2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学上册2.4分式方程 知识点分类提升训练（word解析版）

2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《2.4分式方程》知识点分类提升训练（附答案）
一．分式方程的定义
1．下列方程是分式方程的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列各式中，是分式方程的是（　　）
A．x+y＝5
B．
C．＝0
D．
二．分式方程的解
3．若分式方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣1
B．0
C．1
D．3
4．如果关于x的方程无解，则m的值等于（　　）
A．﹣3
B．﹣2
C．﹣1
D．3
5．关于x的分式方程＝3的解是正数，则负整数m的个数为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．若分式方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣3
C．0
D．﹣2
7．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为
　
　．
三．解分式方程
8．定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（　　）
A．
B．或10
C．10
D．或
9．分式的值比分式的值大3，则x的值为　
　．
10．解方程：﹣＝1．
11．解方程：
（1）＝2﹣；
（2）＝1．
12．解方程：+＝
13．请阅读下列材料并回答问题：
在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①
去括号，得2x﹣1＝3﹣1
②
解得x＝
检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0
③
所以x＝是原分式方程的解
④
（1）你认为小明在哪里出现了错误　
　（只填序号）
（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；
（3）写出上述分式方程的正确解法．
四．换元法解分式方程
14．用换元法解分式方程﹣+1＝0时，如果设＝y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）
A．y2+y﹣3＝0
B．y2﹣3y+1＝0
C．3y2﹣y+1＝0
D．3y2﹣y﹣1＝0
15．用换元法解分式方程＝7时，如果设y＝，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是（　　）
A．2y2﹣7y+6＝0
B．2y2+7y+6＝0
C．y2﹣7y+6＝0
D．y2+7y+6＝0
五．分式方程的增根
16．解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于（　　）
A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
17．若关于x的分式方程＝有增根，则m的值是（　　）
A．m＝﹣1
B．m＝1
C．m＝﹣2
D．m＝2
18．分式方程＝有增根，则增根为（　　）
A．0
B．1
C．1或0
D．﹣5
19．若分式方程＝2+有增根，则a的值为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．0
20．关于x的方程：﹣＝1．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
六．由实际问题抽象出分式方程
21．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A．＝
B．
C．＝﹣40
D．＝
22．某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有x名战士，则所列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
23．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了20分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的3倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（　　）
A．+20＝
B．＝+
C．＝+20
D．+＝
24．甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3x千米/时，乙的速度为4x千米/时．则所列方程是（　　）
A．
B．＝+20
C．＝
D．＝
25．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运x
kg物品，列出关于x的方程为　
　．
七．分式方程的应用
26．2020年新冠肺炎疫情影响全球，某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．则甲、乙两厂房每天各生产的口罩箱数为（　　）
A．1200，600
B．600，1200
C．1600，800
D．800，1600
27．某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（　　）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务
28．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为　
　，小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为　
　．
（2）乙型机器人每小时搬运产品　
　kg．
29．某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．
（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
30．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
31．某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动．在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得以下信息：
信息1：乙队单独完成这项工程需要60天；
信息2：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可以完成；
信息3：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？
（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
32．某工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．投标内容是：施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，试问：
（1）规定日期是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得上述三种施工方案中哪一种最节省工程款？说明理由．
33．某校初一年学生乘车到距学校40千米的社会实践基地进行社会实践．一部分学生乘旅游车，另一部分学生乘中巴车，他们同时出发，结果乘中巴车的同学晚到8分钟．已知旅游车速度是中巴车速度的1.2倍，求中巴车的速度．
参考答案
一．分式方程的定义
1．解：A、方程分母中含未知数x，故是分式方程；
B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：A．
2．解：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C、方程分母中含未知数x，故是分式方程．
D、不是方程，是分式．
故选：C．
二．分式方程的解
3．解：去分母得：x+2＝m，
由分式方程无解得到x＝﹣3，
代入整式方程得：m＝﹣1，
故选：A．
4．解：方程去分母得，2＝x﹣3﹣m
解得，x＝5+m
当分母x﹣3＝0即x＝3时方程无解
也就是5+m＝3时方程无解
则m＝﹣2
故选：B．
5．解：＝3，
2x+m＝3（x﹣2），
2x﹣3x＝﹣m﹣6，
﹣x＝﹣m﹣6，
x＝m+6，
∵关于x的分式方程＝3的解是正数，
∴m+6＞0，
解得m＞﹣6，
∴满足条件的负整数m的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，
当m＝﹣4时，解得x＝2，不符合题意；
