2021-2022学年鲁教版九年级数学上册2.4解直角三角形 同步能力提升训练 （word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版九年级数学上册2.4解直角三角形 同步能力提升训练 （word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 513.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-07 09:06:42 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
2．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A．
B．2
C．
D．
3．如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：
①在射线AD上顺次截取AB＝BC＝a，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连接AE、BE、CE，则下列说法错误的是（ ）
A．△BCE为等边三角形
B．△ACE的面积为
C．
D．∠AEC＝3∠A
4．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，AC＝CB，sin∠ACD＝，则tan∠BDC的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．一对直角三角形纸片ABC和BCD按如图所示方式摆放．其中∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D在BC的同侧，∠ABC＝45°，tan∠DBC＝．连接AD，若AB＝5．则AD的长为
．
8．如图，在锐角△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝
．
9．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值为
．
10．课堂上小刚进行如下实践操作：第一步，将一张矩形纸片利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，然后把纸片展平；第三步，如图3，折出内侧矩形AFBC的对角线AB，并把AB沿AQ对折到AD处，则tan∠BAQ＝
．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，AD＝4CD，若∠BAC＝2∠CBD，则tanA＝
．
12．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．若AE＝5，tan∠AED＝，则CE＝
．
13．在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝2，BC＝6，则∠B的正切值为
．
14．△ABC中，AB＝AC，且高BD＝AC，则∠C的大小为
度．
15．△ABC中，AC＝2，点D为直线AB上一点，且AB＝3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为
．
16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝．点P为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为
；如图2，连接AP，作∠APQ，使得∠APQ＝∠B，PQ交AC于Q，则当BP＝11时，求AQ．
三、解答题
17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，求边AD的长．
18．如图，在△ABD中，点C为BD边中点，连接AC，点E在AC上，连接BE，若AB＝AC，tan∠BAC＝，∠BAC＝2∠EBC，BC＝，求AD的长．
19．等腰△ABC的腰AC边上的高BD＝3，且CD＝5，求tan∠ABD＝
20．如图1，将一副三角板拼在一起（图2为示意图），则∠ABD＝75°，已知AC＝6cm，求sin75°的值．（结果保留根号）
参考答案
1．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝，
∵AB＝2BD，
∴＝＝＝，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵＝＝，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，
故选：B．
2．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
3．解：由题意得AB＝BC＝BE＝CE＝a，
∴△BCE为等边三角形，故A选项正确．
∴△BCE的面积为，故B选项错误．
∵BE＝BA，∠EBC＝60°，
∴∠A＝∠BEA＝30°，
∴sinA＝sin30°＝，故C选项正确．
∴∠AEC＝∠BEA+∠BEC＝30°+60°＝90°，
∴∠AEC＝3∠A，故D选项正确．
故选：B．
4．解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，过点C作CH⊥BD于H．
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，DE⊥EC，
∴∠ACE＝∠E＝90°，
∴四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE，AC＝DE，
∵sin∠ACD＝＝，
∴可以假设AD＝3k，CD＝5k，则AC＝BC＝DE＝4k，
