高中数学公式及知识点速记（PDF版）

高中数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)
设
x1、x2
[a,b],
x1
x2那么
f
(x1)
f
(x2
)
0
f
(x)在[a,b]
上是增函数；
f
(x1)
f
(x2
)
0
f
(
x)在[a,b]上是减函数
.
(2)
设函数
y
f
(x)在某个区间内可导，若
f
(
x)
0，则
f
(
x)
为增函数；若
f
(
x)
0，则
f
(
x)为减
函数
.
、函数的奇偶性
对于定义域内任意的
x，都有
f
(
x)
f
(x)，则
f
(
x)是偶函数；
对于定义域内任意的
x，都有
f
(
x)
f
(
x)，则
f
(
x)是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称。
3、函数
y
f
(
x)在点
x0处的导数的几何意义
函数
y
f
(
x)在点
x0处的导数是曲线
y
f
(
x)在
P(x0
,
f
(x0
))处的切线的斜率
f
(
x0
)，相应的切线方
程是
y
y0
f
(x0
)(x
x0
)
.
4、几种常见函数的导数
①
C
'
0
(x
n
)
'
n
1；②
nx
；
③
(sin
x)
'
cosx；④
(cosx)
'
sin
x；
⑤
(a
x
)
'
ax
ln
a
x
'
x
'
1
'
1；⑥
(e
)
e
；
⑦
(log
a
x)
；⑧
(ln
x)
xln
a
x
5、导数的运算法则
'
1
(u
v)
'
u
'
v
'
(uv)
'
u
'v
uv'
u
'
u
v
uv
'
（
）
.
（
2）
.
（3）
(
)
(v
0)
.
v
v2
6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数
y
f
x
的极值的方法是：解方程
f
x
0．当
f
x0
0时：
(1)
如果在
x0附近的左侧
f
x
0，右侧
f
x
0，那么
f
x0
是极大值；
(2)
如果在
x0附近的左侧
f
x
0，右侧
f
x
0，那么
f
x0
是极小值．
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin
2
cos2
sin
1，
tan
=
.
cos
9、正弦、余弦的诱导公式
k
的正弦、余弦，等于
的同名函数，前面加上把
看成锐角时该函数的符号；
k
的正弦、余弦，等于
的余名函数，前面加上把
看成锐角时该函数的符号。
2
10、和角与差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan
tan
tan(
)
.
1
tan
tan
第
1页（共
5页）
11、二倍角公式
sin
2
sin
cos
.
2
2
2
2
cos2
cos
sin
2cos
1
1
2sin
.
2
tan
tan
2
1
tan2
.
2
cos2
1
cos2
,cos2
1
cos
2
;
公式变形：
2
1
cos2
2
sin
2
1
cos2
,sin
2
;
2
12、三角函数的周期
函数
y
sin(
x
)，x∈R
及函数
y
cos(
x
)，x∈R(A,ω
,
为常数，且
A≠0，ω＞0)的周期
2
T
；函数
y
tan(
x
)
，
x
k
,
k
Z
(A,
ω
,
为常数，且
A≠0，ω＞0)的周期
T
.
2
13、
函数
y
sin(
x
)的周期、最值、单调区间、图象变换
14、辅助角公式
b
y
a
sin
x
bcosx
a2
b
2
sin(x
)
其中
tan
a
15、正弦定理
a
b
c
2R
.
sin
A
sin
B
sin
C
16、余弦定理
a2
b2
c2
2bccos
A
;
b2
c2
a2
2ca
cosB
;
c2
a2
b2
2abcosC
.
17、三角形面积公式
1
1
1
S
ab
sin
C
bcsin
A
ca
sin
B
.
2
2
2
18、三角形内角和定理
在△
ABC中，有
A
B
C
C
(
A
B)
19、
a与
b的数量积
(或内积
)
a
b
|
a
|
|b
|
cos
20、平面向量的坐标运算
(1)
设
A(x1,
y1)，B(
x2
,
y2
)
,
则
AB
OB
OA
(x2
x1,
y2
y1
)
.
(2)
设
a=
(
x1,
y1)
,
b
=
(x2,
y2
)，则
a
b
=
x1x2
y1
y2
.
(3)
设
a=
(
x,
y)，则
a
x
2
y2
21、两向量的夹角
公式
设
a
=(
x1,
y1
)
,
b
=
(x2,
y2
)
，且
b
0，则
a
b
x
x
cos
1
2
y1
y2
a
b
2
2
2
2x1
y1
x2
y2
22、向量的平行与垂直
a
//
b
b
a
x1
y2
x2
y1
0
.
第
2页（共
5页）
a
b(a
0)
a
b
0
x1
x2
y1
y2
0
.
三、数列
23、数列的通项公式与前
n项的和的关系
s
a
1
,
n
1
n
(
数列
{
as
s
,
n
2
n
}
的前
n项的和为
sn
a1
a2
an
).
n
n
1
24、等差数列的通项公式
an
a1
(n
1)d
dn
a1
d(n
N
)；
25、等差数列其前
n项和公式为
n(a1
an
)
n(n
1)
d
2
1sn
na1
d
n
(a1
d
)n
.