∴满足条件的负整数m的值为﹣5，﹣3，﹣2，﹣1共4个．
故选：B．
6．解：去分母得：3x＝m+2（x+1），
解得：x＝m+2．
m+2+1＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：B．
7．解：＝2a，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x＝＝3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
三．解分式方程
8．解：若5＞x，即x＜5时，
原方程可整理得：
＝2，
方程两边同时乘以（5﹣x）得：
5＝2（5﹣x），
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的解，
且＜5，
即x＝符合题意，
若5＜x，即x＞5时，
原方程可整理得：
＝2，
方程两边同时乘以（x﹣5）得：
x＝2（x﹣5），
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
且10＞5，
即x＝10符合题意，
故选：B．
9．解：根据题意得：﹣＝3，
去分母得：x﹣3﹣1＝3x﹣6，
移项合并得：﹣2x＝﹣2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故答案为：1．
10．解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
整理得2x﹣2＝0，
解得x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，应舍去．
∴原方程无解．
11．解：（1）去分母得到：x＝4x﹣2+3，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
12．解：，
方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：x﹣1+2x+2＝4，
解得：x＝1，
经检验：把x＝1代入（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1不是原方程的根，
即原方程无解．
13．解：（1）小明在①②出现了错误；
故答案为：①②；
（2）三条注意事项：去分母时，注意方程中的每项都要乘以最简公分母；去括号时，注意正确运用去括号法则；解整式方程求出x要进行检验；
（3）正确解法为：
去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，
去括号得：2x﹣2﹣3x﹣3＝1，
移项合并得：﹣x＝6，
解得：x＝﹣6，
经检验x＝﹣6是分式方程的解．
四．换元法解分式方程
14．解：把＝y代入方程+1＝0，得：y﹣+1＝0．
方程两边同乘以y得：y2+y﹣3＝0．
故选：A．
15．解：设y＝，原方程可整理为2y+＝7，
整理得2y2﹣7y+6＝0故选：A．
五．分式方程的增根
16．解；方程两边都乘（x﹣1），得
x﹣3＝m，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝﹣2．
故选：B．
17．解：方程两边同时乘以x﹣1，得
m+1＝﹣x，
解得：x＝﹣m﹣1，
∵方程有增根，
∴x＝1，
∴﹣m﹣1＝1，
∴m＝﹣2，
故选：C．
18．解：＝，
去分母得：6x＝x+5，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根．
故选：B．
19．解：去分母得：x+1＝2x﹣8+a，
由分式方程有增根，得到x﹣4＝0，即x＝4，
把x＝4代入整式方程得：a＝5，
故选：A．
20．解：（1）当a＝3时，原方程为﹣＝1，
方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，
当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，
解得：x＝1，
将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，
解得：a＝﹣3，
综上，a的值为﹣3．
六．由实际问题抽象出分式方程
21．解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，
依题意得：＝．
故选：D．
22．解：设这个哨卡共有x名战士，
依题意，得：．
故选：B．
23．解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：
＝+．
故选：B．
24．解：设甲的速度为3x千米/时，则乙的速度为4x千米/时，
根据题意得：+＝．
故选：C．
25．解：设B型机器人每小时搬运x
kg物品，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg物品，
根据题意可得＝，
故答案为：＝．
七．分式方程的应用
26．解：设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，
依题意，得：﹣＝5，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝1200．
即甲厂房每天生产1200箱口罩，乙厂房每天生产600箱口罩，
故选：A．
27．解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，
∵所列分式方程为﹣＝30，
∴为实际工作时间，为原计划工作时间，
∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．
故选：C．
28．解：（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg产品，
依题意得：＝；
设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，
依题意得：﹣＝10．
故答案为：＝；﹣＝10．
（2）选项小华同学的思路：＝，
化简得：800x＝600x+6000，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
选择小惠同学的思路：﹣＝10，
变形得：800﹣600＝10y，
解得：y＝20，
经检验，y＝20是原方程的解，且符合题意，
∴＝30．
故答案为：30．
29．解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得．
解得x＝80．
经检验：x＝80是原分式方程的解．
∴x+20＝100．
答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．
（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．
解得m≤10．
答：最多可购买10个A种书架．
30．解：（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，
依题意，得：×＝，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝180．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，
依题意，得：15000m+12000n＝100000+140000，
∴m＝16﹣n．
又∵n≥10，且m，n均为正整数，
∴，，
∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．
31．解：（1）设：甲队单独完成这项工程需要x天．
由题意可列：
解得：x＝40
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲队单独完成这项工程需要40天；
（2）
因为：
全程用甲、乙两队合做需要：（3.5+2）×24＝132万元
单独用甲队完成这项工程需要：40×3.5＝140万元
单独用乙队完成这项工程需要：60×2＝120万元，但60＞50．
所以，全程用甲、乙两队合做该工程最省钱．
32．解：（1）设规定日期为x天．由题意得，
+＝1．
3（x+6）+x2＝x（x+6），
3x＝18，
解得：x＝6．
经检验：x＝6是原方程的根．
答：如期完工需要6天；
（2）显然，方案（2）不符合要求；
方案（1）：1.2×6＝7.2（万元）；
方案（3）：1.2×3+0.5×6＝6.6（万元）．
因为7.2＞6.6，
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
33．解：设中巴车的速度为x千米/时，则旅游车的速度为1.2x千米/时，则
﹣＝，
解得
x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：中巴车的速度是50千米/小时．