∴BE＝BC+CE＝7k，
∴BD＝＝＝k，
∵S△CBD＝ BC DE＝ BD CH，
∴CH＝k，
∴DH＝＝＝k，
∴tan∠BDC＝＝．
方法二：过点B作BH垂于DC交DC的延长线于点H，
设AD＝3k，CD＝5k，则AC＝BC＝4k，
∵∠H＝∠CAD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCH＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，
∴∠ACD＝∠CBH，
∴△CBH∽△DCA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝k，CH＝k，
∴DH＝CH+CD＝k+5k＝k，
tan∠BDC＝＝．
故选：C．
5．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠ADF＝90°，
∴∠BAC+∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴△ECF∽△ACB，
∴＝＝tan∠EAC＝，
∴＝，
又∵S△ECF＝1，
∴S△ABC＝9，
故选：C．
6．解：如图，作DH⊥BC于H．
∵∠A＝90°，sinB＝＝，
∴可以假设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k，
∵AC＝AD＝3k，
∴BD＝k，
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A＝90°，
∴△BHD∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DH＝k，BH＝k，
∵CH＝BC﹣BH＝5k﹣k＝k，
∴tan∠BCD＝＝＝，
故选：C．
7．解：如图，分别过点A、D作AF⊥BC、DE⊥BC，交BC于点F、E，过点D作DM⊥AF，于点M，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∠ABC＝45°，
∴AC＝AB＝5，BC＝10，
∴AF＝BF＝5，
在Rt△BCD中，
∵tan∠DBC＝，
∴BD＝6，
在Rt△BDE中，
∵tan∠DBE＝，
∴DE＝，BE＝，
∵∠DEF＝∠DMF＝∠EFM＝90°，
∴四边形DEFM是矩形，
∴DM＝EF＝BF﹣BE＝，MF＝DE＝，
∴AM＝AF﹣MF＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理，得：AD＝＝，
故答案为：．
8．解：如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．
∵cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠EAC＝∠BAC＝22.5°，
∵MA＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝22.5°，
∴∠CME＝∠MAC+∠MCA＝45°，
∴EC＝EM＝m，AM＝CM＝m，AE＝m+m，
∵∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ECF＝∠DAE＝22.5°，
∵∠DAE＝∠EAC，
∴＝，
∴DE＝ED，
∴＝＝＝tan22.5°＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
9．解：如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E＝90°．
∵EC＝＝，BE＝＝2，
∴tanB＝＝．
故答案为：．
10．解：过点Q作QH⊥AD，垂足为H，
由折叠可知，∠BAQ＝∠QAH，AB＝AD，
又∵MQ∥NH，
∴∠QAH＝∠BQA，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∴AB＝BQ，
∴四边形ADQB是菱形，
∴AB＝QD，
又∵BC＝QH，
∴△ABC≌△DQH
（HL），
∴AC＝DH，
设AC＝a＝DH，则BC＝2a＝QH，
∴AB＝＝a，
∴AH＝a+a＝（+1）a，
在Rt△AQH中，tan∠QAH＝＝＝．
即tan∠BAQ＝tan∠QAH＝．
11．解：延长AC至E，使CE＝CD，连接BE，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵CE＝CD，
∴BC是DE的垂直平分线，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠BDE，
设∠CBD＝α，则∠BAC＝2α，
∴∠E＝∠BDE＝90°﹣α，
∴∠ABE＝180°﹣∠E﹣BAC＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE，
设CD＝x，则AD＝4x，
∴AE＝AB＝6x，AC＝5x，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝x，
∴tanA＝＝．
故答案为：．
12．解：分两种情形：
当DE与AC边相交时，如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AD⊥DE．
在Rt△ADE中，tan∠AED＝．
∵tan∠AED＝，
∴．
设AD＝3k，则DE＝4k．
∴．
∵AE＝5，
∴5k＝5．
∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC，
∴AC＝6．
