2020-2021学年八年级数学人教版上册12.3角的平分线的性质 课后练习(word版、含解析)
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年八年级数学人教版上册12.3角的平分线的性质 课后练习(word版、含解析) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 546.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-07 09:28:27 | ||
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文档简介
角的平分线的性质
一、单选题
1．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．3.9
B．4.2
C．4.7
D．5.84
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．2.5
D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DCAD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．
4．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝cm，则PD的长可以是（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
5．如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（
）
A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
6．如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，，，DE平分，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
8．如图，在中，是的平分线，，垂足为，若，，则的面积是（
）
A．4
B．12
C．24
D．48
9．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（
）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
10．如图，已知在中，是、的平分线的交点，于，的周长为20，，那么的面积为（
）
A．100
B．50
C．25
D．300
11．如图，点D是△ABC外的一点，BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF，连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A．DB＝DC
B．OA＝OD
C．∠BDA＝∠CDA
D．∠BAD＝∠CAD
12．如图①，已知，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P；
第三步；画射线，射线即为所求．
下列叙述不正确的是（
）
A．
B．作图的原理是构造三角形全等
C．由第二步可知，
D．的长
二、填空题
13．如图，在x轴，y轴上分别截取，，使，再分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点C若点C的坐标为，则a的值为___________．
14．已知，如图，，平分，平分，，则___．
15．已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，AD＝3，BD＝6，则阴影部分的面积（即△ADP与△BDE的面积和）等于_____．
16．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则ABD的面积为_____．
17．如图，在中，，O为的两角平分线的交点，且，，，则点O到边AB的距离为__________．
三、解答题
18．如图，点P为和的平分线的交点．求证：点P在的平分线上．
19．如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：．
20．如图1，在中，是的平分线，P是上一点，交于点E，交于点F．
（1）求证：D到的距离与D到的距离相等；
（2）如图2，若点P在的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
21．已知中，平分，交于，在上，点在延长线上，连接、，交于点，交于点，．
（1）求证：；
（2）点为上一点，连接，，，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，，，求的度数．
参考答案
1．A
解：过D点作DH⊥OB于H，如图，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DH＝DE＝4.2，
∵F是射线OB上的任一点，
∴DF≥4.2．
故选：A．
2．B
解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC=2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：B．
3．B
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
AC＝4，DCAD，
，
BD平分∠ABC，∠C＝90°，
．
即点D到AB的距离为．
故选B．
4．D
解：过P作PE⊥OB于E，则此时PE≤PD，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PE＝PC，
∵PC＝cm，
∴PE＝PC＝（cm），
∴PD≥，
∵＞＝5，
∴PD＞5，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
5．A
解：∵∠M＝∠N＝90°，BM＝BN，
∴BP平分∠DPE，
∴∠DPB＝∠EPB，
∵DP∥BC，PE∥BD，
∴∠DPB＝∠PBE，∠EPB＝∠DBP，
∴∠DBP＝∠EBC，
即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选：A．
6．C
解：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠DFG，
∴∠1+∠DFG=180°，
∴AB∥EG，
∴∠B=∠EGC，
又∵∠B=∠3，
∴∠3=∠EGC，
∴DE∥BC，故（1）正确；
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE=∠EDC，
又∵∠2=2∠B，∠2+∠ADE+∠EDC=180°，
∴2∠B+∠B+∠B=180°，
∴∠B=45°，故（2）错误；
∴∠2=2∠B=90°，
∴CD⊥AB，∠B+∠BCD=90°，故（3）正确；
又∵AB∥EG，
∴CD⊥EG，故（4）正确；
∴正确的个数有3个，
故选C．
7．A
解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，
∴PD=PE=PF，
∵S1= AB PD，S2= BC PF，S3= AC PE，
∴S2+S3= （AC+BC） PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
8．C
解：如图，过点D作DF⊥AB，
∵是的平分线，，DF⊥AB，，
∴DE=DF=4，
∵，
∴．
故选：C．
9．C
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
