24.3一元二次方程根与系数的关系 同步提升练习题 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《24.3一元二次方程根与系数的关系》
同步提升练习题（附答案）
一．选择题
1．已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣3
D．4
2．若a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2a2+3ab+8b﹣2a的值为（　　）
A．39
B．45
C．﹣35
D．﹣41
3．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．7
B．
C．3
D．
4．已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则＝（　　）
A．
B．2
C．3
D．9
5．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则m2﹣m+n的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为（　
）
A．4
B．9
C．12
D．15
7．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25
B．﹣24
C．35
D．36
8．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值是（　　）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2023
9．设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（　　）
A．9
B．﹣9
C．1
D．﹣1
二．填空题
10．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则的值为
　
　．
11．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x12+x1﹣2）（x22+x2﹣2）的值为
　
　．
12．已知m、n是方程x2+2021x﹣2＝0的两个根，则（m2+2020m﹣3）（n2+2022n﹣1）＝　
　．
13．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　
　．
14．若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝　
　．
二．填空题
15．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若（α+1）（β+1）＝1，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
19．已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．
（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．
20．已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）试判断方程根的情况；
（2）若方程的两根x1，x2满足x1 x2＞1，n＝1，求m的取值范围．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个根为x1，x2，且满足，求k的值
参考答案
1．解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴m2＝﹣3m+1，
∴m2+4m+n＝﹣3m+1+4m+n＝m+n+1，
∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0两根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2﹣m+n＝m+n+1＝﹣3+1＝﹣2．
故选：A．
2．解：∵a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，
∴a2﹣5a﹣1＝0，a+b＝5，ab＝﹣1，
∴a2＝5a+1，
∴2a2+3ab+8b﹣2a
＝2（5a+1）+3ab+8b﹣2a
＝8（a+b）+3ab+2
＝40﹣3+2
＝39，
故选：A．
3．解：∵方程x2+x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣1）2﹣2×1（﹣3）＝7．
故选：A．
4．解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，
∴x≠0．
将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2得6（）2+2021+3＝0．
∵xy≠1，即y≠，
∴，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解，
∴＝＝．
故选：A．
5．解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2＝2m+1，
∴m2﹣m+n＝2m+1﹣m+n＝m+n+1，
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0两根，
∴m+n＝2，
∴m2﹣m+n＝m+n+1＝2+1＝3．
故选：C．
6．解：∵α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，
∴α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，α+β＝﹣2020，αβ＝1，
∴（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）
＝（1+2020α+α2+3α）（1+2020β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
7．解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,
∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
故选：D．
8．解：∵m方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m2﹣n+2019＝﹣m+3﹣n+2019
＝﹣（m+n）+2022，
∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2﹣n+2019＝﹣（﹣1）+2022＝2023．
故选：D．
9．解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，
所以原式＝x1x2（x1+x2）
＝﹣3×（﹣3）
＝9．
故选：A．
10．解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣2，
所以原式＝＝﹣2．
故答案为﹣2．
11．解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，
∴x12+x1﹣1＝0，x22+x2﹣1＝0，
即x12+x1＝1，x22+x2＝1，
∴原式＝（1﹣2）×（1﹣2）
＝1．
故答案为1．
12．解：∵m、n是方程x2+2021x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2021，mn＝﹣2，m2+2021m﹣2＝0，n2+2021n﹣2＝0，
∴（m2+2020m﹣3）（n2+2022n﹣1）＝（m2+2021m﹣2﹣m﹣1）（n2+2021n﹣2+n+1）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝2+2021﹣1
＝2022．
故答案为：2022．
13．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
14．解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，
∴a2﹣a＝5，a+b＝1，
∴a3﹣a2＝5a，
∴a3﹣a2+5b﹣2＝5a+5b﹣2＝5（a+b）﹣2＝5×1﹣2＝3．
故答案为：3．
15．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
16．解：（i）∵方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k≤；
（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．
17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+3）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣，
即m的取值范围是m≥﹣；
（2）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∵（α+1）（β+1）＝αβ+（α+β）+1＝1，
∴m2﹣（2m+3）+1＝1，
解得，m＝3或m＝﹣1，
∵m≥﹣；
∴m的值为3．
18．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
19．解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，
∴2m＞n，
又∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×，
∴4m2＞n2，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意得|x1﹣x2|＝8，
∴（x1﹣x2）2＝64，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，
由韦达定理得：x1+x2＝2m，x1x2＝，
∴（2m）2﹣4×＝64，即＝4，
∵等腰三角形的面积是16，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝．
∴AD＝＝，
∴＝16，
∴n＝8，
代入＝4，
解得m＝4，
∴m＝4，n＝8．
20．解：（1）∵一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0，
∴Δ＝n2﹣4m×[﹣（m+n）]＝（n+2m）2≥0，
∴该方程有两个实数根；
（2）将n＝1代入方程mx2+nx﹣（m+n）＝0，得
mx2+x﹣（m+1）＝0，
∵方程的两根x1，x2满足x1 x2＞1，
∴x1 x2＝＞1，
当m＞0时，上面的不等式无解；
当m＜0时，可得﹣＜m＜0，
即m的取值范围是﹣＜m＜0．
21．（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝k+2，x1 x2＝2k，
∵，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣5，即2k﹣（k+2）+1＝k2﹣5，
∴k＝，
∴k的值为或．