2021-2022学年苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷（word版有答案）

2021-2022学年苏科新版八年级上册数学《第3章
勾股定理》单元测试卷
一．选择题
1．以a、b、c三边长能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝3
B．a＝32，b＝42，c＝52
C．a＝，b＝，c＝
D．a＝5，b＝6，c＝7
2．下列各图中，∠1＝∠2的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（　　）
A．3个
B．4个
C．6个
D．8个
4．下列是勾股数的一组是（　　）
A．1，3，4
B．3，4，5
C．4，5，6
D．5，7，12
5．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（　　）
A．30厘米
B．40厘米
C．50厘米
D．以上都不对
6．已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ABC中，直角三角形有（　　）
（1）a＝，b＝，c＝；（2）a2＝（b+c）（b﹣c）；（3）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（4）a＝7，b＝24，c＝25；
（5）a＝2，b＝2，c＝4．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
7．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　）
A．
B．0.8
C．3﹣
D．
8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（　　）
A．9
B．36
C．27
D．34
9．如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．25°
B．35°
C．55°
D．65°
二．填空题
10．若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是　
　．
11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于　
　时，这个三角形为直角三角形．
12．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为　
　．
13．在△ABC中，AB边上的中线CD＝3，AB＝6，BC+AC＝8，则△ABC的面积为　
　．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中共有　
　个直角三角形．
15．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图（如图），可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值是　
　．
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝　
　．
17．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是　
　．
18．已知∠AOB＝30°，点D在OA上，OD＝，点E在OB上，DE＝2，则OE的长是　
　．
19．如图，面积为1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1＝90°，以OA2为斜边在△OA1A2外部作等腰直角△OA2A3，以OA3为斜边在△OA2A3外部作等腰直角△OA3A4，以OA4为斜边在△OA3A4外部作等腰直角△OA4A5，…，连接A1A3，A2A4，A3A5，…分别与OA2，OA3，OA4，交于点C1，C2，C3，按此规律继续下去，则△OAn n的面积等于　
　．（用含正整数n的式子表示）
三．解答题
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠BCD，交AB于点E，图中哪两条线段相等？
21．求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°．
22．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．
23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC上一点，延长BC至点E使CE＝CD，连接AE、BD并延长BD交AE于点F．求证：△BEF是直角三角形．
24．阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
25．已知△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB．AF平分∠CAB，点M、N分别为AC、EF的中点，且AC＝6，BC＝8．
（1）求证：CE＝CF；
（2）求证：MN∥AB；
（3）请你连接DN，并求线段DN的长．
26．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、∵12+22≠32，
∴不符合a2+b2＝c2．
∴不能构成直角三角形．
B、∵a＝32，b＝42，c＝52，
∴a＝9，b＝16．c＝25，
∵92+162≠252，不符合a2+b2＝c2，
∴不能构成直角三角形．
C、+＝，符合a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形．
D、52+62≠72，不符合a2+b2＝c2，
∴不能构成直角三角形．
故选：C．
2．解：A选项在直角三角形中∠1与∠2互余，所以A选项错误；
B选项∠1与∠2是对顶角，∠1＝∠2，所以B选项正确；
C选项利用平行线的性质可知∠1与∠2互余，所以C选项错误；
D选项∠1与∠2互余，所以D选项错误；
故选：B．
3．解：由勾股定理得AB＝＝2，
以AB的中点为圆心，以为半径作圆与正方形网格交于6个格点，如图所示，
以6个格点为C，由圆周角定理可知，∠ACB＝90°，
则满足条件的点C共有6个，
故选：C．
4．解：A、∵12+32≠42，∴此选项不符合题意；
B、∵42+32＝52，∴此选项符合题意；
C、∵42+52≠62，∴此选项符不合题意；
D、∵52+72≠122，∴此选项不符合题意．
故选：B．
5．解：此题要分两种情况：
（1）当50是直角边时，所需木棒的长是＝10；
（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30．
故选：D．
6．解：（1）由a＝，b＝，c＝可得，a2≠b2+c2，故△ABC不是直角三角形；
（2）由a2＝（b+c）（b﹣c）可得，a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；
（3）由∠A：∠B：∠C＝3：4：5可得，∠C＝180°×＝75°＜90°，故△ABC不是直角三角形；
（4）由a＝7，b＝24，c＝25可得，c2＝a2+b2，故△ABC为直角三角形；
（5）由a＝2，b＝2，c＝4可得，a+b＝c，故不能构成三角形．
故选：A．
7．解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，
又∵CE＝3，
∴CD＝3﹣，
故选：C．
8．解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45，
