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一次方程与方程组
单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2021春 金坛区期末）若是方程ax﹣2y＝6的解，则a的值是（ ）
A．﹣4
B．4
C．3
D．﹣3
2．（4分）（2021春 射洪市期末）已知下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．（4分）（2021春 射洪市期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．由a＝b，得4+a＝4﹣b
B．如果2x＝3y，那么
C．由mx＝my，得x＝y
D．如果3a＝6b﹣1，那么a＝2b﹣1
4．（4分）（2020秋 章贡区期末）若关于x的方程＝5与kx﹣1＝15的解相同，则k的值为（ ）
A．8
B．6
C．﹣2
D．2
5．（4分）（2021 太原二模）《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作，全书分为九章，在第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭大雁同时起飞，问经过多少天相逢．利用方程思想解决这一问题时，设经过x天相遇，根据题意列出的方程是（ ）
A．（9﹣7）x＝1
B．（9+7）x＝1
C．（+）x＝1
D．（﹣）x＝1
6．（4分）（2021 安徽模拟）受疫情影响，某公司2月份产值相比1月份下降80%，3月份开始回暖，达到1月份产值的70%，设该公司3月份相比2月份增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（ ）
A．80%（1+x）＝70%
B．（1﹣80%）（1+x）＝70%
C．1﹣80%+x＝70%
D．（1﹣80%）x＝70%
7．（4分）（2021 沙坪坝区校级开学）假期到了，15名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（ ）
A．4种
B．3种
C．2种
D．1种
8．（4分）（2021春 博兴县期末）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果：
胜
负
合计
场数
y
10
积分
2x
16
表中x，y满足的二元一次方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）（2021春 玉田县期末）如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的值分别为（ ）
A．m＝4，n＝4
B．m＝8，n＝4
C．m＝4，n＝12
D．m＝12，n＝4
10．（4分）（2021 香坊区校级开学）将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形改变拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120m2
B．135m2
C．108m2
D．96m2
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2021春 玉屏县期末）关于x的方程2（x﹣1）﹣a＝0的解是2，则a的值为
．
12．（5分）（2021春 闵行区期末）如果两个数的和是17，它们的差是11，那么这两个数的积是
．
13．（5分）（2021春 曾都区期末）解二元一次方程组有一种较简便的方法是先消去y，②×3﹣①×2化简得x＝
．
14．（5分）（2021 分宜县校级模拟）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则所列方程为
．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2021春 玉屏县期末）解方程（组）：
（1）﹣＝1；
（2）．
16．（8分）（2021春 嘉定区期中）甲每天加工零件80个，甲加工3天后，乙也加入加工同一种零件，再经过5天，两人共加工这种零件1120个，问乙每天加工这种零件多少个？
17．（8分）（2021春 裕华区校级期末）已知关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+2＝7﹣x的解相同，试求a的值．
18．（8分）（2021春 昆明期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？
19．（10分）（2017 鹿城区校级二模）为准备趣味跳绳比赛，王老师花100元买了若干条跳绳，已知商店里的跳绳规格与价格如下表：
规格
A型
B型
C型
跳绳长度（米）
4
8
12
价格（元/条）
4
6
9
（1）若购买了三种跳绳，其中B型跳绳和C型跳绳的条数同样多，且所有跳绳的总长度为120米，求购买A型跳绳的条数；
（2）若购买的A型跳绳有13条，则购买的所有跳绳的总长度为多少米？
20．（10分）（2021春 召陵区期末）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出的值．
21．（12分）（2021春 肇源县期末）A、B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时走60千米，一列快车从B地出发，每小时走65千米．
（1）两车同时出发相向而行，x小时相遇，可列方程
；
（2）两车同时出发相背而行，x小时后两车相距620千米，可列方程
；
（3）慢车出发1小时后快车从B地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？
22．（12分）（2021 丰台区校级开学）我们规定；若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝，则称该方程为“商解方程”．例如：2+x＝4的解为x＝2且x＝，则方程2+x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
（1）判断4+x＝是不是“商解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程6+x＝m+3是“商解方程”，求m的值．
