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第13章
三角形中的边角关系、命题与证明
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2021春 高明区期末）若一个三角形的两边长分别为5和9，则第三边长可能是（ ）
A．4
B．11
C．14
D．16
解：设第三边为x，
则9﹣5＜x＜5+9，即4＜x＜14，
所以符合条件的数为11，
故选：B．
2．（4分）（2021春 道外区期末）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．
故选：C．
3．（4分）（2021春 滦南县期末）如图，△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线．若△ABD的周长为35，则△BCD的周长是（ ）
A．20
B．24
C．26
D．29
解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为35，AB＝15，
∴AD+BD＝35﹣AB＝35﹣15＝20，
∴CD+BD＝AD+BD＝20，
∵BC＝9，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝9+20＝29．
故选：D．
4．（4分）（2021 孝义市二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合题意．
C．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故C符合题意．
D．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故C不符合题意．
故选：C．
5．（4分）（2021春 东阳市期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，先假设（ ）
A．每个内角都小于60°
B．每个内角都大于60°
C．没有一个内角小于等于60°
D．每个内角都等于60°
解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即每个内角都小于60°．
故选：A．
6．（4分）（2021春 深圳期中）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1
B．1.5
C．2
D．3
解：∵S△ABC＝12cm2，D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×12＝6（cm2），
∵E为AD的中点，
∴S△AEC＝S△ADC＝×6＝3（cm2），
∵F为EC的中点，
∴S△AEF＝S△AEC＝×3＝1.5（cm2），
故选：B．
7．（4分）（2021 南岗区校级开学）已知三角形的三个内角的度数比为2：3：4，则它的最大外角的度数为（ ）
A．80°
B．140°
C．100°
D．120°
解：设三个内角的度数分别为2x，3x，4x，
根据三角形内角和定理，可知2x°+3x°+4x°＝180°，
解得x＝20，
所以最小的内角为2x°＝40°，
故最大的外角为180°﹣40°＝140°．
故选：B．
8．（4分）（2020秋 长清区期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．三角形的外角大于任一内角
D．直角三角形的两锐角互余
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形的外角大于不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形的两锐角互余，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
9．（4分）（2021 遵化市模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1＝（ ）
A．45°
B．60°
C．65°
D．75°
解：∠1＝30°+（90°﹣45°）＝75°，
故选：D．
10．（4分）（2021春 金山区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（ ）
A．90°﹣n°
B．90°+n°
C．45°+n°
D．180°﹣n°
解：∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝＝90°﹣n°，
∴∠BOE＝∠OBC+∠OCB＝90°﹣n°，
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2021 南岗区校级开学）在△ABC中，∠B＝35°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，∠DCA＝75°，则∠DAE的度数为
20° ．
解：如图，
∵∠B＝35°，∠DCA＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣75°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝35°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝55°﹣35°＝20°，
故答案为20°．
12．（5分）（2021春 金坛区期末）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若△BEF的面积是4，则△ABC的面积是
30 ．
解：∵BE＝4EC，S△BEF＝4，
∴S△CEF＝S△BEF＝1，
∴S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝4+1＝5，
∵D是AB中点，
∴AD＝DB，
∴S△ADF＝S△BDF，S△ADC＝S△BDC，
∴S△ADC﹣S△ADF＝S△BDC﹣S△BDF，
∴S△ACF＝S△BCF＝5，
∴S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝5+1＝6，
∵BE＝4EC，
∴S△ABE＝4S△ACE＝24，
∴S△ABC＝S△ABE+S△ACE＝24+6＝30，
故答案为：30．
13．（5分）（2021春 夏津县期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝ ﹣a+b+c ．
解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a+c﹣a﹣b＝﹣a+b+c．
故答案为：﹣a+b+c．
14．（5分）（2021 海淀区校级开学）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与x轴交于点B，x轴上一点C（2，0），使得S△ABC＝6，则点B的坐标为
（6，0）或（﹣2，0） ．
解：依照题意画出图形，如图所示.
