
直线的直角坐标方程为：，
所以点到直线的距离为.
故选：A
解：由题意，把代入，可得，
把代入，可得，
结合图象，可得，故选A．
5．解；在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上任意一点的极坐标不一定都适合其极坐标方程，故①是错误的；不仅表示这条射线，还表示这条射线，故②是错误的；与的差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．故选B．
6．A
7．解；由题意知，由于，所以，即
，
由于的焦点为，将的图象向右平移3个单位，向下平移1个单位可得到的图象，故的焦点为
故选：C.
8．解解：方程对应的极坐标方程为，则，
将代入，得．将代入，得．
故，当且仅当，即时，等号成立．
因此，当正数在变化时，的最小值为．故选：C.
9．解：如图，设以O为原点、半焦距为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点.
由得，要使<0，则点P在A、B之间，∴x0的取值范围是．故选A．
10.
A
11．
解：因为椭圆的离心率为，当焦点在轴时，可知，，，
可得，解得．当焦点在轴时，可知，，，
可得，解得．
故答案为：或．
12．解.将分别代人曲线，得，
因为，所以，整理得，
因为，所以，所以，解得.故答案为：
13．解.因为直线，所以，
所以，
即，
又圆，则，
又因为，
所以，即
，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆有两个交点,
故答案为：2
14.解：以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示.
因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为1的圆，其方程为.
设点的坐标为，由于，易得，由可得，设，
则，解得，
所以点的运动轨迹是椭圆，其方程为.
设上的点，则，
则切线长为，即切线长的最大值为.
故答案为：.
15．解：（1）由点的极坐标可得其直角坐标为，
因为过点只能作一条圆的切线，
所以点在圆上，
因为，
所以圆的直角坐标方程为，即，
所以圆的极坐标方程为．
（2）将代入圆的极坐标方程得，由，，即，设点，的极坐标分别为，，
则
又由，可得，
联立解得．
16．
解：(1)由，
得ρcos
θ＋ρsin
θ＝1，∴曲线C的直角坐标方程为，
即x＋－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M的极坐标为(2,0)；
当时，，∴点N的极坐标为.
(2)由(1)得，点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为，∴点P的直角坐标为，
则点P的极坐标为，直线OP的极坐标方程为，ρ∈R.[来
17．解：（1）把代入椭圆方程得，解得，
因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1，
所以，又，联立得，解得，所以椭圆的方程为；
（2）如图所示，设，，
在中，由正弦定理可得
在
中，由正弦定理可得，
因为，，
两式相除可得，
又，消去得到，化为，因为，即，
也即，解得：，
所以的取值范围为．
18．
解：（1）由是的一条渐近线的一个方向向量，可得渐近线的斜率为，所以双曲线的渐近线方程为，
（2）由，，，，可得，则，
代入双曲线方程得，，
解得，
所以双曲线的方程为，
（3）由（1）可得，双曲线方程为，即，
设，则，
由三点共线，可得，
即有，所以，
同理可得，由三点共线，可得，
假设存在定点，使得恒成立，可得，
即，化为，
即为，
令，则，得，
所以存在定点，且或
19．解：（1）不妨设在第一象限，由题可知，，
又，，
可得，椭圆的方程为.
（2）设则切线的方程为
代入椭圆方程得：，
设，
则，，
的方程为，
即，
令得，
在直线方程中令得，
，，
，，
，.
化简得，
（舍去）的坐标为.
，
，
因为，故此解符合题意．
答案第6页，共6页
答案第5页，共6页