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣5＝1．
当DE与CA的延长线相交时，如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AD⊥DE．
在Rt△ADE中，tan∠AED＝．
∵tan∠AED＝，
∴．
设AD＝3k，则DE＝4k．
∴．
∵AE＝5，
∴5k＝5．
∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC，
∴AC＝6．
∴CE＝AC+AE＝6+5＝11．
综上，CE的长为1或11．
故答案为1或11．
13．解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，如图，
在Rt△BEC中，
∵cosC＝，
∴EC＝BC cos60°＝3．
∴BE＝．
在Rt△BEA中，
AE＝．
∴AC＝AE+EC＝3+1＝4．
在Rt△ADC中，
∵cosC＝，
∴CD＝AC cos60°＝2．
∴AD＝．
BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4．
在Rt△BAD中，tan∠B＝＝．
故答案为：．
14．解：∵BD＝AC，
∴＝．
如图1所示：在Rt△ABD中，
∵AB＝AC，sin45°＝，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝45°．
∴∠C＝＝67.5°．
如图2所示：在Rt△ABD中，
∵AB＝AC，sin45°＝，
∵sin∠BAD＝＝＝，
∴∠BAD＝45°．
∴∠C＝＝22.5°．
故答案为：67.5或22.5．
15．解：如图1，过点B作BM⊥CD，垂足为M，
∵CD⊥AC，
∴BM∥AC，
∴△DBM∽△DAC，
∴＝，
又∵AB＝3BD，AC＝2，
∴＝＝，
∴BM＝，
在Rt△BMC中，由tan∠BCM＝可得，BC＝BM＝，
如图2，过点B作BN⊥AC，交AC的延长线于N，
∵CD⊥AC，
∴BN∥CD，
∴△ADC∽△ABN，
∴＝，
又∵AB＝3BD，AC＝2，
∴＝＝，
∴CN＝，
在Rt△BNC中，由tan∠CBN＝tan∠BCD＝可得，BC＝ CN＝×＝5，
故答案为：或5．
16．解：如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝12，
又∵tanC＝＝tanB，
∴AM＝BM tanB＝12×＝5，
∴AB＝AC＝＝＝13，
如图2，在Rt△APN中，PN＝PC﹣CN＝24﹣11﹣12＝1，AN＝5，
∴AP2＝PN2+AN2＝1+25＝26，
在△APQ与△ACP中，
∵∠APQ＝∠C，∠PAQ＝∠CAP，
∴△APQ∽△ACP，
∴＝，
∴AP2＝AQ AC，
即26＝AQ×13，
∴AQ＝2，
故答案为：5，2．
17．解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．
在Rt△ABH中，tanB＝＝，
∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，
∴k＝2，
∴AH＝6，BH＝8，
∵BC＝12，
∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，
∵CD＝5，
∴DE＝3，CE＝4，
∴AE＝＝＝6，
∴AD＝AE+DE＝9．
故答案为：9．
18．解：作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC，
∴AF平分∠BAC，BF＝CF，
∴∠CAF＝∠BAC，
即2∠CAF＝∠BAC，
∵∠BAC＝2∠EBC，
∴∠CAF＝∠EBC，
∵∠CAF+∠ACF＝90°，
∴∠EBC+∠ACF＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵tan∠BAC＝，
∴设BE＝3x，则AE＝4x，
∴AB＝＝5x，
∴AC＝5x，
∴CE＝x，
∵BC＝，BE＝3x，CE＝x，
∴10＝（3x）2+x2，
解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去），
∴AC＝5x＝5，
∵∠AFC＝90°，BF＝BC＝，
∴AF＝＝，
∵点C为BD的中点，
∴FD＝+＝，
∵∠AFD＝90°，
∴AD＝＝3，
故答案为：3．
19．解：①如图1中，当△ABC是锐角三角形，CB＝CA时，
在Rt△CDB中，BC＝＝，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣5，
∴tan∠ABD＝＝．
②如图2中，当△ABC是钝角三角形，CB＝CA时，
在Rt△CDB中，BC＝AC＝＝，
∴tan∠ABD＝＝，
③如图3中，当△ABC是钝角三角形，AB＝AC时，设AB＝AC＝x，
在Rt△ADB中，x2＝32+（5﹣x）2，
∴x＝，
∴tan∠ABD＝＝，
综上所述，或或．
故答案为或或．
20．解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，如图2所示：
则AE＝CF，EF＝AC＝6cm，DE∥AC，
∴∠CDF+∠ACD＝180°，
由题意得：∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AC＝6cm，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠CBD＝30°，
∴∠ACD＝45°+90°＝135°，BC＝AC＝6（cm），CD＝BC＝2（cm），BD＝2CD＝4（cm），
∴∠DCF＝45°，
