24.4一元二次方程的应用 解答专项练习 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《24.4一元二次方程的应用》解答专项练习（附答案）
1．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　
　．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　
　．
（2）请写出一种完整的解答过程．
2．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为　
　；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：　
　．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为　
　元；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利　
　元，平均每天可售出　
　件（用含x的代数式进行表示）；
（3）请列出方程，求出x的值．
4．一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．
5．在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少？
解：设修建的路宽应为　
　米，余下的面积表示为　
　米2，则根据题意得：　
　．
6．某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？
7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
8．太原市是山西省政府命名的“山西省园林城市”，从2018年起，我市围绕“一核”“三圈”，以“两个百万亩森林建设”为重点建设十大骨干工程，到2018年底，林地面积约350万亩，为持续保护和改善生态环境，建设整洁、优美、宜居的现代化城市，再现锦绣太原城盛景，经过两年的努力，到2020年底我市林地面积约423.5万亩．
（1）求这两年林地面积的年平均增长率；
（2）若要实现到2021年底林地面积至少为508.2万亩的目标，求2021年林地面积的增长率不低于多少．
9．第十四届全运会将于2021年9月15日至9月27日在陕西举行，铁一中分校学生为了迎接这一盛事，亲自设计并生产一种“铁一迎全运”的纪念徽章，并将这种纪念徽章在网上进行销售．平均每天可售出30枚，每枚盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，现采取了降价措施，在每枚盈利不少于32元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2枚，若每枚商品降价a（a为正数）元．
（1）用含a的代数式表示平均每天销售的数量，并写出a的取值范围；
（2）若该网店每天销售利润为2100元时，求a的值．
10．新冠病毒肆虐全球，在以习近平为核心的党中央的英明领导下，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性有效性均非常高的疫苗．今年七月，国家发布通知，12﹣17岁未成年人也可接种新冠疫苗，海航医院为某镇定点疫苗接种医院，第一批未成年人接种疫苗时间定为8月1日至8月3日．
（1）已知在海航医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，两种疫苗每天按定量接种．其中，“智飞”疫苗可供接种3天；“科兴”疫苗可供接种2天，“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，则海航医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗各多少支？
（2）疫情情况直接影响各企业生产与销售情况，某镇某家具厂有甲、乙两个车间，甲车间生产一种实木椅子，乙车间生产一种实木床．今年6月，该厂生产的椅子数量为床的数量的20倍，椅子售价为每把75元，床售价为每个1000元．今年7月，椅子的生产数量比6月少a%，床的生产数量比6月少4a%．在售卖这批产品时，椅子价格不变，床的价格比6月增加a%．全部售完后，发现7月生产的产品销售额比6月生产的产品销售额少a%，求a的值．
11．某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有121名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？
12．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
13．已知A、B两地的高速公路总长为348km，货物运输车的行驶速度为80km/h．
（1）若货物的公路运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地经高速公路运输到B地，运输成本为每千米2元，总运输费用为870元，那么它的时间成本是每小时多少元？
（2）“大升”快递公司有一批货物（不超过10车）需要先从A地经高速公路运输到B地，再从B地经铁路运输到C市，共需运费9720元．其中从A地到B地的每车运输费用与（1）相同，从B地到C市的铁路运输费用对不超过10车的货物计费为：一车900元，当货物增加一车时，每车的运费减少30元．问这批货物有几车？
14．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200%．
（1）该品牌粽子每个售价为5元，则每天出售多少个？
（2）该品牌粽子定价为多少元时，该超市每天的销售利润为800元．
（3）该超市每天的销售利润能否达到1000元，若能，请求出该品牌每个粽子的售价，若不能，请说明理由．
15．中秋来临之际，重百超市看准商机，连续两周进行节日大促销活动，该超市从厂家购进A，B两种月饼进行销售，每周都用25000元购进250盒A种月饼和150盒B种月饼．重百超市在第一周销售时，每盒A种月饼的售价比每盒B种月饼的售价的2倍少10元，且两种月饼在一周之内全部售完，总盈利为5000元．