45﹣9＝36．
故选：B．
9．解：如图：
∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
∵a∥b，
∴∠4+∠2＝∠3＝70°，
∵∠4＝45°，
∴∠2＝70°﹣∠4＝70°﹣45°＝25°．
故选：A．
二．填空题
10．解：设第三边为x
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得
32+42＝x2，所以x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得
32+x2＝42，所以x＝；
所以第三边的长为5或．
11．解：因为三角形为直角三角形，所以第三边等于＝．
12．解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），
故答案为：（11，60，61）．
13．解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
∵CD＝3，AB＝6，
∴AD＝DB＝3，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2＝36，
又∵AC+BC＝8，
∴AC2+2AC BC+BC2＝64，
∴2AC BC＝64﹣（AC2+BC2）＝64﹣36＝28，
又∵S△ABC＝AC BC，
∴S△ABC＝＝7．
14．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，
∴△ABC，△ADC，△CDB，△CED，△AED为直角三角形，
∴共有五个直角三角形．
15．解：设大正方形的边长为c，根据题意得：
c2＝a2+b2＝13，4×ab＝13﹣2＝11，即2ab＝11，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+11＝24，
故答案为：24．
16．解：如图1所示，当点D在线段BC上时，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．
17．解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6≤a≤16.6．
故答案为：15.6≤a≤16.6．
18．解：如图所示，过D作DF⊥OB于F，
∵∠AOB＝30°，OD＝2，
∴DF＝OD＝，OF＝3，
又∵DE＝2，
∴Rt△DEF中，EF＝1，
当点E在点F左侧时，OE＝OF﹣EF＝3﹣1＝2；
当点E'在点F右侧时，OE'＝OF+E'F＝3+1＝4；
综上所述，OE的长为2或4，
故答案为：2或4．
19．解：∵面积为1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1＝90°，
∴A1A2＝，OA1＝2，
∵以OA2为斜边在△OA1A2外部作等腰直角△OA2A3，
∴A2A3的长为1，△OA2A3的面积为，
∵以OA3为斜边在△OA2A3外部作等腰直角△OA3A4，
∴A3A4的长为，△OA3A4的面积为，
以此类推，AnAn+1的长为，△OAnAn+1的面积为＝，
∵A1O∥A2A3，
∴△A1OC1∽△A3A2C1，
∴＝＝，即S△A1OC1＝S△A1OA2＝，
同理可得，S△A2OC2＝S△A2OA3＝×＝，
…
以此类推，S△AnOCn＝S△AnOAn+1＝×＝，
故答案为：．
三．解答题
20．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
又∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BCE，
即∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE．
21．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°．
求证：∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°．
证明：假设原命题不成立，则∠A＞45°，∠B＞45°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°．
∵这与“三角形内角和等于180°”相矛盾，
∴假设不成立．
∴∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°．
22．解：利用图1进行证明：
证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，
∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，
又∵S四边形BCED＝（a+b）2，
∴ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2．
利用图2进行证明：
证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
23．证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．
∴BC＝AC，∠ACE＝∠ACB＝90°．
∵CE＝CD．
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴∠CAE＝∠CBD．
∵∠ACE＝90°．
∴∠CAE+∠E＝90°．
∴∠CBD+∠E＝90°．
∴∠BFE＝90°．
∴△BEF是直角三角形．
24．解：（1）取AB的中点P，连接PC即可如图①
∵∠ACB＝90°，P是AB的中点，
∴CP＝AB，AP＝BP＝AB，
∴AP＝PB＝CP．
∴△APC，△PBC是等腰三角形．
∴点P是边AB上的完美点.
（2）满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥
25．解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵∠CEF＝∠AED，
∴∠EAD+∠CEF＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠EAD，
∴∠CEF＝∠AFC，
∴CE＝CF；
（2）证明：如图，连接CN，
由（1）可知△CEF是等腰三角形，
∵N是EF的中点，
∴CN⊥EF，
∴△ACN是直角三角形，
∵M是AC的中点，
∴MN＝AC，
∵AM＝AC，
∴AM＝MN，
∴∠MAN＝∠MNA，
∵∠AF平分∠CAB，
∴MAN＝∠NAD，
∴∠MNA＝∠NAD，
∴MN∥AD；
（3）如图，延长CN交AB于点G，连接DN，
∵MN∥AG，且M是AC的中点，
∴N是CG的中点，
∴MN＝AG，
在Rt△CDG中，DN＝CG，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵S△ABC＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝，
∵MN＝MA＝3，
∴AG＝6，
∵AD＝＝，
∴DG＝AG﹣AD＝，
∴CG＝＝，
∴DN＝CG＝．
26．解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（18﹣x）2＝x2+36，
解得x＝8；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝36+（18﹣x）2，
解得x＝10，
综上所述，BN＝8或10．