10．B
解：如图，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥AC于Q，连接OA，
∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OP=OD，OQ=OD，
即OP=OQ=OD=5，
∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO
=AB OP+BC OD+AC OQ
=×5×（AB+BC+AC）
=×5×20
=50．
故选：B．
11．D
解：过D点作DM⊥AE于M，DN⊥AF于N，DH⊥BC于H，如图，
∵BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF，
∴DH=DM，DH=DN，
∴DM=DN，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
故选：D．
12．D
解：A、∵以a为半径画弧，∴，故正确
B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确
C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P，∴，故正确
D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中，否则两个圆弧没有交点，故错误
故选：D
13．5
解：由作法知，点C是第一象限角平分线上的点
∵点C在第一象限
∴根据角平分线的性质定理得：a+2=2a-3
解得：a=5
故答案为：5．
14．35°
解：如图，过点作，过作，
∵，
，
，，，，
∵，
，
平分，平分，
，，
，
．
故答案为：．
15．9
解：在射线EC上取点G，使EG=AF，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC，
∴DF=DE，∠DFC=∠DEC=∠ACB=90°，
∴∠FDE=90°，
在△ADF和△GDE中，
，
∴△ADF≌△GDE（SAS），
∴GD=AD=3，∠GDE=∠ADF，
∴∠GDB=∠GDE+∠EDB
=∠ADF+∠EDB
=180°-∠FDE
=90°，
∴S阴影=S△GED+S△BDE
=S△GDB
=GD×BD÷2
=9
故答案为：9．
16．12
解：过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，
∴DE＝DC，
∵DC＝6，
∴DE＝6，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积是
＝
＝12，
故答案为：12．
17．2．
解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，
∵点O为∠ABC与∠CAB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
∴×AC×BC＝×AC×OE+×BC×OF+×AB×OD，
∴×6×8＝×6×OD+×8×OD+×10×OD，
解得，OD＝2，即点O到边AB的距离为2，
故答案为：2．
18．见解析
解：如图，过点P作于点E，于点F，于点G，
∵点P为和的平分线的交点，
∴，，∴，
∴点P在的平分线上．
19．证明见解析
解：∵在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
20．（1）见解析；（2）成立，证明见解析
解：（1）∵，
∴，
在中，是的平分线，
∴，
∴，即平分，
∴D到的距离与D到的距离相等；
（2）若点P在的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．
∵，
∴，
∵在中，是的平分线，
∴，
∴，即平分，
∴D到的距离与D到的距离相等．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）
解：（1），，
，
，
，
又平分，
∴∠EBD=∠CBD，
．
（2），
，
由（1）知，
，
又，
，
又，
，
平分．
（3），平分，
，
又，
，
，
又，
，
由（2）知，平分，
．
一、单选题
1．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．3.9
B．4.2
C．4.7
D．5.84
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．2.5
D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DCAD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．
4．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝cm，则PD的长可以是（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
5．如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（
）
A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
6．如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，，，DE平分，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
8．如图，在中，是的平分线，，垂足为，若，，则的面积是（
）
A．4
B．12
C．24
D．48
9．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（
）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
10．如图，已知在中，是、的平分线的交点，于，的周长为20，，那么的面积为（
）
A．100
B．50
C．25
D．300
11．如图，点D是△ABC外的一点，BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF，连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A．DB＝DC
B．OA＝OD
C．∠BDA＝∠CDA
D．∠BAD＝∠CAD
12．如图①，已知，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P；
第三步；画射线，射线即为所求．
下列叙述不正确的是（
）
A．
B．作图的原理是构造三角形全等
C．由第二步可知，
D．的长
二、填空题
13．如图，在x轴，y轴上分别截取，，使，再分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点C若点C的坐标为，则a的值为___________．
14．已知，如图，，平分，平分，，则___．
15．已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，AD＝3，BD＝6，则阴影部分的面积（即△ADP与△BDE的面积和）等于_____．
16．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则ABD的面积为_____．
17．如图，在中，，O为的两角平分线的交点，且，，，则点O到边AB的距离为__________．
三、解答题
18．如图，点P为和的平分线的交点．求证：点P在的平分线上．
