江西省江西科技学院附高2021-2022学年高二上学期数学周练一（Word版含答案）

江西科技学院附属中学2021-2022学年上学期高二数学周练一
班级:
姓名:
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共40分）
1．经过圆的圆心，且和直线垂直的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若直线将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
3．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．设，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过的定点（
）
A．
B．
C．
D．
8．曲线Γ：，要使直线与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．过双曲线的焦点作以焦点为圆心的圆的一条切线，切点为，的面积为，其中为半焦距，线段恰好被双曲线
的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知抛物线方程为，则其焦点坐标为__________．
12．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则椭圆两条准线之间的距离为__________．
13．已知F是双曲线的右焦点，P是双曲C左支上的点，，
则的最小值为__________．
14．圆内有一点，设过点的弦的中点为，则点的轨迹方程为__________．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
11．__________
12．__________
13．__________
14．__________
三、解答题（本题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（1）已知椭圆C的两焦点分别为，且经过点，求椭圆C的标准方程．
（2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程．
16．已知中心在原点的双曲线的一个焦点，一个顶点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左右两支各有一个交点，求的取值范围.
17．已知动点P（x，y）（）到定点F（2，0）的距离减去到y轴的距离等于2．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线与轨迹C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于N，求的值．
18．已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，上、右顶点分别是A、B，满足∠F1AF2＝120°，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)与圆x2+y2＝1相切的直线l交椭圆C于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的斜率．
19．已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共40分）
1．经过圆的圆心，且和直线垂直的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
2．若直线将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】A
3．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
4．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
5．设，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
6．已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
7．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过的定点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
8．曲线Γ：，要使直线与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
9．过双曲线的焦点作以焦点为圆心的圆的一条切线，切点为，的面积为，其中为半焦距，线段恰好被双曲线
的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
10．如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知抛物线方程为，则其焦点坐标为__________．
【答案】
12．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则椭圆两条准线之间的距离为__．
【答案】
13．已知F是双曲线的右焦点，P是双曲C左支上的点，，
则的最小值为__________．
【答案】11
14．圆内有一点，设过点的弦的中点为，则点的轨迹方程为______．
【答案】
三、解答题（本题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（1）已知椭圆C的两焦点分别为，且经过点，求椭圆C的标准方程．
（2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程．
【答案】（1）；（2）．
解：（1）设椭圆C的标准方程为
则
又,椭圆C的标准方程为
（2）设双曲线的方程为（且），因为焦点为，因此，
则,所求双曲线的方程为
16．已知中心在原点的双曲线的一个焦点，一个顶点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左右两支各有一个交点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）双曲线的一个焦点，一个顶点为，
双曲线的焦点在x轴上，且，
，
双曲线的方程为；
（2）联立直线与双曲线方程，可得，
直线与双曲线的左右两支各有一个交点，
，解得.
17．已知动点P（x，y）（）到定点F（2，0）的距离减去到y轴的距离等于2．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线与轨迹C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于N，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）根据题意可知，点P（x，y）（）到定点F（2，0）的距离等于它到直线的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，由可得，即轨迹C的方程为．
（2）设直线，，由可得，，所以，，
，于是
，
中点坐标为，所以线段AB的中垂线方程为，令，可得，所以，故
．
18．已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，上、右顶点分别是A、B，满足∠F1AF2＝120°，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)与圆x2+y2＝1相切的直线l交椭圆C于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的斜率．
【答案】(1)；(2)|PQ|max＝2；直线l的斜率为．
解：(1)因为，，
得，，
又a2＝b2+c2，所以，a2＝4b2，5b2＝5，解得b＝1，a＝2，
椭圆的标准方程为；
(2)由题意知直线l不能平行于x轴，所以设为x＝ty+m，
由已知得(0，0)到x﹣ty﹣m＝0的距离为1，即，
所以m2＝t2+1，
联立直线和椭圆得(ty+m)2+4y2＝4，即(t2+4)y2+2tmy+m2﹣4＝0，
得△＝(2tm)2﹣4(t2+4)(m2﹣4)＝﹣4(4m2﹣4t2﹣16)＝16(t2﹣m2+4)＝16×3，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则|y2﹣y1|，|y2﹣y1|＝，
设，则n≥1，，
当，即时，得|PQ|max＝2，
此时，直线l的斜率为．
19．已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）设为双曲线上任意一点，则①
双曲线的顶点为，，由题设知
，故，
代入①式可得．
又为双曲线上任意一点，故，所以，双曲线的渐近线方程为．
（2）由椭圆的离心率，可得，故椭圆方程为，即．
设，，则．②
设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，
联立②式整理得，即，故，
从而．所以．
而直线的方程为，同理可求得．
于是，由可得
，
整理得．
结合②式可得，所以椭圆的方程为，即．
2