2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册2.4解直角三角形同步能力达标测评（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册2.4解直角三角形同步能力达标测评（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 571.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-07 09:26:31 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共15小题，满分45分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系式中错误的是（ ）
A．BC＝AB sinA
B．BC＝AC tanA
C．AC＝BC tanB
D．AC＝AB cosB
2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD＝（ ）
A．
B．3
C．
D．2
3．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6
B．2
C．2
D．9
5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
6．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
9．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．2
10．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
12．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．+1
B．﹣1
C．
D．
13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠AOB＝（ ）
A．
B．
C．1
D．
14．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，tan∠BCD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共4小题，满分12分）
16．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中cos∠ABC＝
．
17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD．若，则tanD＝
．
18．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝
．
19．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP＝，tan∠A＝，∠B＝120°，BC＝2，则AP＝
．
三．解答题（共11小题，满分63分）
20．通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°＝
；
（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．
21．阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB＝
∴AD＝c sinB
∴S△ABC＝a AD＝acsinB
同理：S△ABC＝absinC
S△ABC＝bcsinA
∴S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA
（1）通过上述材料证明：
＝＝
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
22．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA＝，sinB＝
∴c＝，c＝
∴＝
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
23．如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
24．已知：如图1，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝csin∠B；
在Rt△ACD中，sin∠C＝
，则AD＝
；
所以，csin∠B＝bsin∠C，即，，
进一步即得正弦定理：（此定理适合任意锐角三角形）．
参照利用正弦定理解答下题：
如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．
25．阅读下面材料：
小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，则tan22.5°＝
小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD＝CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：tan22.5°＝
．
参考小天思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等腰△ABC
中，AB＝AC，∠A＝30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．
26．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
27．已知：在Rt△ABC，∠C＝90°，D是BC边的中点，DE⊥AB于E，tanB＝，AE＝7，求DE．
28．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝
；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是
；
（3）如图，已知cosA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠BCD＝．
（1）试求sinB的值；
（2）试求△BCD的面积．
参考答案
一．选择题（共15小题，满分45分）
1．解：如图所示：
∵sinA＝，∴BC＝sinA×AB，故选项A正确；
∵tanA＝，∴BC＝tanA×AC，故选项B正确；
∵tanB＝，∴AC＝tanB×BC，故选项C正确；
∵cosB＝，∴BC＝cosB×AB≠AC，故选项D错误．
故选：D．
2．解：设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD⊥DC．
∵AC∥BD，
∴，
∴PC＝2DP，
∴AD＝DC＝3DP，
∴．
故选：B．
3．解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE＝∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则AE＝＝，AF＝＝2，EF＝＝3，
∵（）2+（3）2＝（2）2，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，
∴sin∠FAE＝＝＝，
∴sin∠BOD＝，
故选：B．
4．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝2，
故选：B．
5．解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
6．解：设AB＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
7．解：如图，过点B作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，
∵S△ABC＝AC BD＝×3 BD＝×1×3，
∴BD＝，
∴sin∠BAC＝＝＝．
故选：B．
8．解：如图所示：连接BD，
BD＝＝，
AD＝＝2，
AB＝＝，
∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tanA＝＝＝．
故选：A．
9．解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：A．
10．解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴sin∠ACH＝＝，
故选：D．
11．解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
12．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
13．解：如图，连接AB．
观察图象可知△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，AB＝OA，
∴tan∠AOB＝＝1，
故选：C．
14．解：设AC＝m，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，
∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．
故选：D．
15．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝，
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分12分）
16．解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝，
故答案为：．
17．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠ADC＝＝＝．
故答案为：．
18．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝10，