2
2
2
2
26、等比数列的通项公式
a
n
1
a1
n
n
a1q
q
(n
N
)
；
q
27、等比数列前
n
项的和公式为
a1
(1
q
n
)
a
a
q
,q
1
1
n
,q
1
sn
1
q
或
sn
1
q
.
na1,
q
1
na1
,q
1
四、不等式
28、已知
x,
y
x
y都是正数，则有
xy
，当
x
y
时等号成立。
2
（
1）若积
xy是定值
p
，则当
x
y时和
x
y有最小值
2
p
；
2
x
y
1
2（
）若和
是定值
s，则当
x
y时积
xy有最大值
s
.
4
五、解析几何
29、直线的五种方程
（
1）点斜式
y
y1
k(x
x1
)
(直线
l
过点
P1(
x1
,
y1)，且斜率为
k
)．
（
2）斜截式
y
kx
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
3
y
y
x
x（
）两点式
1
1
(
y1
y2
)(
Py
y
x
1
(
x1
,
y1)、
P2(
x2
,
y2
)
(
x1
x2
)).
2
1
2
x1
(4)
x
y截距式
1
(
a、b分别为直线的横、纵截距，
a、b
0
)
a
b
（
5）一般式
Ax
By
C
0
(其中
A、B
不同时为
0).
30、两条直线的平行和垂直
若
l1
:
y
k1x
b1，
l2
:
y
k2
x
b2
①
l1
||
l2
k1
k2,b1
b2
;
②
l1
l
2
k1k2
1
.
31、平面两点间的距离公式
dA,B
(x2
x1)
2
(
y
22
y1)
(
A
(x1,
y1)，B
(x2
,
y2)
).
第
3页（共
5页）
32、点到直线的距离
|
Ax
d
0
By0
C
|
(点
P(
x0
,
y0)
,直线
l：
Ax
By
C
0
).
A2
B2
33、
圆的三种方程
（1）圆的标准方程
(
x
a)
2
(
y
b)
2
r
2
.
（2）圆的一般方程
x2
y2
Dx
Ey
F
0
(
D
2
E
2
4F
＞0).
x
a
r
cos
（3）圆的参数方程
.
y
b
r
sin
34、直线与圆的位置关系
Ax
By
C
0
(x
a)
2
2
2直线
与圆
(
y
b)
r
的位置关系有三种
:
d
r
相离
0
;
d
r
相切
0
;
d
r
相交
0
.
弦长
=2
r
2
d
2
Aa
Bb
C
其中
d
.
A2
B
2
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
x2
y2
2
2
2
c
x
a
cos
椭圆：
2
2
1(a
b
0)，
a
c
b
，离心率
e
1，参数方程是
.
a
b
a
y
bsin
x
2
y
2
1(a>0,b>0)
c
2
a
2
b
2
c
双曲线：
b
2
2
，
，离心率
e
1，渐近线方程是
y
x
.
a
b
a
a
2
p
p
抛物线：
y
2
px，焦点
(
,0)
,
准线
x
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离
.
2
2
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
2(1
y
x
2
y2
b
）若双曲线方程为
2
2
1
渐近线方程：
2
2
0
y
x
.
a
b
a
b
a
b
x
y
x
2
y
2
(2)
若渐近线方程为
y
x
0
双曲线可设为
2
2
.
a
a
b
a
b
2
2
2
2
(3)
x
y
x
y若双曲线与
1有公共渐近线，可设为
（
0，焦点在
x轴上，
0，
a
2
b2
a2
b
2
焦点在
y轴上）
.
37、抛物线
y
2
2px的焦半径公式
抛物线
y2
2
px(
p
0)
p焦半径
|
PF
|
x0
.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离
。）
2
38
p
p、过抛物线焦点的弦长
AB
x1
x2
x1
x2
p
.
2
2
六、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法
（1）三角形中位线
（2）平行四边形（一组对边平行且相等）
40、证明直线与平面平行的方法
（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）
（2）先证面面平行
41、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理（一个平面内的
两．条．相．交．直线分别与另一平面平行）
第
4页（共
5页）
42、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
43、证明直线与平面垂直的方法
（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内
两．条．相．交．直线垂直）
（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）
44、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）
45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
2
圆柱侧面积
=
2
rl
，表面积
=
2
rl
2
r
圆椎侧面积
=
rl
，表面积
=
rl
r
2
1
V柱体
Sh（
S是柱体的底面积、
h是柱体的高）
.
3
1
V锥体
Sh（
S是锥体的底面积、
h是锥体的高）
.
3
4
球的半径是
R，则其体积
V
R3
,
S
4
R2其表面积
．
3
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算
47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
x
x
x
1
平均数
:
x
1
2
n
:
s2
[(
x
x)
2方差
1
(
x2
x)
2
(
x
2n
x)
]
n
n
1
标准差
:
s
[(
x1
x)
2
(x2
x)
2
(
x
x)
2
]
n
n
50、回归直线方程
n
n
xi
x
yi
y
xi
yi
nx
y
b
i
1
i
1
y
a
bx
n
n，其中
2
.
xi
x
x
2
nx2i
i
1
i
1
a
y
bx
51
2
n(ac
bd)
2
、独立性检验
K
(a
b)(c
d)(a
c)(b
d)
52、古典概型的计算（必须要用列举．法．．、列．表．法．、树．状．图．的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗
漏）
八、复数
53、复数的除法运算
a
bi
(a
bi)(c
di
)
(ac
bd)
(bc
ad)i
.
c
di
(c
di
)(c
di
)
c2
d
2
54、复数
z
a
bi
的模
|
z
|=|
a
bi
|
=
a2
b2
.
第
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5页）