2021-2022学年鲁教版九年级数学上册2.4解直角三角形同步训练（含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．如图，AC垂直于AB，P为线段AC上的动点，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.4m，CF＝1.2m，∠DPE＝15°．若∠PEB＝90°，∠EBA＝65°，则AP的长约为（　　）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2
B．1.3m
C．1.5m
D．2.0m
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝，则CE＝　
　．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是　
　．
5．如图，在四边形ABCD中，连接AC，AC⊥BC且AC＝BC，点E在CD上，连接BE交AC于F，若CE＝AD，∠ADE＝∠BED，tan∠CEB＝，DE＝4，则AB的长为　
　．
6．如图，AD是△ABC的中线，AD＝5，tan∠BAD＝，S△ADC＝15，求线段AC的长　
　．
7．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，AB与CD交于点P，那么tan∠APD＝　
　．
三、解答题
8．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．
9．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，求tan∠CAD的值．
10．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，，点E是AB的中点，tanD＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．
11．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的余切值；
（2）求的值．
12．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，BC＝24，sin∠ABC＝．
（1）求AB的长；
（2）若AD＝6.5，求∠DCB的余切值．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，DE⊥AB，点E为垂足，AB＝7，∠DAB＝45°，tanB＝．
（1）求DE的长；
（2）求∠CDA的余弦值．
14．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠B＝，AB＝5．
（1）求BC的长；
（2）若D在AB上，且∠CDB＝∠B，求sin∠DCB的值．
15．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知AB＝AC＝6，cosB＝，AD：DB＝1：2．
（1）求△ABC的面积；
（2）求CE：DE．
16．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BE：AB＝3：5，若CE＝，cos∠ACD＝．
（1）求cos∠ABC；
（2）AC的值．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E．
（1）求tan∠ACE的值；
（2）求AE：EB．
18．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD，sin∠ABO＝＝4，求S△BOC的值．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC边上，BE＝AD，AE、BD相交于点F，且tan∠AFD＝，若AE＝13，BD＝15，则AD的长为　
　．
20．如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；
如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；
如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；
……
依此类推，当CD＝AC时，tanα6＝　
　．
参考答案
1．解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP＝90°，
∵∠A＝90°，∠B＝65°，
∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∵∠DPE＝15°，
∴∠APD＝130°，
∴∠CPF＝50°，
∵F为PD的中点，
∴DF＝PF＝PD＝1.2（m），
∴CF＝PF＝1.2（m），
∴CP＝2PG＝2×PF cos50°≈2×1.2×0.64≈1.53，
∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.53≈1.3（m）．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.3米．
故选：B．
2．解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．
∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，
∵CE∥BM，
∴∠AFE＝∠M，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠BAM＝∠M，
∴AB＝BM＝9，
∵AE＝4，
∴BE＝5，
∵∠EBC＝90°，
∴BC＝＝＝12，
∴AC＝＝＝15，
∴cos∠ACB＝＝＝，
解法二：过点D作DG平行AC，构造三角形BDG相似于三角形BCG，同理AEF相似于AGD，再由题目条件，可得cos角ACB的值，遇到分点问题想平行，构造A或8字型相似．
故选：D．
3．解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴＝，
∵AC＝6，∠ACB＝90°，
∴tanB＝＝
∴BC＝8，AB＝＝＝10，
∴＝，
∵FC＝FG，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
故答案为：3．
4．解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB cos60°＝6，AH＝AB sin60°＝6，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE＝＝，
∴EF＝4，
∴DF＝＝＝3，
∵S△CDE＝6，
∴ CD EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC＝＝，
∴＝，
∴CH＝9，
∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．
故答案为：9﹣6．
5．解：如图，过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M，过点B作BN⊥DC交DC的延长线于点N，设AD＝5x．
∵∠M＝∠N＝∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，∠CBN+∠BCN＝90°，
∴∠ACM＝∠CBN，
∵AC＝CB，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，
∵∠ADE＝∠BED，
∴∠ADM＝∠BEC，
∴tan∠ADM＝tan∠BEC＝＝，
∵AD＝5x，
∴AM＝CN＝4x，DM＝3x，
∴CM＝NB＝8x+4，
∵tan∠BEN＝，
∴＝，