∴cos∠ADC＝＝．
故答案为：．
19．解：作CD⊥AB的延长线于D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝60°，
∵BC＝2，
∴DC＝BC sin60°＝2 ＝3，
∵tan∠A＝，
∴AD＝6，
∴AC＝＝3，
∴AO＝，
∵OP＝，
∴AP＝2或．
故答案为2或．
三．解答题（共10小题，满分63分）
20．解：
（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，
∴cos∠B＝＝，
∴BD＝AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝2BD＝AB，
故can30°＝＝；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵canB＝，则可设BC＝8x，AB＝5x，
∴AE＝＝3x，
∵S△ABC＝24，
∴BC×AE＝12x2＝24，
解得：x＝，
故AB＝AC＝5，BC＝8，
从而可得△ABC的周长为18．
21．解：（1）∵absinC＝acsinB，
∴bsinC＝csinB，
∴＝，
：同理得：＝，
∴＝＝；
（2）由题意得：∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，
∴，即，
∴，
∴AC≈40×0.3＝12；
（3）由题意得：∠ABC＝90°﹣75°＝15°，∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∠A＝180°﹣15°﹣45°＝120°，
由＝＝得：＝，
∴AC≈6，
∴S△ABC＝AC×BC×sin∠ACB≈×6×18×0.7≈38．
22．解：＝＝，理由为：
过A作AD⊥BC，BE⊥AC，
在Rt△ABD中，sinB＝，即AD＝csinB，
在Rt△ADC中，sinC＝，即AD＝bsinC，
∴csinB＝bsinC，即＝，
同理可得＝，
则＝＝．
23．解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
根据题意，得BE＝24mm，DF＝48mm．
在Rt△ABE中，sin
，
∴mm
在Rt△ADF中，cos
，
∴mm．
∴矩形ABCD的周长＝2（40+60）＝200mm．
24．解：在Rt△ACD中，sin∠C＝，则AD＝bsin∠C，
故答案为：，bsin∠C；
如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，
则∠A＝60°，
∵，
∴，
即，
解得，AB＝，
即AB的长是．
25．解：如图2，设CD＝CA＝a，则AD＝a，
∵∠B＝22.5°，∠ADC＝45°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠DAB＝∠B，
∴DB＝DA＝a，
∴BC＝BD+CD＝（+1）a，
在Rt△ABC中，tanB＝＝＝﹣1，
即tan22.5°＝﹣1；
故答案为﹣1；﹣1；
如图3，延长BA到D，使AD＝AB，则AB＝AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵∠CAB＝∠D+∠ACD＝30°，
∴∠D＝15°，
作CH⊥AB于H，设CH＝x，则AC＝2x，AH＝x，
∴AD＝AC＝2x，
∴DH＝AD+AH＝（2+）x，
在Rt△DCH中，tanD＝＝＝2﹣，
即tan15°＝2﹣．
26．解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，
∴BC＝AC＝12
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12
CM＝BM＝12，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝BM÷tan60°＝4，
∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．
27．解：∵DE⊥AB于E，
∴tanB＝＝，
设DE＝x，
∴BE＝2x，
∴BD＝＝，
∴cosB＝＝，
∵∠C＝90°，∴cosB＝＝＝，
∵D是BC边的中点，∴BC＝2BD＝2，
∴AB＝，
∵AE＝7，
∴AB＝AE+BE，
5x＝7+2x，
x＝．
故DE＝．
28．解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故答案为：1．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，过B作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，cosA＝＝．
设AD＝4k，AB＝5k，则BD＝3k，
∴DC＝5k﹣4k＝k．
在Rt△BDC中，BC＝＝k，
∴sadA＝＝．
29．解：（1）作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB＝AC＝5，∴BH＝BC＝4，
在△ABH中，AH＝＝3，
∴．
（2）作DE⊥BC，垂足为E，
在△BDE中，sinB＝，令DE＝3k，
BD＝5k，则BE＝＝4k，
又在△CDE中，tan∠BCD＝，
则CE＝＝6k，
于是BC＝BE+EC，即4k+6k＝8，
解得，
∴．
一．选择题（共15小题，满分45分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系式中错误的是（ ）
A．BC＝AB sinA
B．BC＝AC tanA
C．AC＝BC tanB
D．AC＝AB cosB
2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD＝（ ）
A．
B．3
C．
D．2
3．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6
B．2
C．2
D．9
5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
6．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
9．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．2
10．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
12．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．+1
B．﹣1
C．
D．
13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠AOB＝（ ）
A．
B．
C．1
D．
14．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，tan∠BCD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共4小题，满分12分）
16．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中cos∠ABC＝
．
17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD．若，则tanD＝
．
18．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝
．
19．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP＝，tan∠A＝，∠B＝120°，BC＝2，则AP＝
．
三．解答题（共11小题，满分63分）
20．通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°＝
；
（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．
21．阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB＝
∴AD＝c sinB
∴S△ABC＝a AD＝acsinB
同理：S△ABC＝absinC
S△ABC＝bcsinA
∴S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA
（1）通过上述材料证明：
＝＝
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
22．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA＝，sinB＝
∴c＝，c＝
∴＝
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
23．如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
24．已知：如图1，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝csin∠B；
在Rt△ACD中，sin∠C＝
，则AD＝
；
所以，csin∠B＝bsin∠C，即，，
进一步即得正弦定理：（此定理适合任意锐角三角形）．
参照利用正弦定理解答下题：
如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．
25．阅读下面材料：
小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，则tan22.5°＝
小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD＝CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：tan22.5°＝
．
参考小天思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等腰△ABC