∵S△ABC＝ BC yA＝ BC 3＝6，
∴BC＝4．
又∵点C的坐标为（2，0），
∴点B的坐标为（2+4，0）或（2﹣4，0），
即（6，0）或（﹣2，0）．
故答案为：（6，0）或（﹣2，0）．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2021春 秦都区月考）用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
证明：假设△ABC的三个外角中至少有两个直角，
则△ABC的三个内角中至少有两个直角，不妨设∠B＝∠C＝90°，
所以∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
16．（8分）（2021春 曹县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠DAC，∠C＝2∠B，求∠ADB的度数．
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝2∠B，
设∠DAC＝x，则∠BAD＝∠B＝x，∠C＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠DAC＝36°，∠C＝72°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝36°+72°＝108°．
17．（8分）（2021春 番禺区校级期中）在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为A（4，1），B（1，﹣2），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy，线段BC，写出点C的坐标；
（2）求出以A，B，O为顶点的三角形的面积．
解：（1）平面直角坐标系如图所示：
C（1，0）；
（2）S△AOB＝3×4﹣×1×4﹣×1×2﹣×3×3＝．
18．（8分）（2021春 广陵区校级期末）（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．
理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠ C （
两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴ ∠ABE＝∠A （
等量代换 ）．
∴BC∥AD（
内错角相等，两直线平行 ）．
（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
（1）证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠ABE＝∠A（等量代换），
∴BC∥AD
（内错角相等，两直线平行）；
（2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC∥AD，则AB∥CD，它是真命题，
证明：∵BC∥AD，（已知），
∴∠ABE＝∠A（两直线平行，内错角相等），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠ABE＝∠C（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
19．（10分）（2021春 淮阳区校级期末）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线．
（1）若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的大小；
（2）请说明∠BAC＞∠B．
解：（1）∵∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠ACE﹣∠BAC＝150°﹣100°＝50°；
（2）∵CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵∠BAC是△ACD的外角，
∴∠BAC＞∠ACD，
∴∠BAC＞∠ECD，
∵∠ECD是△BCD的外角，
∴∠ECD＞∠B，
∴∠BAC＞∠B．
20．（10分）（2021春 新乡期末）在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，AD＝3，DE＝2．
（1）若AE的长为偶数，求△ADE的周长；
（2）如图，若∠BDE＝130°，∠A＝40°，求∠ACB的度数．
解：（1）∵在△ABC中，AD＝3，DE＝2，
∴3﹣2＜AE＜3+2，即1＜AE＜5，
∵AE的长为偶数，
∴AE的长为2或4，
∴当AE＝2时，△ADE的周长为7；当AE＝4时，△ADE的周长为9，
∴△ADE的周长为7或9；
（2）∵∠BDE是△ADE的外角，
∴∠AED＝∠BDE﹣∠A＝130°﹣40°＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED＝90°．
21．（12分）（2021春 靖江市月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，
又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，
∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，
即BE＝AE+AC，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴10﹣AE＝AE+6，
∴AE＝2cm．
（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程
①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．
解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．
故AE长为1cm或3cm．
22．（12分）（2021春 邗江区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，AE平分∠DAC．
（1）若∠ADC＝116°，∠C＝26°，求∠BAE的度数．
（2）若∠ADC＝m°，∠C＝n°，请探求∠BAE的度数与∠ADC、∠C度数之间的关系（用含m、n的代数式表示）．
解：（1）∵∠B＝90°，∠C＝26°，
∴∠BAC＝64°，
∵∠ADC＝116°，
∴∠BAD＝26°，
∴∠DAC＝64°﹣26°＝38°，
∵AE是∠DAC的角平分线，
∴∠DAE＝19°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝26°+19°＝45°；
（2）∵∠B＝90°，∠C＝n°，
∴∠BAC＝90°﹣n°，
∵∠ADC＝m°，
∴∠BAD＝m°﹣90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝（90°﹣n°）﹣（m°﹣90°），
∵AE是∠DAC的角平分线，
∴∠DAE＝DAC＝（180°﹣n°﹣m°），
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝m°﹣90°+（180°﹣n°﹣m°）＝m°﹣n°．
23．（14分）（2021 朝阳区校级开学）如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．
（1）当∠B＝35°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；
（2）若∠B＝α，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不用说明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD）