∵CF⊥DE，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴AE＝CF＝DF＝CD＝2（cm），
∴BE＝AB﹣AE＝（6﹣2）cm，
∴DE＝＝＝（6+2）cm，
∴sin75°＝sin∠ABD＝＝＝．
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
2．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A．
B．2
C．
D．
3．如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：
①在射线AD上顺次截取AB＝BC＝a，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连接AE、BE、CE，则下列说法错误的是（ ）
A．△BCE为等边三角形
B．△ACE的面积为
C．
D．∠AEC＝3∠A
4．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，AC＝CB，sin∠ACD＝，则tan∠BDC的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．一对直角三角形纸片ABC和BCD按如图所示方式摆放．其中∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D在BC的同侧，∠ABC＝45°，tan∠DBC＝．连接AD，若AB＝5．则AD的长为
．
8．如图，在锐角△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝
．
9．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值为
．
10．课堂上小刚进行如下实践操作：第一步，将一张矩形纸片利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，然后把纸片展平；第三步，如图3，折出内侧矩形AFBC的对角线AB，并把AB沿AQ对折到AD处，则tan∠BAQ＝
．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，AD＝4CD，若∠BAC＝2∠CBD，则tanA＝
．
12．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．若AE＝5，tan∠AED＝，则CE＝
．
13．在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝2，BC＝6，则∠B的正切值为
．
14．△ABC中，AB＝AC，且高BD＝AC，则∠C的大小为
度．
15．△ABC中，AC＝2，点D为直线AB上一点，且AB＝3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为
．
16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝．点P为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为
；如图2，连接AP，作∠APQ，使得∠APQ＝∠B，PQ交AC于Q，则当BP＝11时，求AQ．
三、解答题
17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，求边AD的长．
18．如图，在△ABD中，点C为BD边中点，连接AC，点E在AC上，连接BE，若AB＝AC，tan∠BAC＝，∠BAC＝2∠EBC，BC＝，求AD的长．
19．等腰△ABC的腰AC边上的高BD＝3，且CD＝5，求tan∠ABD＝
20．如图1，将一副三角板拼在一起（图2为示意图），则∠ABD＝75°，已知AC＝6cm，求sin75°的值．（结果保留根号）
参考答案
1．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝，
∵AB＝2BD，
∴＝＝＝，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵＝＝，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，
故选：B．
2．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
3．解：由题意得AB＝BC＝BE＝CE＝a，
∴△BCE为等边三角形，故A选项正确．
∴△BCE的面积为，故B选项错误．
∵BE＝BA，∠EBC＝60°，
∴∠A＝∠BEA＝30°，
∴sinA＝sin30°＝，故C选项正确．
∴∠AEC＝∠BEA+∠BEC＝30°+60°＝90°，
∴∠AEC＝3∠A，故D选项正确．
故选：B．
4．解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，过点C作CH⊥BD于H．
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，DE⊥EC，
∴∠ACE＝∠E＝90°，
∴四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE，AC＝DE，
∵sin∠ACD＝＝，
∴可以假设AD＝3k，CD＝5k，则AC＝BC＝DE＝4k，
∴BE＝BC+CE＝7k，
∴BD＝＝＝k，
∵S△CBD＝ BC DE＝ BD CH，
∴CH＝k，
∴DH＝＝＝k，
∴tan∠BDC＝＝．
方法二：过点B作BH垂于DC交DC的延长线于点H，
设AD＝3k，CD＝5k，则AC＝BC＝4k，