中，AB＝AC，∠A＝30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．
26．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
27．已知：在Rt△ABC，∠C＝90°，D是BC边的中点，DE⊥AB于E，tanB＝，AE＝7，求DE．
28．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝
；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是
；
（3）如图，已知cosA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠BCD＝．
（1）试求sinB的值；
（2）试求△BCD的面积．
参考答案
一．选择题（共15小题，满分45分）
1．解：如图所示：
∵sinA＝，∴BC＝sinA×AB，故选项A正确；
∵tanA＝，∴BC＝tanA×AC，故选项B正确；
∵tanB＝，∴AC＝tanB×BC，故选项C正确；
∵cosB＝，∴BC＝cosB×AB≠AC，故选项D错误．
故选：D．
2．解：设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD⊥DC．
∵AC∥BD，
∴，
∴PC＝2DP，
∴AD＝DC＝3DP，
∴．
故选：B．
3．解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE＝∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则AE＝＝，AF＝＝2，EF＝＝3，
∵（）2+（3）2＝（2）2，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，
∴sin∠FAE＝＝＝，
∴sin∠BOD＝，
故选：B．
4．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝2，
故选：B．
5．解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
6．解：设AB＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
7．解：如图，过点B作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，
∵S△ABC＝AC BD＝×3 BD＝×1×3，
∴BD＝，
∴sin∠BAC＝＝＝．
故选：B．
8．解：如图所示：连接BD，
BD＝＝，
AD＝＝2，
AB＝＝，
∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tanA＝＝＝．
故选：A．
9．解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：A．
10．解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴sin∠ACH＝＝，
故选：D．
11．解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
12．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
13．解：如图，连接AB．
观察图象可知△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，AB＝OA，
∴tan∠AOB＝＝1，
故选：C．
14．解：设AC＝m，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，
∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．
故选：D．
15．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝，
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分12分）
16．解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝，
故答案为：．
17．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠ADC＝＝＝．
故答案为：．
18．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝10，
∴cos∠ADC＝＝．
故答案为：．
19．解：作CD⊥AB的延长线于D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝60°，
∵BC＝2，
∴DC＝BC sin60°＝2 ＝3，
∵tan∠A＝，
∴AD＝6，
∴AC＝＝3，
∴AO＝，
∵OP＝，
∴AP＝2或．
故答案为2或．
三．解答题（共10小题，满分63分）
20．解：
（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，
∴cos∠B＝＝，
∴BD＝AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝2BD＝AB，
故can30°＝＝；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵canB＝，则可设BC＝8x，AB＝5x，
∴AE＝＝3x，
∵S△ABC＝24，
∴BC×AE＝12x2＝24，
解得：x＝，
故AB＝AC＝5，BC＝8，
从而可得△ABC的周长为18．
21．解：（1）∵absinC＝acsinB，
∴bsinC＝csinB，
∴＝，
：同理得：＝，
∴＝＝；
（2）由题意得：∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，
∴，即，
∴，
∴AC≈40×0.3＝12；
（3）由题意得：∠ABC＝90°﹣75°＝15°，∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∠A＝180°﹣15°﹣45°＝120°，
由＝＝得：＝，
∴AC≈6，
∴S△ABC＝AC×BC×sin∠ACB≈×6×18×0.7≈38．
22．解：＝＝，理由为：
过A作AD⊥BC，BE⊥AC，
在Rt△ABD中，sinB＝，即AD＝csinB，
在Rt△ADC中，sinC＝，即AD＝bsinC，
∴csinB＝bsinC，即＝，
同理可得＝，
则＝＝．
23．解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
根据题意，得BE＝24mm，DF＝48mm．
在Rt△ABE中，sin
，
∴mm
在Rt△ADF中，cos
，
∴mm．
∴矩形ABCD的周长＝2（40+60）＝200mm．
24．解：在Rt△ACD中，sin∠C＝，则AD＝bsin∠C，
故答案为：，bsin∠C；
如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，
则∠A＝60°，
∵，
∴，
即，
解得，AB＝，
即AB的长是．
25．解：如图2，设CD＝CA＝a，则AD＝a，
∵∠B＝22.5°，∠ADC＝45°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠DAB＝∠B，
∴DB＝DA＝a，
∴BC＝BD+CD＝（+1）a，
在Rt△ABC中，tanB＝＝＝﹣1，
即tan22.5°＝﹣1；
故答案为﹣1；﹣1；
如图3，延长BA到D，使AD＝AB，则AB＝AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵∠CAB＝∠D+∠ACD＝30°，
∴∠D＝15°，
作CH⊥AB于H，设CH＝x，则AC＝2x，AH＝x，
∴AD＝AC＝2x，
∴DH＝AD+AH＝（2+）x，
在Rt△DCH中，tanD＝＝＝2﹣，
即tan15°＝2﹣．
26．解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，
∴BC＝AC＝12
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12
CM＝BM＝12，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝BM÷tan60°＝4，
∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．
27．解：∵DE⊥AB于E，
∴tanB＝＝，
设DE＝x，
∴BE＝2x，
∴BD＝＝，
∴cosB＝＝，
∵∠C＝90°，∴cosB＝＝＝，
∵D是BC边的中点，∴BC＝2BD＝2，
∴AB＝，
∵AE＝7，
∴AB＝AE+BE，
5x＝7+2x，
x＝．
故DE＝．
28．解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故答案为：1．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，过B作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，cosA＝＝．
设AD＝4k，AB＝5k，则BD＝3k，
∴DC＝5k﹣4k＝k．
在Rt△BDC中，BC＝＝k，
∴sadA＝＝．
29．解：（1）作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB＝AC＝5，∴BH＝BC＝4，
在△ABH中，AH＝＝3，
∴．
（2）作DE⊥BC，垂足为E，
在△BDE中，sinB＝，令DE＝3k，
BD＝5k，则BE＝＝4k，
又在△CDE中，tan∠BCD＝，
则CE＝＝6k，
于是BC＝BE+EC，即4k+6k＝8，
解得，
∴．