（1）求重百超市在第一周销售B种月饼每盒多少元？
（2）重百超市在第二周销售时，受到各种因素的影响，每盒A种月饼的售价比第一周A种月饼的售价每盒增加了m%，但A种月饼的销售盒数比第一周A种月饼的销售盒数下降了m%；每盒B种月饼的售价比第一周B种月饼的售价每盒下降了m%，但B种月饼的销售盒数与第一周B种月饼的销售盒数相同，结果第二周的总销售额为30000元，求m的值．
16．新冠疫情结束后，旅游市场全面复苏．“清新闽东北、健康武夷山”区域旅游吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数，在该方法实施过程中发现：每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这种情况下，如果要保证每周3000万元的门票收入，那么每周应限定旅游人数是多少人？门票价格应是多少元？
17．2020东京奥运会于今年7月23日至8月8日举行，奥林匹克官方旗舰店在7月份推出了A和B两款奥运吉祥物公仔．7月份，两款公仔共售出了1500个，其中B款的销量不低于A款销量的2倍．
（1）7月份，店家卖出的B款公仔至少有多少个？
（2）已知7月份，A款的价格为56元/个，B款的价格为50元/个，且B款的销量恰好为（1）中的最小值，8月份为了提高销量，A款的售价比7月份的售价下降了a%，销量与7月份相同；B款的售价比7月份的售价下降了a%，销量比7月份增加了a%，结果8月份两款公仔的总销售额为78000元，求a的值．
18．某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2019年投入5000万元，预计2021年投入7200万元，求教育经费的年平均增长率为多少．
19．临近开学，小明同学前往文具店购买学习用品，已知笔记本的销售单价比圆珠笔的销售单价高3元，小明购买了5个笔记本和3支圆珠笔共花费55元．
（1）请问笔记本和圆珠笔的销售单价分别是多少元？
（2）已知八月文具店共销售笔记本600本，圆珠笔400支．九月文具店推出文具促销活动：笔记本的销售单价增加了a%，圆珠笔的销售单价减少了a%，结果九月份笔记本的销量比八月份减少了a%，圆珠笔的销量比八月份增加了a%，且笔记本和圆珠笔九月份的销售总额比八月份的销售总额增加了a%，求a的值．
20．九月份即将迎来新的一学年，重庆某小学将迎来新一批一年级同学，文具盒是同学们入学的必备学习
用具，为此蓝田书店8月底购进一批甲、乙两款文具盒，共花费了1840元，甲款比乙款多20个，其
中每个甲款文具盒进价20元，每个乙款文具盒进价16元，进行试销售，很快全部销售完毕，已知每
个乙款文具盒售价为24元．
（1）求购进甲、乙两款文具盒各多少个？
（2）开学后，蓝田又购入第二批甲、乙两款文具盒并进行促销活动，在促销期间，每个甲款文具盒在进价的基础上提高（a+10）%销售，每个乙款文具盒在第一批售价的基础上降低a%销售，结果在促销活动中，甲款文具盒的销售量比第一批甲款销售量降低了a%，乙款文具盒的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活动共获利520元，求a的值．
参考答案
1．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
2．解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元．
根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；
（2）方法1：设每千克特产应降价x元．
根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特产应定价54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，
答：每千克特产应定价54元．
3．解：（1）20×45＝900，
故答案为：900；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，
故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；
（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，
解得：x1＝10，x2＝30．
因尽快减少库存，故x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
4．解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm，由题意得，
（4﹣2x）（3﹣2x）＝4×3×，
整理得：2x2﹣7x+3＝0，
5．解：设修建的路宽为x米．余下的面积表示为：20×30﹣（30x+20x﹣x2）米2，
则列方程为：20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝551，
故答案为：x，20×30﹣（30x+20x﹣x2），20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝551．
6．解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4＝28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为：＝28．
故答案为：＝28．
7．解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，
根据题意，商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数，
则有w＝（20+2x）（40﹣x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250
即当x＝15时，w有最大值，为1250，