（3）如图2，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（35°+75°）＝70°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝．
∴∠FED＝∠B+∠BAE＝35°+35°＝70°．
∵FD⊥BC，
∴∠EDF＝90°．
∴∠EFD＝180°﹣∠EDF﹣∠FED＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
（3）成立，理由如下：
由（2）知：∠FED＝∠B+∠BAE＝90°+，∠EDF＝90°．
∴∠EFD＝180°﹣（∠FED+∠EDF）＝180°﹣（90°++90°）＝．
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第13章
三角形中的边角关系、命题与证明
单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2021春 高明区期末）若一个三角形的两边长分别为5和9，则第三边长可能是（ ）
A．4
B．11
C．14
D．16
2．（4分）（2021春 道外区期末）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
3．（4分）（2021春 滦南县期末）如图，△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线．若△ABD的周长为35，则△BCD的周长是（ ）
A．20
B．24
C．26
D．29
4．（4分）（2021 孝义市二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4分）（2021春 东阳市期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，先假设（ ）
A．每个内角都小于60°
B．每个内角都大于60°
C．没有一个内角小于等于60°
D．每个内角都等于60°
6．（4分）（2021春 深圳期中）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1
B．1.5
C．2
D．3
7．（4分）（2021 南岗区校级开学）已知三角形的三个内角的度数比为2：3：4，则它的最大外角的度数为（ ）
A．80°
B．140°
C．100°
D．120°
8．（4分）（2020秋 长清区期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．三角形的外角大于任一内角
D．直角三角形的两锐角互余
9．（4分）（2021 遵化市模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1＝（ ）
A．45°
B．60°
C．65°
D．75°
10．（4分）（2021春 金山区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（ ）
A．90°﹣n°
B．90°+n°
C．45°+n°
D．180°﹣n°
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2021 南岗区校级开学）在△ABC中，∠B＝35°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，∠DCA＝75°，则∠DAE的度数为
．
12．（5分）（2021春 金坛区期末）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若△BEF的面积是4，则△ABC的面积是
．
13．（5分）（2021春 夏津县期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝
．
14．（5分）（2021 海淀区校级开学）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与x轴交于点B，x轴上一点C（2，0），使得S△ABC＝6，则点B的坐标为
．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2021春 秦都区月考）用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
16．（8分）（2021春 曹县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠DAC，∠C＝2∠B，求∠ADB的度数．
17．（8分）（2021春 番禺区校级期中）在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为A（4，1），B（1，﹣2），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy，线段BC，写出点C的坐标；
（2）求出以A，B，O为顶点的三角形的面积．
18．（8分）（2021春 广陵区校级期末）（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．
理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠
（
）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴
（
）．
∴BC∥AD（
）．
（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
19．（10分）（2021春 淮阳区校级期末）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线．
（1）若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的大小；
（2）请说明∠BAC＞∠B．
20．（10分）（2021春 新乡期末）在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，AD＝3，DE＝2．
（1）若AE的长为偶数，求△ADE的周长；
（2）如图，若∠BDE＝130°，∠A＝40°，求∠ACB的度数．
21．（12分）（2021春 靖江市月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
22．（12分）（2021春 邗江区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，AE平分∠DAC．
（1）若∠ADC＝116°，∠C＝26°，求∠BAE的度数．
（2）若∠ADC＝m°，∠C＝n°，请探求∠BAE的度数与∠ADC、∠C度数之间的关系（用含m、n的代数式表示）．
23．（14分）（2021 朝阳区校级开学）如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．
（1）当∠B＝35°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；
（2）若∠B＝α，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不用说明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD）
（3）如图2，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
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