23．（14分）（2021春 曾都区期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3）
自来水销售价格（元/m3）
污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分
a
1.10
超出6m3不超出10m3的部分
b
1.10
超出10m3的部分
7.00
1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）．
已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
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一次方程与方程组
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2021春 金坛区期末）若是方程ax﹣2y＝6的解，则a的值是（ ）
A．﹣4
B．4
C．3
D．﹣3
解：把代入二元一次方程ax﹣2y＝6中，
可得：2a﹣2＝6，
解得：a＝4，
故选：B．
2．（4分）（2021春 射洪市期末）已知下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解：根据一元一次方程定义可知：
下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有②⑤．
故选：A．
3．（4分）（2021春 射洪市期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．由a＝b，得4+a＝4﹣b
B．如果2x＝3y，那么
C．由mx＝my，得x＝y
D．如果3a＝6b﹣1，那么a＝2b﹣1
解：A、由a＝b，等式左边加上4，等式的右边也应该加上4，等式才会仍然成立，故此选项不符合题意；
B、如果2x＝3y，等式的左右两边同时乘以﹣3，可得﹣6x＝﹣9y，等式的左右两边同时加上2，可得2﹣6x＝2﹣9y，等式的左右两边同时除以3，可得，故此选项符合题意；
C、由mx＝my，当m≠0时，等式左右两边同时除以m，可得x＝y，故此选项不符合题意；
D、由3a＝6b﹣1，等式左右两边同时除以3，可得a＝2b﹣，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．（4分）（2020秋 章贡区期末）若关于x的方程＝5与kx﹣1＝15的解相同，则k的值为（ ）
A．8
B．6
C．﹣2
D．2
解：＝5，
∴2x﹣1＝15，
∴x＝8；
把x＝8代入第二个方程得：8k﹣1＝15，
解得：k＝2．
故选：D．
5．（4分）（2021 太原二模）《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作，全书分为九章，在第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭大雁同时起飞，问经过多少天相逢．利用方程思想解决这一问题时，设经过x天相遇，根据题意列出的方程是（ ）
A．（9﹣7）x＝1
B．（9+7）x＝1
C．（+）x＝1
D．（﹣）x＝1
解：∵今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海，
∴野鸭每天飞行的路程为两地间的距离的，大雁每天飞行的路程为两地间的距离的．
设经过x天相遇，
依题意得：（+）x＝1．
故选：C．
6．（4分）（2021 安徽模拟）受疫情影响，某公司2月份产值相比1月份下降80%，3月份开始回暖，达到1月份产值的70%，设该公司3月份相比2月份增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（ ）
A．80%（1+x）＝70%
B．（1﹣80%）（1+x）＝70%
C．1﹣80%+x＝70%
D．（1﹣80%）x＝70%
解：根据题意知：（1﹣80%）（1+x）＝70%．
故选：B．
7．（4分）（2021 沙坪坝区校级开学）假期到了，15名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（ ）
A．4种
B．3种
C．2种
D．1种
解：设租住2人间x间，3人间y间，
依题意得：2x+3y＝15，
∴y＝5﹣x．
又∵x，y均为非负整数，
∴或或，
∴她们有3种租住方案．
故选：B．
8．（4分）（2021春 博兴县期末）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果：
胜
负
合计
场数
y
10
积分
2x
16
表中x，y满足的二元一次方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意得：，
故选：B．
9．（4分）（2021春 玉田县期末）如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的值分别为（ ）
A．m＝4，n＝4
B．m＝8，n＝4
C．m＝4，n＝12
D．m＝12，n＝4
解：由图可得，
，
解得，
故选：C．
10．（4分）（2021 香坊区校级开学）将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形改变拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120m2
B．135m2
C．108m2
D．96m2
解：设每个小长方形的长为xm，宽为ym，
依题意得：，
解得：，
∴每个小长方形的面积＝15×9＝135（m2）．
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2021春 玉屏县期末）关于x的方程2（x﹣1）﹣a＝0的解是2，则a的值为
2 ．
解：∵关于x的方程2（x﹣1）﹣a＝0的解是2，
∴2（2﹣1）﹣a＝0，
解得，a＝2．
故答案是：2．
12．（5分）（2021春 闵行区期末）如果两个数的和是17，它们的差是11，那么这两个数的积是
42 ．
解：设较大的数为x，较小的数为y，
由题意得：，
解得：，
∴xy＝14×3＝42，
故答案为：42．
13．（5分）（2021春 曾都区期末）解二元一次方程组有一种较简便的方法是先消去y，②×3﹣①×2化简得x＝ ．
解：②×3，得81x﹣12y＝57．
①×2，得26x﹣12y＝50．
∴②×3﹣①×2，得55x＝7．
∴x＝．
故答案为：．