∴x＝1，
∴CN＝4，BN＝12，
∴BC＝＝＝4，
∴AB＝BC＝8．
故答案为8．
6．解：过点D作DE⊥AB，垂足为D，过点A作AF⊥DC，垂足为F，
在Rt△ADE中，
∵AD＝5，tan∠BAD＝，
∵AE＝4，DE＝3，
∴AD＝＝5，
又∵AD是△ABC的中线，
∴S△ADC＝15＝S△ADB＝AB DE，
∴×3×AB＝15，
∴AB＝10，BE＝AB﹣AE＝10﹣4＝6，
在Rt△BDE中，BD＝＝＝3＝CD，
由S△ADC＝15＝CD AF，可得AF＝2，
在Rt△ADF中，DF＝＝＝，
∴FC＝CD﹣DF＝3﹣＝2，
在Rt△AFC中，AF＝FC＝2，
∴AC＝DF＝2，
故答案为：2．
7．解：如图，连接BE，交CD于F．
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为2．
8．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG＝＝＝sinB，
∴AG＝x，CG＝x，
∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，
在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．
9．解：如图，作CE⊥AD，
∴∠CED＝90°
又∵∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDE
∴△CDE∽△BDA，
∵DC＝BD
∴＝＝＝，
∵tan
B＝，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∴CE＝x，DE＝x，
∴tan∠CAD＝＝．
10．解：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°．
∵点E是AB的中点，CE＝1，
∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2，
∴∠B＝∠ECB．
∵＝，
∴设BC＝3x，CD＝2x．
在Rt△ACD中，tanD＝2，
∴＝2，
∴AC＝4x．在Rt△ACB中，
由勾股定理得AB＝＝5x，
∴sin∠ECB＝sinB＝＝．
由AB＝2，得x＝，
∴AD＝＝＝2x＝2×＝．
11．解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的余切＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴＝，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴＝＝．
12．解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
又∵AB＝AC，
∴BE＝BC，
∵BC＝24，
∴BE＝12，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，sin∠ABC＝＝，
设AE＝5k，AB＝13k，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴BE＝12k＝12，
∴k＝1，
∴AE＝5k＝5，AB＝13k＝13；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∵AD＝6.5，AB＝13，
∴BD＝AB+AD＝19.5，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFB＝90°，
∴AE∥DF，
∴＝＝，
又∵AE＝5，BE＝12，AB＝13，
∴DF＝，BF＝18，
∴CF＝BC﹣BF，即CF＝24﹣18＝6，
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，cot∠DCB＝＝＝．
13．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
又∵∠DAB＝45°，
∴DE＝AE，
在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，tanB＝，
∴＝，
设DE＝3x，那么AE＝3x，BE＝4x，
∵AB＝7，
∴3x+4x＝7，
解得：x＝1，
∴DE＝3；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD＝3，同理得BD＝5，
在Rt△ABC中，由tanB＝，可得cosB＝，
∴BC＝，
∴CD＝，
∴cos∠CDA＝＝，即∠CDA的余弦值为．
14．解：（1）∵tan∠B＝，
∴，
∴，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
∴BC＝3，
（2）过D点作DE⊥BC，则tan∠B＝，
∴，
∴，
∵∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝3，
∵CD2＝CE2+DE2，
∴，
∴DE＝，
∴sin∠DCB＝．
15．解：（1）∵AB＝AC＝6，cosB＝，AH是△ABC的高，
∴BH＝4，
∴BC＝2BH＝8，AH＝，
∴△ABC的面积是；＝＝8；
（2）作DF⊥BC于点F，
∵DF⊥BH，AH⊥BH，
∴DF∥AH，
∴，，
∵AD：DB＝1：2，BH＝CH，
∴AD：AB＝1：3，
∴，
∴，
即CE：DE＝3：1．
16．解：（1）在Rt△ACD与Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠CAD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠ACD，
∴cos∠ABC＝cos∠ACD＝
（2）在Rt△ABC中，，令BC＝4k，AB＝5k，
则AC＝3k，
由BE：AB＝3：5，
知BE＝3k，
则CE＝k，且CE＝，
则k＝，AC＝3．
17．解：（1）由∠ACB＝90°，CE⊥BD，
得∠ACE＝∠CBD
在△BCD中，BC＝3，CD＝AC＝2，∠BCD＝90°，
得tan∠CBD＝，
即tan∠ACE＝，
（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，
则在△CAP中，CA＝4，∠CAP＝90°，tan∠ACP＝，
得AP＝，
又∠ACB＝90°，∠CAP＝90°，得BC∥AP，
得AE：EB＝AP：BC＝8：9．
18．解：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
又∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴＝，
又∵∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∵∠BAC＝90°，sin∠ABO＝，
∴＝，
∵△AOD∽△BOC，
∴＝（）2，
∵S△AOD＝4，
∴＝，
∴S△BOC＝9．
19．解：过点A，B作BC，AE的平行线交于点M，连接DM，作DN⊥BM于点N，
则四边形AMBE为平行四边形，
∴∠AFD＝∠DBN，
∴tan∠DBN＝tan∠AFD＝＝．
设DN＝4x，BN＝3x，
则BD＝＝5x，
∴5x＝15，
解得x＝3，
∴DN＝4x＝12，BN＝3x＝9，
∵BM＝AE＝13，
∴MN＝BM﹣BN＝4，
∴DM＝＝＝4．
∵BC∥AM，∠C＝90°，
∴∠CAM＝90°，
∵BE＝AD，BE＝AM，
∴△DAM为等腰直角三角形，
∴∠MDA＝∠DMA＝45°，
∴sin45°＝＝，
∴AD＝AM＝BE＝DM＝4，
故答案为：4．
20．解：根据规律可得，
当n＝2时，CD＝AC，tanα1＝＝
当n＝3时，CD＝AC，tanα2＝＝，
当n＝4时，CD＝AC，tanα3＝＝，
………………
当n＝7时，CD＝AC，tanα6＝＝，
故答案为：．