高中数学公式证明（PDF版）

高中数学定理证明汇总
必修
1
P64
分数指数幂的定义、根式解释：
一般的，给定正实数
a,对于任意给定的正整数
m,n,存在唯一的正实数
b,使得
bn=am,我们把
b
叫作
a
m
m
的
次幂，记作
b
a
n
，
它就是
正分数指数幂
。
n
m
n
n
m
有时我们把正分数指数幂写成
根式形式，即
a
a
（a>0）
P81
对数的运算性质：
如果
a>0,
a
1
,M>0,N>0,
则
（1）
loga(MN)=log
aM+log
aN;
（2）
log
naM
=n·
logaM
(n
R)；
（3）
loga
M
=log
aM-log
aN.
N
证明：
设
logaM=p,log
aN=q,
p
q则由对数定义得
a
=M,a
=N.
因为
MN=a
paq=ap+q，所以
p+q=log
a(MN)
即
log
a(MN)=log
aM+log
aN
P84
换底公式：
loga
N
logbN=
b
(a,b>0,a,b≠1,N>0)
loga
证明：
设
x=log
N,
N=b
x.
b
根据对数定义，有
两边取以
a为底的对数，得
logaN=log
abx.
而
log
xab
=xlog
ab,所以
logaN=xlog
ab.
loga
N
由于
b≠1,则
logab≠0，解出
x,得
x=
logab
,
loga
N
因为
x=log
bN,所以
log
bN=
loga
b
1
很容易由换底公式得到
log
ba=
logab
必修
2
P24
平面的基本性质的推论：
1.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。
3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。
证明推论
2：
设
a
b
A，在直线
a上取点
B，且
A、B
不重合，在直线
b
上取点
C，且
A、C
不重合。
因为
A、B、C不重合
则有且仅有一个平面
经过
A、B、C
因为点
A、B
都在直线
a上
1
所以直线
a在平面
内
同理直线
b也在平面
内
所以经过两条相交直线只有一个平面。
推论
3：证明：
设直线
a∥b,任取点
A
a,
B
a，取点
C
b，则三点
A、B、C确定一个平面
ABC
.
再任取
C
以外一点
D
b
假设过两条条直线
a、b
有两个或以上平面
即平面
ABC
、平面
ABD
是两个不同的平面且相交于
AB，且点
C、D
不在直线
AB
上
得出
AB
CD
是异面直线
与
a∥b
冲突
所以，假设错误
P28
定理
5.1
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
P30
定理
5.2
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
P31
定理
5.3
如果一条直线与一个平面平行，那么过这直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平
行。
P32
定理
5.4
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
P36
定理
6.1
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
P37
定理
6.2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
P39
定理
6.3
如果两条
直线同垂直于一个平面，
那么这两条直线平行．
证明：一般的，如果直线
a⊥平面
，直线
b⊥平面
,这时，
a
和
b
平行吗？
如图，假设
a和
b
不平行。
设
b
与
a交于点
O，b
'是经过点
O与
a平行的直线。
因为
a∥b
',a⊥平面
,所以，
b'⊥平面
。
这样，经过同一点
O
的直线
b,b'都垂直于平面
，这是不可能的。
因此，
a∥b。
P40
定理
6．4
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它
们交线的直线垂直于另一个平面。
在一般情况下，平面
α⊥平面
β，
=MNB
，这时，直线
AB
和
平面
α垂直吗？
如图，在平面
α内作直线
BC
MN，则
ABC
是二面角
α-MN-
β
的平面角，因为平面
α⊥平面
β，所以
ABC=90
°，即
AB⊥BC，又
已知
AB⊥MN,从而
AB⊥α。
P47
S
2
4
3球面=4πR
，V
球=
πR
3
P73
△ABC
中，
D
是
BC
边上任意一点（
D
与
B,C
不重合），且
|AB|
2=|AD|
2+|BD|
|DC|.求证：△
ABC
为等腰三角形。
解：作
AO⊥BC,垂足为
O,以
BC
所在直线为
x轴，以
OA
所在直线
为
y轴，建立直角坐标系。
设
A（
0，a）,B（b，0）
,C（c，
0）
,D（d，0）
,
因为
|AB|
2=|AD|
2+|BD|
|DC|，所以，由距离公式可得
2
2
2
2
b
+a
=d
+a
+(d-b)(c-d),
即
-
(d-b)
(b+d)
=
(d-b)(c-d)
又
d-b≠0,
故
-b-d=c-d
2
即
-b=c.
所以
|AB|=|AC|,
即△
ABC
为等腰三角形。
P75
例
19
用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。
证明：在△
ABC
中，AB=AC,P
为
BC
延长线上一点，
PD⊥AB
于
D,PE⊥AC
于
E，CF⊥AB
于
F.
以
BC
所在直线为
x
轴，以
BC
的中垂线为
y轴，建立直角坐标系。
设
A（0，b）,B(
-a,0
）,C(
a,0
）(a>0,b>0),
则直线
AB
方程为
bx-ay+ab=0,
直线
AC
方程为
bx+ay-ab=0,
取
P（x0,0）
,使
x0>a,则点
P
到直线
AB,AC
的距离分别为
|
bx0
0
ab
|
bx
ab|
PD
|
0
2
2
2
2
|
bx0
0
ab
|
bx
aba
b
a
b
|
PE
|
0
，
a2
b2
a2
b2
|
CF
|
|
ab
ab
|
2ab点
C
到直线
AB
的距离为
，
a2
b2
a2
b2
2ab
则
|PD|-|PE|=
=|CF|.
a
2
b2
必修
4
P83
平面向量基本定理
如果
el，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的仟一向量
a，
存在一对实数
1
,
2，使
a
1e1
2e2．
我们把不共线的向量
el，e2
叫作表示这一平面内所有向量的一组
基底．
如果
el，e2是同一平面内的两个不共线向量，
a
这一平面内的任一向量，那么
a
与
el，e2之间有什
么关系呢

如图
2—25，在平面内任取一点
O．作
OA
=el，OB
=e2，OC
=a．过点
C
分别作平行于
OB，OA
的直线
,交直线
OA
于点
M，交直线
OB
于点
N，则有且只有一对实数
1
,
2，使得
OM
1e1，ON
2e2
因为
OC
OM
ON
所以
a
1e1
2e2
P94
3
P97
P99
4
P100
5
P116
6
P122
7
P127
必修
5
P15
8
P27
9
P45
10
P48
P49
11
P83
P88
12
13