14．（5分）（2021 分宜县校级模拟）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则所列方程为
2×800x＝1000（26﹣x） ．
解：设安排x名工人生产螺栓，
根据题意得，2×800x＝1000（26﹣x）．
故答案为：2×800x＝1000（26﹣x）．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2021春 玉屏县期末）解方程（组）：
（1）﹣＝1；
（2）．
解：（1）﹣＝1，
去分母，得3（x+2）﹣2（2x﹣3）＝12，
去括号，得3x+6﹣4x+6＝12，
移项，得3x﹣4x＝12﹣6﹣6，
合并同类项，得﹣x＝0，
解得x＝0；
（2），
①+②，得7x＝21，
解得x＝3，
把x＝3代入②，得15+3y＝18，
解得y＝1，
故方程组的解为．
16．（8分）（2021春 嘉定区期中）甲每天加工零件80个，甲加工3天后，乙也加入加工同一种零件，再经过5天，两人共加工这种零件1120个，问乙每天加工这种零件多少个？
解：设乙每天加工这种零件x个，根据题意可得：
80×3+5（80+x）＝1120，
解得：x＝96，
答：乙每天加工这种零件96个．
17．（8分）（2021春 裕华区校级期末）已知关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+2＝7﹣x的解相同，试求a的值．
解：解方程4x+2＝7﹣x得：x＝1，
∵方程4x+2＝7﹣x的解与方程3x﹣7＝2x+a的解相同，
把x＝1代入方程3x﹣7＝2x+a中得：3﹣7＝2+a，
解得：a＝﹣6．
18．（8分）（2021春 昆明期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？
解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
依题意，得：，
解得：，
答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈．
19．（10分）（2017 鹿城区校级二模）为准备趣味跳绳比赛，王老师花100元买了若干条跳绳，已知商店里的跳绳规格与价格如下表：
规格
A型
B型
C型
跳绳长度（米）
4
8
12
价格（元/条）
4
6
9
（1）若购买了三种跳绳，其中B型跳绳和C型跳绳的条数同样多，且所有跳绳的总长度为120米，求购买A型跳绳的条数；
（2）若购买的A型跳绳有13条，则购买的所有跳绳的总长度为多少米？
解：（1）设购买的A型跳绳x条，B型跳绳和C型跳绳的条数为y条，可得：，
可得：，
答：购买A型跳绳的条数为10条；
（2）当购买的A型跳绳有13条，设B型跳绳和C型跳绳的条数为a条，
可得：，
解得：a≤3.2，
∵a＞0，且为整数，
∴a＝3最大，
所以购买的所有跳绳的总长度为13×4+8×3+12×3＝112．
答：购买的所有跳绳的总长度为112米．
20．（10分）（2021春 召陵区期末）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出的值．
解：依题意，是方程②的解；是方程①的解，
∴，
解得，
∴．
21．（12分）（2021春 肇源县期末）A、B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时走60千米，一列快车从B地出发，每小时走65千米．
（1）两车同时出发相向而行，x小时相遇，可列方程 60x+65x＝480 ；
（2）两车同时出发相背而行，x小时后两车相距620千米，可列方程 60x+65x+480＝620 ；
（3）慢车出发1小时后快车从B地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？
解：（1）由题意可得：60x+65x＝480；
故答案为：60x+65x＝480；
（2）由题意可得：60x+65x+480＝620，
故答案为：60x+65x+480＝620；
（3）设快车出发y小时后追上慢车，根据题意可得：
65y＝60（y+1）+480
解得：y＝108，
答：快车出发108小时后追上慢车．
22．（12分）（2021 丰台区校级开学）我们规定；若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝，则称该方程为“商解方程”．例如：2+x＝4的解为x＝2且x＝，则方程2+x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
（1）判断4+x＝是不是“商解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程6+x＝m+3是“商解方程”，求m的值．
23．（14分）（2021春 曾都区期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3）
自来水销售价格（元/m3）
污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分
a
1.10
超出6m3不超出10m3的部分
b
1.10
超出10m3的部分
7.00
1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）．
已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
解：（1）由题意得：，
解得：；
（2）2.50+4.50＝7.00，
则6×2.5+（10﹣6）×4.5+（12.5﹣10）×7.00+12.5×1.10＝64.25（元），
答：小红家七月份应缴水费64.25元；
（3）设小聪家四月份的用水量为xm3，则五月份的用水量为（20﹣x）m3．
∵x＜20﹣x，
∴x＜10，
即四月份的用水量低于10m．
①当0＜x≤6时，缴费总量为：2.50x+6×2.50+4×4.50+（20﹣x﹣10）×7.00+20×1.10＝89，
解得x＝8＞6，不合题意，舍去；
②当6＜x＜10时，缴费总量为：6×2.50+（x﹣6）×4.50+6×2.50+4×4.50+（20﹣x﹣10）×7.00+20×1.10＝89，
解得：x＝9.6，
此时20﹣x＝10.4，符合题意；
答：小聪家四月份的用水量为9.6m3，五月份的用水量为10.4m3．
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