19．如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：．
20．如图1，在中，是的平分线，P是上一点，交于点E，交于点F．
（1）求证：D到的距离与D到的距离相等；
（2）如图2，若点P在的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
21．已知中，平分，交于，在上，点在延长线上，连接、，交于点，交于点，．
（1）求证：；
（2）点为上一点，连接，，，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，，，求的度数．
参考答案
1．A
解：过D点作DH⊥OB于H，如图，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DH＝DE＝4.2，
∵F是射线OB上的任一点，
∴DF≥4.2．
故选：A．
2．B
解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC=2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：B．
3．B
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
AC＝4，DCAD，
，
BD平分∠ABC，∠C＝90°，
．
即点D到AB的距离为．
故选B．
4．D
解：过P作PE⊥OB于E，则此时PE≤PD，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PE＝PC，
∵PC＝cm，
∴PE＝PC＝（cm），
∴PD≥，
∵＞＝5，
∴PD＞5，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
5．A
解：∵∠M＝∠N＝90°，BM＝BN，
∴BP平分∠DPE，
∴∠DPB＝∠EPB，
∵DP∥BC，PE∥BD，
∴∠DPB＝∠PBE，∠EPB＝∠DBP，
∴∠DBP＝∠EBC，
即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选：A．
6．C
解：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠DFG，
∴∠1+∠DFG=180°，
∴AB∥EG，
∴∠B=∠EGC，
又∵∠B=∠3，
∴∠3=∠EGC，
∴DE∥BC，故（1）正确；
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE=∠EDC，
又∵∠2=2∠B，∠2+∠ADE+∠EDC=180°，
∴2∠B+∠B+∠B=180°，
∴∠B=45°，故（2）错误；
∴∠2=2∠B=90°，
∴CD⊥AB，∠B+∠BCD=90°，故（3）正确；
又∵AB∥EG，
∴CD⊥EG，故（4）正确；
∴正确的个数有3个，
故选C．
7．A
解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，
∴PD=PE=PF，
∵S1= AB PD，S2= BC PF，S3= AC PE，
∴S2+S3= （AC+BC） PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
8．C
解：如图，过点D作DF⊥AB，
∵是的平分线，，DF⊥AB，，
∴DE=DF=4，
∵，
∴．
故选：C．
9．C
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
10．B
解：如图，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥AC于Q，连接OA，
∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OP=OD，OQ=OD，
即OP=OQ=OD=5，
∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO
=AB OP+BC OD+AC OQ
=×5×（AB+BC+AC）
=×5×20
=50．
故选：B．
11．D
解：过D点作DM⊥AE于M，DN⊥AF于N，DH⊥BC于H，如图，
∵BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF，
∴DH=DM，DH=DN，
∴DM=DN，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
故选：D．
12．D
解：A、∵以a为半径画弧，∴，故正确
B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确
C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P，∴，故正确
D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中，否则两个圆弧没有交点，故错误
故选：D
13．5
解：由作法知，点C是第一象限角平分线上的点
∵点C在第一象限
∴根据角平分线的性质定理得：a+2=2a-3
解得：a=5
故答案为：5．
14．35°
解：如图，过点作，过作，
∵，
，
，，，，
∵，
，
平分，平分，
，，
，
．
故答案为：．
15．9
解：在射线EC上取点G，使EG=AF，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC，
∴DF=DE，∠DFC=∠DEC=∠ACB=90°，
∴∠FDE=90°，
在△ADF和△GDE中，
，
∴△ADF≌△GDE（SAS），
∴GD=AD=3，∠GDE=∠ADF，
∴∠GDB=∠GDE+∠EDB
=∠ADF+∠EDB
=180°-∠FDE
=90°，
∴S阴影=S△GED+S△BDE
=S△GDB
=GD×BD÷2
=9
故答案为：9．
16．12
解：过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，
∴DE＝DC，
∵DC＝6，
∴DE＝6，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积是
＝
＝12，
故答案为：12．
17．2．
解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，
∵点O为∠ABC与∠CAB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
∴×AC×BC＝×AC×OE+×BC×OF+×AB×OD，
∴×6×8＝×6×OD+×8×OD+×10×OD，
解得，OD＝2，即点O到边AB的距离为2，
故答案为：2．
18．见解析
解：如图，过点P作于点E，于点F，于点G，
∵点P为和的平分线的交点，
∴，，∴，
∴点P在的平分线上．
19．证明见解析
解：∵在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
20．（1）见解析；（2）成立，证明见解析
解：（1）∵，
∴，
在中，是的平分线，
∴，
∴，即平分，
∴D到的距离与D到的距离相等；
（2）若点P在的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．
∵，
∴，
∵在中，是的平分线，
∴，
∴，即平分，
∴D到的距离与D到的距离相等．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）
解：（1），，
，
，
，
又平分，
∴∠EBD=∠CBD，
．
（2），
，
由（1）知，
，
又，
，
又，
，
平分．
（3），平分，
，
又，
，
，
又，
，
由（2）知，平分，
．