答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250．
8．解：（1）设这两年林地面积的年平均增长率为x，
依题意得：350（1+x）2＝423.5，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两年林地面积的年平均增长率为10%．
（2）设2021年林地面积的增长率为y，
依题意得：423.5（1+y）≥508.2，
解得：y≥0.2＝20%．
答：2021年林地面积的增长率不低于20%．
9．解：（1）由题意可得，
每天销售的数量为（30+2a）枚，
∵每枚盈利不少于32元，
∴a≤50﹣32，
即a≤18，
答：平均每天销售的数量为（30+2a）枚，a的取值范围是0＜a≤18；
（2）由题意可得，
（50﹣a）（30+2a）＝2100，
解得a1＝15，a2＝20，
由（1）知0＜a≤18，故a＝20不符合题意，舍去，
∴a＝15，
答：该网店每天销售利润为2100元时，a的值是15．
10．解：（1）设海航医院每天接种“智飞”疫苗x支，每天接种“科兴”疫苗y支，
依题意得：，
解得：．
答：海航医院每天接种“智飞”疫苗400支，每天接种“科兴”疫苗300支．
（2）设今年6月该厂生产实木床m个，则生产椅子20m把，
依题意得：1000（1+a%）m（1﹣4a%）+75×20m（1﹣a%）＝（1000m+75×20m）（1﹣a%），
整理得：a2﹣10a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
11．解：设平均一名同学传染了x名同学，
根据题意得，1+x+（1+x）x＝121，
解得，x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
答：平均一名同学传染了10名同学．
12．解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
13．解：（1）设它的时间成本是x元/时，
依题意得：2×348+x＝870，
解得：x＝40．
答：它的时间成本是40元/时．
（2）设这批货物有y车，则每车的运费为900﹣30（y﹣1）＝（930﹣30y）元，
依题意得：（870+930﹣30y）y＝9720，
整理得：y2﹣60y+324＝0，
解得：y1＝6，y2＝54（不合题意，舍去）．
答：这批货物有6车．
14．解：（1）500﹣10×10＝400（个），
答：每天出售400个；
（2）设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元，
根据题意得：（x﹣3）（500﹣10×）＝800，
解得x1＝7，x2＝5，
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%，即x≤6，
∴x＝5，
∴定价为5元时，每天的利润为800元；
（3）不能．
理由：设每个粽子的定价为m元，则每天的利润为w，则有：
w＝（m﹣3）（500﹣10×）
＝（m﹣3）（500﹣100m+400）
＝﹣100（m﹣3）（m﹣9）
＝﹣100（m2﹣12m+27）
＝﹣100[（m﹣6）2﹣9]
＝﹣100（m﹣6）2+900，
∵二次项系数为﹣100＜0，m≤6，
∴当定价为6元时，每天的利润最大，最大的利润是900元，不能达到1000元．
15．解：（1）设重百超市在第一周销售A种月饼每盒x元，B种月饼每盒y元，
依题意得：，
解得：．
答：重百超市在第一周销售B种月饼每盒50元．
（2）依题意得：90（1+m%）×250（1﹣m%）+50（1﹣m%）×150＝30000，
整理得：3.75m2﹣75m＝0，
解得：m1＝20，m2＝0（不合题意，舍去）．
答：m的值为20．
16．解：设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y＝kx+b，
把（150，25）（200，20）代入y＝kx+b中得，
解得，
∴y＝﹣0.1x+40，
根据确保每周4万元的门票收入，得xy＝3000，
即x（﹣0.1x+40）＝3000，
x2﹣400x+3000＝0，
解得x1＝100，x2＝300，
把x1＝100，x2＝300分别代入y＝﹣0.1x+40中，
得y1＝30，y2＝10，
因为控制参观人数，所以取x＝300，y＝10，
答：每周应限定参观人数是10万人，门票价格应是300元/人．
17．解：（1）设7月份，店家卖出x个B款公仔，则卖出（1500﹣x）个A款公仔，
依题意得：x≥2（1500﹣x），
解得：x≥1000．
答：7月份，店家卖出的B款公仔至少有1000个．
（2）依题意得：56（1﹣a%）×（1500﹣1000）+50（1﹣a%）×1000（1+a%）＝78000，
整理得：a2﹣10a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
18．解：设教育经费的年平均增长率为x，
依题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：教育经费的年平均增长率为20%．
19．解：（1）设笔记本的销售单价为x元，圆珠笔的销售单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：笔记本的销售单价为8元，圆珠笔的销售单价为5元．
（2）依题意得：8（1+a%）×600（1﹣a%）+5（1﹣a%）×400（1+a%）＝（8×600+5×400）（1+a%），
整理得：16a﹣0.32a2＝0，
解得：a1＝50，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为50．
20．解：（1）设购进甲款文具盒x个，乙款文具盒y个，
依题意得：，
解得：．
答：购进甲款文具盒60个，乙款文具盒40个．
（2）依题意得：20（a+10）%×60（1﹣a%）+[24（1﹣a%）﹣16]×40×（1+25%）＝520，
整理得：4.8a﹣0.12a2＝0，
解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为40．