江西省九江第一重点高中2021-2022学年高二上学期10月月考复习卷（二）理科数学试题（Word版含答案解析）

九江一中2020级高二10月月考数学复习卷2
一、单选题
1．已知非零向量，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．过点且平行于的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．在三棱锥中，M是的中点，P是的重心．设，，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知等比数列中，，，则（
）
A．16
B．8
C．4
D．2
6．已知，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
8．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，正四面体中，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．若数列满足，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（
）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，则实数______．
14．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为________．
15．如图，设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b2＝ac，，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，四边形ABCD面积最大值是________.
16．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2．设点O到边BC，CA，AB的距离分别为，，．若，则___________．
三、解答题
17．已知，命题，不等式恒成立；命题使得成立
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若为假，为真，求实数m的取值范围.
18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，.
（1）求与平面所成角的正弦；
（2）求点到面PBC的距离.
19．已知数列满足，，设.
（1）证明：为等差数列；
（2）求数列的前项和.
20．已知函数.
（1）求的最小正周期及在区间上的最大值
（2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围.
21．已知两个定点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：．
求曲线的轨迹方程；
若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．
22．如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．
（1）证明：；
（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1-12．BCBCC
CACAC
CB
4．【详解】解：如图，取的中点D，连接，，.在中，
.故选：C.
7．A
【详解】
如图，平面区域D为阴影部分，由得
即A（2，4），直线与直线均过区域D，
则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．
8．C
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
由题意可得：，
而，故.故选：C.
9．A
利用降幂公式和辅助角公式将函数化简，然后分参，进而算出的范围即可得到答案.
【详解】
．
∴由，得，∵，
∴，，∴．
10．C
【详解】建立如图所示空间坐标系，设，则，
,
设平面的法向量为，则且，设，则．
故选：C
11．C
【分析】由递推公式得出
，再由递推公式用表示出所有的奇数项，累加可得出所有奇数项的和，再根据
，代入数据即可求得结果.
【详解】因为，所以
，
，
，
，
，
，
，
以此类推
，
，
，
，
所以，，，，，
所以
，
所以.
12．B
【分析】根据，利用两角和与差的正弦公式化简得到，进而求得A，根据点在边上，且，得到，再由余弦定理结合两边平方，得到，令，得到，用基本不等式法或者导数法求得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.
因为，所以，即，
因为，所以，，因为，所以，
因为点在边上，且，
所以，设，则，
在中，由余弦定理得，
，所以，
即，
即，所以，
令，得，
下面采用基本不等式和导数两种方法求解：
方法一：利用基本不等式求解：
，
要使最大，需最大，当取最大值时，必有，
当且仅当，即时等号成立，所以时，有最大值，
的最大值为，此时，所以，解得，
在中，由正弦定理得，解得，即.
下面采用导数的方法求解：
求导得，令，解得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，此时，
所以，解得，
在中，由正弦定理得，解得，即.
13．3
14．
15．
15.b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accos，带入得ac＝a2+c2﹣ac，
即（a﹣c）2＝0，所以，A＝C，所以为等边三角形，设AC＝x，x＞0，
在△ADC中，由余弦定理可得：AC2＝AD2+CD2﹣2AD CD cosD，
由于AD＝3，DC＝1，代入上式可得：x2＝10﹣6cosD，
所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝x xsin+×3sinD＝x2+sinD
＝（10﹣6cosD）+sinD＝3sin（D﹣）+
，
当时，所以四边形ABCD面积的最大值为.
故答案为：.
16．4
【详解】若为△ABC外接圆的圆心，，，，即，，，如下图示，
∴，，，又，，，
∴==,
又，，
∴.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）根据，不等式恒成立，由求解；
（2）根据p且q为假，p或q为真，由p、q中一个是真命题，一个是假命题求解.
18．（1）；（2）
【详解】（1）因为底面是矩形，平面，
所以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，设平面的法向量，
则，令，即，
设与平面所成角为，则
（2），，
设平面的法向量，则，令，即，
设点到面PBC的距离为，则
19．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1），为等差数列；
（2），，，
，①
，②
①②得：，
20．（1）最小正周期为，最大值；（2）.
【详解】（1），
所以的最小正周期为.因为，所以
于是，当，即时，取得最大值
（2）在中，
，，，.
由正弦定理，，
，
，
，.
21．；存在，直线过定点．
解：设点的坐标为，
因为，即，整理得，
所以所求曲线的轨迹方程为．
由题意可知，，，则，都在以为直径的圆上，
是直线：上的动点，设，则圆的圆心为，且经过坐标原点，
即圆的方程为，又因为，在曲线：上，
则，可得，即直线的方程为，
由且，可得，解得，所以直线过定点．
22．（1）证明见解析；（2）．
（1）证明：如图，作的中点，连接，，在等腰梯形中，，为，的中点，
∴，在正中，为的中点，
∴，∵，，，，平面，
∴平面，又平面，∴．
（2）解：∵平面，
在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
∵，，∴为二面角的平面角，即，
，，，，，，
设平面的法向量为，，，
则有，即，则可取，又，设直线与平面所成角为，
∴，
∵，∴，
∴．
答案第1页，共2页
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