∵∠H＝∠CAD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCH＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，
∴∠ACD＝∠CBH，
∴△CBH∽△DCA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝k，CH＝k，
∴DH＝CH+CD＝k+5k＝k，
tan∠BDC＝＝．
故选：C．
5．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠ADF＝90°，
∴∠BAC+∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴△ECF∽△ACB，
∴＝＝tan∠EAC＝，
∴＝，
又∵S△ECF＝1，
∴S△ABC＝9，
故选：C．
6．解：如图，作DH⊥BC于H．
∵∠A＝90°，sinB＝＝，
∴可以假设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k，
∵AC＝AD＝3k，
∴BD＝k，
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A＝90°，
∴△BHD∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DH＝k，BH＝k，
∵CH＝BC﹣BH＝5k﹣k＝k，
∴tan∠BCD＝＝＝，
故选：C．
7．解：如图，分别过点A、D作AF⊥BC、DE⊥BC，交BC于点F、E，过点D作DM⊥AF，于点M，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∠ABC＝45°，
∴AC＝AB＝5，BC＝10，
∴AF＝BF＝5，
在Rt△BCD中，
∵tan∠DBC＝，
∴BD＝6，
在Rt△BDE中，
∵tan∠DBE＝，
∴DE＝，BE＝，
∵∠DEF＝∠DMF＝∠EFM＝90°，
∴四边形DEFM是矩形，
∴DM＝EF＝BF﹣BE＝，MF＝DE＝，
∴AM＝AF﹣MF＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理，得：AD＝＝，
故答案为：．
8．解：如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．
∵cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠EAC＝∠BAC＝22.5°，
∵MA＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝22.5°，
∴∠CME＝∠MAC+∠MCA＝45°，
∴EC＝EM＝m，AM＝CM＝m，AE＝m+m，
∵∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ECF＝∠DAE＝22.5°，
∵∠DAE＝∠EAC，
∴＝，
∴DE＝ED，
∴＝＝＝tan22.5°＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
9．解：如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E＝90°．
∵EC＝＝，BE＝＝2，
∴tanB＝＝．
故答案为：．
10．解：过点Q作QH⊥AD，垂足为H，
由折叠可知，∠BAQ＝∠QAH，AB＝AD，
又∵MQ∥NH，
∴∠QAH＝∠BQA，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∴AB＝BQ，
∴四边形ADQB是菱形，
∴AB＝QD，
又∵BC＝QH，
∴△ABC≌△DQH
（HL），
∴AC＝DH，
设AC＝a＝DH，则BC＝2a＝QH，
∴AB＝＝a，
∴AH＝a+a＝（+1）a，
在Rt△AQH中，tan∠QAH＝＝＝．
即tan∠BAQ＝tan∠QAH＝．
11．解：延长AC至E，使CE＝CD，连接BE，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵CE＝CD，
∴BC是DE的垂直平分线，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠BDE，
设∠CBD＝α，则∠BAC＝2α，
∴∠E＝∠BDE＝90°﹣α，
∴∠ABE＝180°﹣∠E﹣BAC＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE，
设CD＝x，则AD＝4x，
∴AE＝AB＝6x，AC＝5x，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝x，
∴tanA＝＝．
故答案为：．
12．解：分两种情形：
当DE与AC边相交时，如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AD⊥DE．
在Rt△ADE中，tan∠AED＝．
∵tan∠AED＝，
∴．
设AD＝3k，则DE＝4k．
∴．
∵AE＝5，
∴5k＝5．
∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC，
∴AC＝6．
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣5＝1．
当DE与CA的延长线相交时，如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AD⊥DE．
在Rt△ADE中，tan∠AED＝．
∵tan∠AED＝，
∴．
设AD＝3k，则DE＝4k．
∴．
∵AE＝5，
∴5k＝5．
∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC，
∴AC＝6．
∴CE＝AC+AE＝6+5＝11．
综上，CE的长为1或11．
故答案为1或11．
13．解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，如图，
在Rt△BEC中，
∵cosC＝，
∴EC＝BC cos60°＝3．
∴BE＝．
在Rt△BEA中，
AE＝．
∴AC＝AE+EC＝3+1＝4．
在Rt△ADC中，
∵cosC＝，
∴CD＝AC cos60°＝2．
∴AD＝．
BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4．
在Rt△BAD中，tan∠B＝＝．
故答案为：．
14．解：∵BD＝AC，
∴＝．
如图1所示：在Rt△ABD中，
∵AB＝AC，sin45°＝，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝45°．
∴∠C＝＝67.5°．
如图2所示：在Rt△ABD中，
∵AB＝AC，sin45°＝，
∵sin∠BAD＝＝＝，
∴∠BAD＝45°．
∴∠C＝＝22.5°．
故答案为：67.5或22.5．
15．解：如图1，过点B作BM⊥CD，垂足为M，
∵CD⊥AC，
∴BM∥AC，
∴△DBM∽△DAC，
∴＝，
又∵AB＝3BD，AC＝2，
∴＝＝，
∴BM＝，
在Rt△BMC中，由tan∠BCM＝可得，BC＝BM＝，
如图2，过点B作BN⊥AC，交AC的延长线于N，
∵CD⊥AC，
∴BN∥CD，
∴△ADC∽△ABN，
∴＝，
又∵AB＝3BD，AC＝2，
∴＝＝，
∴CN＝，
在Rt△BNC中，由tan∠CBN＝tan∠BCD＝可得，BC＝ CN＝×＝5，
故答案为：或5．
16．解：如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝12，
又∵tanC＝＝tanB，
∴AM＝BM tanB＝12×＝5，
∴AB＝AC＝＝＝13，
如图2，在Rt△APN中，PN＝PC﹣CN＝24﹣11﹣12＝1，AN＝5，
∴AP2＝PN2+AN2＝1+25＝26，
在△APQ与△ACP中，
∵∠APQ＝∠C，∠PAQ＝∠CAP，
∴△APQ∽△ACP，
∴＝，
∴AP2＝AQ AC，
即26＝AQ×13，
∴AQ＝2，
故答案为：5，2．
17．解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．
在Rt△ABH中，tanB＝＝，
∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，
∴k＝2，
∴AH＝6，BH＝8，
∵BC＝12，
∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，
∵CD＝5，
∴DE＝3，CE＝4，
∴AE＝＝＝6，
∴AD＝AE+DE＝9．
故答案为：9．
18．解：作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC，
∴AF平分∠BAC，BF＝CF，
∴∠CAF＝∠BAC，
即2∠CAF＝∠BAC，
∵∠BAC＝2∠EBC，
∴∠CAF＝∠EBC，
∵∠CAF+∠ACF＝90°，
∴∠EBC+∠ACF＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵tan∠BAC＝，
∴设BE＝3x，则AE＝4x，
∴AB＝＝5x，
∴AC＝5x，
∴CE＝x，
∵BC＝，BE＝3x，CE＝x，
∴10＝（3x）2+x2，
解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去），
∴AC＝5x＝5，
∵∠AFC＝90°，BF＝BC＝，
∴AF＝＝，
∵点C为BD的中点，
∴FD＝+＝，
∵∠AFD＝90°，
∴AD＝＝3，
故答案为：3．
19．解：①如图1中，当△ABC是锐角三角形，CB＝CA时，
在Rt△CDB中，BC＝＝，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣5，
∴tan∠ABD＝＝．
②如图2中，当△ABC是钝角三角形，CB＝CA时，
在Rt△CDB中，BC＝AC＝＝，
∴tan∠ABD＝＝，
③如图3中，当△ABC是钝角三角形，AB＝AC时，设AB＝AC＝x，
在Rt△ADB中，x2＝32+（5﹣x）2，
∴x＝，
∴tan∠ABD＝＝，
综上所述，或或．
故答案为或或．
20．解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，如图2所示：
则AE＝CF，EF＝AC＝6cm，DE∥AC，
∴∠CDF+∠ACD＝180°，
由题意得：∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AC＝6cm，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠CBD＝30°，
∴∠ACD＝45°+90°＝135°，BC＝AC＝6（cm），CD＝BC＝2（cm），BD＝2CD＝4（cm），
∴∠DCF＝45°，
∵CF⊥DE，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴AE＝CF＝DF＝CD＝2（cm），
∴BE＝AB﹣AE＝（6﹣2）cm，
∴DE＝＝＝（6+2）cm，
∴sin75°＝sin∠ABD＝＝＝．